Kalkulator Faktorial

Faktorial bagi n (ditulis sebagai n!) ialah hasil darab semua integer positif sehingga n. Sebagai contoh, 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Faktorial adalah sangat penting dalam pengiraan dan kebarangkalian.

Permutasi mengira susunan yang mementingkan tertib (nPr). Kombinasi pula mengira pilihan yang tidak mementingkan tertib (nCr).

Gunakan permutasi untuk kedudukan, dan kombinasi untuk kumpulan.

Untuk mengira faktorial n!, darabkan setiap integer positif dari 1 hingga n bersama-sama. Sebagai contoh, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, dan 6! = 6 × 120 = 720.

Kaedah manual terpantas adalah dengan menggunakan peraturan rekursif n! = n × (n−1)!, di mana setiap faktorial baharu hanyalah hasil keputusan sebelumnya didarab dengan integer seterusnya. Kalkulator ini menggunakan rekursi tersebut secara dalaman, kemudian memaparkan setiap pendaraban sebagai satu langkah.

Seperti yang dinyatakan oleh Wolfram MathWorld, faktorial ditakrifkan untuk semua integer bukan negatif, dan 0! ditetapkan pada nilai 1 untuk memastikan konsistensi rekursi tersebut.

Formula faktorial ialah n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1, dengan kes asas 0! = 1. Secara setara, faktorial memenuhi rekursi n! = n × (n−1)!, yang membolehkan anda membina setiap nilai daripada nilai sebelumnya.

Perpustakaan Digital Fungsi Matematik NIST memperluaskan idea ini melangkaui integer melalui fungsi gamma, di mana n! = Γ(n+1).

Untuk kombinatorik, anda juga menggunakan dua formula terbitan:

• permutasi nPr = n!/(n−r)!
• kombinasi nCr = n!/[r!(n−r)!]

Ketiga-tiga ungkapan ini merangkumi kebanyakan masalah pengiraan yang akan anda temui dalam kebarangkalian dan matematik diskret.

0! bersamaan dengan 1 mengikut definisi, dan ia bukanlah pilihan yang dibuat secara rawak. Terdapat tepat satu cara untuk menyusun set objek yang kosong — iaitu dengan tidak melakukan apa-apa — jadi bilangan susunan adalah satu.

Menetapkan 0! = 1 juga memastikan rekursi n! = n × (n−1)! kekal sah, memandangkan 1! = 1 × 0! hanya berfungsi jika 0! = 1. Selain itu, ia membolehkan formula seperti nCr = n!/[r!(n−r)!] memberikan jawapan yang betul apabila r = 0 atau r = n.

Khan Academy dan Encyclopaedia Britannica kedua-duanya membentangkan 0! = 1 sebagai konvensyen standard yang mendasari kombinatorik dan teorem binomial.

Faktorial meningkat lebih cepat daripada mana-mana fungsi eksponen, itulah sebabnya pengiraan manual menjadi tidak praktikal dengan cepat. Sebagai ilustrasi:

• 5! = 120
• 10! = 3,628,800
• 20! = 2,432,902,008,176,640,000 — sudah melebihi 2.4 kuintilion

Menjelang 170!, nilainya adalah kira-kira 7.26 × 10^306, hampir dengan had titik apung kejituan berganda standard, sebab itulah banyak alat mengehadkan input pada 170.

Pertumbuhan super-eksponen ini (secara rasminya n! meningkat seperti anggaran Stirling √(2πn)(n/e)^n, yang diterangkan dalam NIST DLMF) menjelaskan mengapa faktorial muncul dalam penyebut siri Taylor, di mana ia mengecilkan sebutan dengan cukup cepat untuk membolehkan siri tersebut menumpu.

A faktorial berganda n!! mendarabkan setiap selang satu integer ke bawah daripada n, berhenti pada 1 (n ganjil) atau 2 (n genap). Untuk nombor ganjil, 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105; untuk nombor genap, 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384.

Ia tidak sama dengan melakukan pengiraan faktorial sebanyak dua kali — (n!)! adalah jauh lebih besar jika dibandingkan. Faktorial berganda muncul dalam kamiran kuasa sinus dan kosinus serta dalam formula untuk isi padu sfera berdimensi tinggi.

Wolfram MathWorld mengkatalogkan faktorial berganda sebagai fungsinya yang tersendiri, dan OEIS menyenaraikan faktorial berganda ganjil 1, 3, 15, 105, 945 sebagai jujukan A001147.

A subfaktorial !n mengira nyahsusunan (derangements) — iaitu permutasi di mana tiada satu pun elemen kekal dalam kedudukan asalnya. Untuk tiga item {1, 2, 3}, hanya {2, 3, 1} dan {3, 1, 2} yang layak, jadi !3 = 2; begitu juga !4 = 9 dan !5 = 44.

Subfaktorial mengikut formula !n = n! × Σ (−1)^k / k! untuk k = 0 hingga n, dan ia berkait rapat dengan teka-teki kebarangkalian seperti masalah "pemeriksaan topi" (hat-check), di mana kebarangkalian tiada sesiapa yang mendapat topi mereka sendiri menghampiri 1/e ≈ 0.3679 apabila n meningkat.

OEIS merekodkan nombor nyahsusunan 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265 sebagai jujukan A000166.

Faktorial mendasari sebarang masalah yang melibatkan pengiraan susunan atau pilihan.

• Dalam kebarangkalian, bilangan kombinasi 5 kad poker yang berbeza daripada dek 52 kad ialah kombinasi 52C5 = 2,598,960.
• Dalam penjadualan dan logistik, n! memberikan bilangan susunan untuk n tugasan atau hentian.
• Dalam kalkulus, faktorial berada di bahagian penyebut bagi siri Taylor dan Maclaurin, mengawal seberapa cepat sebutan mengecil supaya fungsi seperti e^x dan sin x boleh dianggarkan.

Ia juga muncul dalam teorem binomial, taburan statistik seperti Poisson dan binomial, serta kriptografi. Khan Academy menggunakan pengiraan kombinatorik ini sebagai asas kepada kurikulum kebarangkaliannya.

Beberapa kesilapan sering mengelirukan orang ramai apabila mengira faktorial:

• Kesilapan yang paling kerap berlaku ialah terlupa bahawa 0! = 1, yang merosakkan formula kombinasi dan permutasi pada nilai sempadannya.
• Satu lagi kesilapan ialah mengelirukan faktorial berganda n!! (selang satu integer) dengan melakukan pengiraan faktorial sebanyak dua kali — 5!! = 15, tetapi (5!)! adalah tersangat besar.
• Pelajar juga sering keliru antara permutasi dan kombinasi: gunakan nPr apabila tertib susunan adalah penting dan nCr apabila ia tidak penting, jadi 5P2 = 20 tetapi 5C2 = 10.
• Berhati-hati dengan input negatif atau bukan integer, kerana faktorial asas tidak ditakrifkan untuk nilai tersebut (hanya fungsi gamma yang memperluaskannya).
• Akhir sekali, ingat bahawa nilai faktorial melimpah (overflow) dengan cepat — melebihi kira-kira 170!, kebanyakan kalkulator akan kehilangan kejituan, seperti yang dijelaskan dalam analisis pertumbuhan Wolfram MathWorld.

Kedua-dua permutasi dan kombinasi dibina secara langsung daripada faktorial.

Permutasi nPr = n!/(n−r)! mengira susunan yang tertib, jadi memilih dan menyusun 2 daripada 5 item memberikan 5P2 = 5!/3! = 120/6 = 20.

Kombinasi nCr = n!/[r!(n−r)!] mengira pilihan tanpa tertib, jadi 5C2 = 5!/(2!·3!) = 120/(2×6) = 10 — tepat separuh daripada 5P2 kerana setiap pasangan boleh disusun dalam dua cara. Kombinasi juga dipanggil pekali binomial dan menghasilkan segi tiga Pascal. Disebabkan nC2 = n(n−1)/2 adalah kuadratik dalam n, menterbalikkan soalan tersebut — iaitu mencari bilangan item yang menghasilkan jumlah pasangan tertentu, seperti dalam masalah jabat tangan klasik — akhirnya memerlukan penyelesai persamaan kuadratik.

Encyclopaedia Britannica menerangkan ini sebagai operasi teras kombinatorik, dan kalkulator ini mengira nPr dan nCr dengan jalan kerja langkah demi langkah yang lengkap.