Kalkulator Nombor Kompleks

Sebuah kalkulator nombor kompleks melakukan operasi aritmetik dan geometri pada nombor dalam bentuk a + bi, di mana i ialah unit khayalan (i² = −1).

Kalkulator kami menyokong semua operasi standard:

• penambahan
• penolakan
• pendarcaban
• pembahagian
• modulus
• hujah
• konjugat
• penukaran bentuk kutub
• kuasa De Moivre
• punca ke-n
• eksponen kompleks

Nombor kompleks boleh dinyatakan dalam bentuk segi empat tepat (a + bi) atau bentuk kutub (r∠θ).

Modulus r = √(a²+b²) ialah jarak dari asal, dan hujah θ = atan2(b,a) ialah sudutnya.

Bentuk kutub menjadikan pendarcaban, pembahagian, dan kuasa jauh lebih ringkas: darabkan modulus dan tambahkan hujah.

Sebuah nombor kompleks ialah nombor dalam bentuk a + bi, di mana a dan b adalah nombor sebenar dan i ialah unit khayalan yang mentakrifkan i² = −1. Bahagian sebenar ialah a dan bahagian khayalan ialah b.

Nombor kompleks wujud kerana persamaan seperti x² + 1 = 0 tiada penyelesaian sebenar, jadi ahli matematik meluaskan sistem nombor untuk merangkumi √−1.

Menurut Wolfram MathWorld, nombor kompleks membentuk medan tertutup secara algebra, bermaksud setiap polinomial bukan malar mempunyai punca di dalamnya.

Secara geometri, a + bi ialah titik (a, b) dalam satah kompleks, dengan paksi melintang untuk nilai sebenar dan paksi menegak untuk nilai khayalan.

• Untuk menambah atau menolak nombor kompleks, gabungkan bahagian sebenar dan khayalan secara berasingan: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i.
• Pendarcaban menggunakan kaedah FOIL dan identiti i² = −1: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i. Sebagai contoh, (3+4i)(1−2i) = 11 − 2i.
• Pembahagian mendarabkan pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut, menghasilkan (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²).

Khan Academy menyatakan bahawa mendarab dengan konjugat membuang bahagian khayalan daripada penyebut, memandangkan (c+di)(c−di) = c²+d² sentiasa bernilai sebenar. Keempat-empat operasi ini mengekalkan struktur a + bi.

Modulus bagi nombor kompleks z = a + bi ialah jaraknya dari titik asal dalam satah kompleks, diberikan oleh |z| = √(a²+b²). Sebagai contoh, |3+4i| = √(9+16) = √25 = 5.

Hujah ialah sudut θ dari paksi sebenar positif, dikira sebagai θ = atan2(b, a), biasanya dilaporkan antara −π dan π.

Seperti yang diterangkan oleh Digital Library of Mathematical Functions oleh NIST, modulus dan hujah bersama-sama memberikan koordinat kutub bagi z. Modulus sentiasa bukan negatif, dan mendarabkan nombor kompleks dengan konjugatnya menghasilkan modulus kuasa dua: z·z* = |z|², yang sentiasa merupakan nombor sebenar.

Untuk menukar nombor kompleks daripada bentuk segi empat tepat a + bi kepada bentuk kutub r∠θ, kira modulus r = √(a²+b²) dan hujah θ = atan2(b, a).

Untuk kembali dari kutub ke segi empat tepat, gunakan a = r·cos θ dan b = r·sin θ.

Sebagai contoh, 1 + i mempunyai r = √2 ≈ 1.414 dan θ = 45°, jadi bentuk kutubnya ialah √2 ∠45°.

Encyclopaedia Britannica menjelaskan bahawa perwakilan kutub menjadikan pendarcaban dan pembahagian lebih intuitif, memandangkan anda mendarab atau membahagi modulus dan menambah atau menolak hujah. Bentuk segi empat tepat adalah terbaik untuk penambahan dan penolakan, manakala bentuk kutub memudahkan hasil darab, hasil bahagi, kuasa, dan punca.

Teorem De Moivre menyatakan bahawa untuk z = r(cos θ + i sin θ), kuasa ke-n ialah z^n = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Kuasakan modulus kepada n dan darabkan hujah dengan n.

Sebagai contoh, (1+i) mempunyai r = √2 dan θ = 45°, jadi (1+i)² = (√2)²(cos 90° + i sin 90°) = 2(0 + i) = 2i, yang sepadan dengan pengembangan langsung.

Wolfram MathWorld membentangkan formula De Moivre sebagai akibat langsung daripada formula Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Kaedah ini mengelakkan pendarcaban berulang yang melecehkan yang diperlukan untuk mengembangkan kuasa tinggi dalam bentuk segi empat tepat.

Setiap nombor kompleks bukan sifar mempunyai tepat n punca ke-n yang berbeza. Untuk z = r∠θ, puncanya ialah z_k = ⁿ√r ∠(θ/n + 360°k/n) untuk k = 0, 1, …, n−1. Ia terletak pada jarak yang sama pada bulatan berjejari ⁿ√r dalam satah kompleks.

Sebagai contoh, tiga punca kubik bagi 8 ialah 2∠0°, 2∠120°, dan 2∠240°.

Kes khas punca ke-n kesatuan — penyelesaian bagi zⁿ = 1 — dikatalogkan dalam OEIS dan membentuk bucu bagi n-gon sekata pada bulatan unit.

Seperti yang dicatatkan oleh NIST DLMF, jarak yang sekata ini menyusul secara langsung daripada penambahan 2π/n pada sudut untuk setiap punca berturutan.

Konjugat kompleks bagi z = a + bi ialah z* = a − bi, diperoleh dengan menterbalikkan tanda bahagian khayalan. Secara geometri ia mencerminkan nombor merentasi paksi sebenar.

Konjugat mempunyai dua sifat utama:

• z + z* = 2a sentiasa benar
• z·z* = a² + b² = |z|² sentiasa nombor sebenar bukan negatif

Khan Academy menekankan bahawa konjugat ialah alat standard untuk membahagi nombor kompleks, kerana mendarabkan penyebut dengan konjugatnya membuang bahagian khayalan.

Konjugat juga muncul dalam fizik dan pemprosesan isyarat, di mana kuantiti seperti kuasa dan kebarangkalian bergantung pada pendarcaban nilai kompleks dengan konjugatnya untuk mendapatkan magnitud sebenar.

Nombor kompleks sangat penting dalam bidang kejuruteraan dan sains:

• Dalam kejuruteraan elektrik, litar arus ulang-alik dianalisis dengan fasor, di mana galangan (impedans) ialah kuantiti kompleks yang menggabungkan rintangan dan reaktans.
• Dalam pemprosesan isyarat, jelmaan Fourier mewakili isyarat sebagai hasil tambah eksponen kompleks e^(iωt), memisahkannya kepada komponen kekerapan.
• Sistem kawalan menggunakan satah kompleks untuk menilai kestabilan dengan mencari kutub dan sifar.
• Mekanik kuantum dibina secara asasnya atas fungsi gelombang bernilai kompleks.

Encyclopaedia Britannica menyatakan bahawa identiti Euler e^(iπ) + 1 = 0 menghubungkan malar e, i, π, 1, dan 0 dengan anggun. Dinamik cecair dan geometri fraktal, seperti set Mandelbrot, juga bergantung pada aritmetik kompleks.

• Ralat yang paling kerap berlaku ialah lupa bahawa i² = −1, yang mengubah tanda sebutan hasil darab semasa pendarcaban; menulis i² = 1 memberikan keputusan yang salah.
• Satu lagi kesilapan ialah mengenakan √(ab) = √a·√b pada nombor negatif — aturan ini gagal, memandangkan √−1·√−1 = −1, bukan √1 = 1.
• Apabila mencari hujah, ramai pelajar menggunakan arctan(b/a) biasa dan mendarat di kuadran yang salah; sebaliknya gunakan atan2(b, a).
• Orang ramai juga tercicir punca apabila menyelesaikan zⁿ = w, terlupa bahawa terdapat tepat n daripadanya.
• Akhir sekali, mencampurkan darjah dan radian dalam pengiraan kutub menghasilkan sudut yang salah.

Sentiasa sahkan unit yang dijangkakan oleh formula anda sebelum mengira sin dan kosin.