Kalkulator Fibonacci

Bermula dengan 1, 1, setiap nombor yang berikutnya adalah hasil tambah dua nombor sebelumnya.

Ini menghasilkan jujukan terkenal: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Apabila nombor Fibonacci semakin besar, nisbah antara sebutan yang berturutan menghampiri nisbah keemasan φ ≈ 1.618.

Nisbah ini muncul di mana-mana dalam alam semula jadi, seni, dan seni bina.

Nombor Fibonacci ialah sebarang sebutan dalam jujukan di mana setiap nilai adalah bersamaan dengan hasil tambah dua nombor sebelumnya, bermula dengan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Formulanya ialah F(n) = F(n-1) + F(n-2), dengan dua nilai permulaan F(1) = F(2) = 1.

Dinamakan sempena ahli matematik Itali abad ke-13, Leonardo of Pisa, yang dikenali sebagai Fibonacci, jujukan ini dipopularkan dalam bukunya yang diterbitkan pada tahun 1202, Liber Abaci, melalui teka-teki populasi arnab.

Seperti yang dinyatakan oleh Wolfram MathWorld, ia merupakan salah satu jujukan integer yang paling banyak dikaji dalam matematik, dikatalogkan sebagai jujukan A000045 dalam OEIS.

Untuk mencari nombor Fibonacci ke-n secara terus tanpa menyenaraikan setiap sebutan sebelumnya, gunakan formula Binet: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, dengan φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.6180339887 ialah nisbah keemasan (golden ratio) dan ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0.6180339887.

Oleh sebab |ψ| adalah kurang daripada 1, ψⁿ mengecil menghampiri sifar, maka F(n) hanyalah integer terhampir dengan φⁿ/√5. Sebagai contoh, φ¹⁰/√5 ≈ 55.004, yang dibundarkan kepada F(10) = 55.

Digital Library of Mathematical Functions (DLMF) milik NIST mendokumenkan bentuk tertutup ini bersama-sama identiti nombor Lucas yang berkaitan.

Nombor Fibonacci ke-10 ialah 55 apabila jujukan diindeks bermula pada F(1) = 1. Mengira sebutan mengikut urutan menghasilkan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, jadi sebutan kesepuluh ialah 55.

Pengindeksan adalah penting: sesetengah rujukan, termasuk sebahagian daripada senarai OEIS, bermula pada F(0) = 0, yang menggeser setiap kedudukan sebanyak satu langkah dan akan menjadikan nilai kesepuluh yang disenaraikan sebagai 34.

Kalkulator ini menggunakan konvensyen berasaskan 1 yang biasa digunakan iaitu F(1) = F(2) = 1. Sentiasa pastikan sama ada sesuatu sumber mengira dari F(0) atau F(1) sebelum membandingkan jawapan.

Sesuatu integer positif N ialah nombor Fibonacci jika dan hanya jika 5N² + 4 atau 5N² − 4 ialah kuasa dua sempurna. Ujian ini berasal daripada struktur algebra di sebalik formula Binet dan membolehkan anda mengesahkan keahlian tanpa perlu menghasilkan keseluruhan jujukan.

Ambil N = 13: 5 × 13² − 4 = 5 × 169 − 4 = 841 = 29², iaitu kuasa dua sempurna, maka 13 ialah nombor Fibonacci.

Sebaliknya, N = 20 gagal dalam kedua-dua semakan (5 × 400 + 4 = 2004 dan 5 × 400 − 4 = 1996 bukan kuasa dua sempurna), jadi 20 bukanlah nombor Fibonacci.

Khan Academy menerangkan penaakulan kuasa dua sempurna yang mendasari identiti ini.

Hasil tambah n nombor Fibonacci pertama adalah bersamaan dengan F(n+2) − 1, satu identiti ringkas yang mengelakkan keperluan menambah sebutan satu demi satu. Untuk 10 nombor pertama, 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, yang menyamai F(12) − 1 = 144 − 1 = 143.

Dua identiti berkaitan yang juga patut diketahui:

• hasil tambah n sebutan pertama berindeks ganjil adalah bersamaan dengan F(2n)
• hasil tambah kuasa dua F(1)² + … + F(n)² adalah bersamaan dengan F(n) × F(n+1)

Wolfram MathWorld menyenaraikan formula hasil tambah ini antara hasil bentuk tertutup klasik bagi jujukan tersebut.

Nisbah nombor Fibonacci yang berturutan menumpu kepada nisbah keemasan φ ≈ 1.6180339887 apabila sebutan semakin meningkat. Nisbah awal berayun di sekitar φ: 55/34 ≈ 1.6176 dan 89/55 ≈ 1.6182, dan menjadi semakin rapat pada setiap langkah.

Ini berlaku kerana formula Binet menjadikan φⁿ sebagai sebutan dominan. Menurut Encyclopaedia Britannica, φ memenuhi persamaan φ² = φ + 1, maka φ ≈ 1.618 dan nilai salingannya 1/φ ≈ 0.618 berbeza tepat sebanyak 1.

Pemalar yang sama turut muncul dalam pepenjuru pentagon dan dalam lingkaran logaritma, itulah sebabnya nisbah Fibonacci sering berulang dalam geometri dan reka bentuk.

Nombor Fibonacci muncul dalam banyak perkara lain selain daripada buku teks.

• Dalam alam semula jadi, kepala biji bunga matahari, sisik kon pain, dan cangkerang nautilus tersusun mengikut lingkaran berkaitan Fibonacci yang padat secara cekap, satu fenomena yang didokumenkan oleh Encyclopaedia Britannica.
• Dalam sains komputer, ia digunakan sebagai penanda aras bagi rekursi dan pengaturcaraan dinamik — sama seperti kalkulator faktorial untuk takrifan rekursif klasik yang lain — dan muncul dalam timbunan (heaps) Fibonacci serta algoritma carian.
• Dalam kewangan, pedagang menggunakan tahap anjakan Fibonacci (23.6%, 38.2%, 61.8%) yang diperoleh daripada nisbah jujukan tersebut.
• Pasukan perisian Agile juga menggunakan skala gaya Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13) untuk anggaran mata cerita (story points) kerana jurang yang semakin melebar mencerminkan ketidakpastian yang semakin meningkat dalam tugasan yang lebih besar.

Beberapa kesilapan biasa sering mengelirukan orang ramai:

• Kesilapan yang paling kerap berlaku ialah kekeliruan indeks: mencampuradukkan konvensyen F(0) = 0 dengan konvensyen F(1) = 1 menggeser setiap sebutan sebanyak satu kedudukan dan menghasilkan jawapan yang lari satu langkah.
• Kesilapan kedua ialah mempercayai formula Binet untuk nilai n yang sangat besar pada kalkulator standard, di mana pembundaran titik terapung boleh menghasilkan integer terhampir yang salah; penambahan berulang atau aritmetik integer besar kekal tepat.
• Ada juga yang tersalah anggap bahawa setiap nombor besar ialah nombor Fibonacci tanpa menggunakan ujian kuasa dua sempurna 5N² ± 4, atau terlupa bahawa angka 1 muncul dua kali di bahagian permulaan.
• Akhir sekali, ingat bahawa tiada indeks pengiraan negatif yang akan memberikan sebutan di bawah F(1) dalam alat ini.

Nombor Fibonacci tergolong dalam keluarga hubungan jadi semula (recurrence) tertib kedua yang lebih luas yang berkongsi peraturan sebutan = sebelumnya + sebelum-sebelumnya tetapi menggunakan nilai permulaan yang berbeza.

Nombor Lucas bermula dengan 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18 dan dikatalogkan sebagai jujukan OEIS A000032; ia memenuhi L(n) = φⁿ + ψⁿ dan berkait rapat dengan Fibonacci melalui identiti seperti F(2n) = F(n) × L(n). Nombor Pell (1, 2, 5, 12, 29) pula menggunakan pendarab yang berbeza.

Mempelajari hubungan kekeluargaan ini, seperti yang diperincikan oleh Wolfram MathWorld, menjelaskan sebab nisbah keemasan mengawal kadar pertumbuhan bagi keseluruhan keluarga jujukan ini.