Kalkulator Determinan

Untuk matriks 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc. Untuk matriks 3×3, petua Sarrus atau pengembangan kofaktor memberikan: det = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg) untuk matriks [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

Bagi matriks yang lebih besar, pengembangan kofaktor di sepanjang mana-mana baris atau kolum berfungsi: det(A) = Σ(-1)^(i+j) × a_ij × M_ij, di mana M_ij ialah minor (determinan submatriks yang diperoleh dengan memadamkan baris i dan kolum j).

Kos pengiraan berkembang secara faktorial mengikut saiz matriks menggunakan pengembangan kofaktor — O(n!) — menjadikannya tidak praktikal untuk matriks besar. Peleraian LU mengira determinan dalam O(n³) dengan menyatakan A = LU dan menggunakan det(A) = det(L) × det(U) = hasil darab elemen pepenjuru.

Beberapa sifat membolehkan jalan pintas:

• determinan matriks segi tiga (atas atau bawah) adalah sama dengan hasil darab elemen pepenjuru.
• Menukar dua baris menafikan determinan.
• Mendarabkan baris dengan skalar k mendarabkan determinan dengan k.
• Menambah gandaan satu baris kepada baris yang lain tidak mengubah determinan — ini adalah asas penyingkiran Gaussian untuk pengiraan yang cekap.
• Determinan bagi hasil darab adalah sama dengan hasil darab determinan: det(AB) = det(A) × det(B).
• Untuk transpos: det(A^T) = det(A).
• Songsangan mempunyai det(A^(-1)) = 1/det(A).

Sifat-sifat ini membolehkan jalan pintas pengiraan manual: kurangkan matriks kepada bentuk segi tiga atas menggunakan operasi baris, jejak perubahan tanda daripada pertukaran baris, kemudian darabkan elemen pepenjuru.

Selain menyelesaikan sistem linear (Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)), determinan mempunyai aplikasi geometri.

Dalam 2D, determinan mutlak bagi matriks 2×2 yang terbentuk daripada dua vektor memberikan luas segi empat selari yang merentanginya. Dalam 3D, determinan matriks 3×3 bagi tiga vektor memberikan volum paralelipiped. Hasil darab silang boleh dikira menggunakan determinan: a×b = det([[i,j,k],[a1,a2,a3],[b1,b2,b3]]).

Dalam kalkulus, determinan Jacobian mengukur cara transformasi koordinat menskalakan luas/volum infinitesimal — penting untuk menukar pemboleh ubah dalam kamiran berganda.

Nilai eigen memenuhi det(A - λI) = 0, polinomial ciri, menghubungkan determinan kepada analisis spektrum dan teori kestabilan dalam persamaan pembezaan.

Determinan ialah nombor skalar tunggal yang dikira daripada entri matriks segi empat sama yang mengekodkan sama ada matriks itu boleh dionsongsang dan cara ia menskalakan ruang.

Seperti yang dijelaskan oleh Wolfram MathWorld, determinan bagi matriks n×n A, ditulis det(A) atau |A|, adalah bukan sifar tepat apabila matriks mempunyai songsangan dan barisnya bebas secara linear.

Secara geometri, nilai mutlak determinan adalah sama dengan faktor di mana transformasi linear meregangkan kawasan dalam dua dimensi atau volum dalam tiga dimensi. Determinan negatif tambahan menandakan bahawa transformasi membalikkan orientasi.

Determinan hanya ditentukan untuk matriks segi empat sama — matriks segi empat tepat tiada determinan.

Untuk mencari determinan 3×3, kembangkan di sepanjang baris pertama menggunakan kofaktor: darabkan setiap entri atas dengan minor 2×2 yang tinggal selepas memadamkan baris dan kolumnya, tandanya berselang-seli +, −, +.

Ambil matriks [[2,1,3],[0,-1,2],[1,4,-1]]. Tiga minor tersebut ialah [[-1,2],[4,-1]] = (-1)(-1)−(2)(4) = -7, [[0,2],[1,-1]] = (0)(-1)−(2)(1) = -2, dan [[0,-1],[1,4]] = (0)(4)−(-1)(1) = 1.

Digabungkan dengan tanda memberikan 2(-7) − 1(-2) + 3(1) = -14 + 2 + 3 = -9. Khan Academy menunjukkan kaedah kofaktor ini secara interaktif untuk mana-mana matriks 3×3.

Untuk matriks 2×2 [[a,b],[c,d]], determinannya ialah ad − bc: darabkan pepenjuru utama, kemudian tolak hasil darab pepenjuru bertentangan.

Sebagai contoh, determinan [[3,8],[4,6]] ialah (3)(6) − (8)(4) = 18 − 32 = -14. Petua 2×2 yang sama menghasilkan identiti Cassini, det([[F₍n+1₎,F₍n₎],[F₍n₎,F₍n-1₎]]) = (−1)ⁿ untuk nombor Fibonacci berturut-turut yang boleh anda jana dengan kalkulator fibonacci. Formula ini, dikatalogkan oleh Wolfram MathWorld, ialah kes asas bagi setiap determinan yang lebih besar kerana pengembangan kofaktor secara berulang mengurangkan matriks n×n kepada hasil tambah minor 2×2.

Determinan 2×2 juga sama dengan luas bertanda bagi segi empat selari yang merentangi dua vektor kolum, itulah sebabnya nilai sifar bermaksud vektor adalah segaris dan matriks adalah singular.

Penentu sifar tepat bermaksud matriks itu adalah singular: ia tiada songsangan, baris dan kolumnnya bersandar secara linear, dan ia merapatkan ruang kepada dimensi yang lebih rendah.

Menurut Encyclopaedia Britannica, sistem linear Ax = b dengan matriks pekali singular mempunyai sama ada tiada penyelesaian atau penyelesaian yang tak terhingga, tidak pernah mempunyai penyelesaian unik. Penentu bukan sifar menandakan matriks bukan singular (boleh songsang), menjamin tepat satu penyelesaian.

Oleh kerana penentu menskalakan luas atau isi padu, nilai sifar sepadan dengan transformasi yang meratakan ruang — contohnya, memetakan rantau 3D pada satu satah, memberikan isi padu sifar dan memusnahkan kebolehsongsangan.

Penentu besar paling baik dicari dengan mengecilkan baris matriks kepada bentuk segi tiga atas berbanding pengembangan kofaktor tulen. Seperti yang dicatat oleh Wolfram MathWorld, penentu bagi matriks segi tiga adalah sama dengan hasil darab entri pepenjurunya, jadi penyingkiran Gaussian membolehkan anda mengira penentu 4×4 atau 5×5 dalam kira-kira operasi n³ dan bukannya n! kofaktor yang diperlukan oleh pengembangan terus.

Jejak dua kesan semasa mengecilkan:

• menukar dua baris mendarabkan penentu dengan −1
• menskalakan baris dengan k mendarabkan penentu dengan k

Menambah gandaan satu baris kepada baris yang lain membiarkan penentu tidak berubah. Kalkulator ini mengendalikan pengiraan secara automatik untuk matriks sehingga 5×5.

Penentu muncul jauh melebihi buku teks.

Dalam geometri, nilai mutlak penentu 2×2 memberikan luas segi empat selari, dan penentu 3×3 memberikan isi padu parallelepiped yang merentang oleh tiga vektor. Petua Cramer menyelesaikan sistem linear kecil menggunakan nisbah penentu, dan hasil darab silang dua vektor 3D dinyatakan sebagai penentu 3×3 bersimbol.

Dalam kalkulus berbilang pemboleh ubah, penentu Jacobian — yang diterangkan dalam NIST Digital Library of Mathematical Functions — mengukur cara perubahan pemboleh ubah menskalakan semula kamiran.

Jurutera menggunakan persamaan ciri det(A − λI) = 0 untuk mencari nilai eigen yang mentadbir mod getaran, kestabilan struktur dan kelakuan sistem kawalan.

Berhati-hati dengan ralat kerap ini:

• Ralat paling kerap ialah melupakan tanda kofaktor berselang-seli +, −, +, −; tanda kedudukan (i, j) ialah (−1)^(i+j), bukannya sekadar positif.
• Kesilapan kedua ialah mengenakan jalan pintas Sarrus pepenjuru kepada matriks 4×4 atau lebih besar — Sarrus hanya berfungsi untuk 3×3.
• Pelajar juga menggugurkan tanda tolak selepas pertukaran baris, memandangkan setiap pertukaran menterbalikkan tanda penentu.
• Satu lagi perangkap ialah melayan penentu seperti operasi matriks: det(A + B) tidak sama dengan det(A) + det(B), walaupun det(AB) sama dengan det(A)·det(B).
• Akhir sekali, ingat penentu hanya wujud untuk matriks segi empat sama; matriks 2×3 tidak mempunyainya.

Sahkan setiap minor 2×2 secara aritmetik sebelum menggabungkannya.

Segelintir ciri, kesemuanya boleh dibuktikan daripada takrifan kofaktor, menjadikan penentu boleh diramalkan.

• Penentu matriks identiti ialah 1, dan mana-mana matriks dengan baris atau kolumn yang semuanya sifar mempunyai penentu 0.
• Dua baris seiras juga memaksa penentu kepada sifar kerana baris tersebut bersandar secara linear.
• Transposisi matriks membiarkan penentunya tidak berubah, jadi det(Aᵀ) = det(A).
• Penentu hasil darab difaktorkan sebagai det(AB) = det(A)·det(B), yang membayangkan det(A⁻¹) = 1/det(A) pada bila-bila masa songsangan wujud.
• Mendarabkan keseluruhan matriks n×n dengan skalar k menskalakan penentu sebanyak kⁿ, bukannya sebanyak k.

Khan Academy merangkumi bukti bagi setiap ciri.