Kalkulator Kamiran kami mengendalikan kedua-dua kamiran tak tentu (antiterbitan) dan kamiran tentu (luas di bawah graf). Masukkan ungkapan dalam sebutan x dan dapatkan antiterbitan secara serta-merta beserta penjelasan setiap langkah. Bagi kamiran tentu, masukkan had bawah dan had atas untuk mengira keputusan berangka yang tepat. Menyokong polinomial, fungsi trigonometri (sin, cos, tan, sec, csc, cot), eksponen (e^x), logaritma (ln x), punca kuasa dua, dan fungsi majmuk biasa. Apabila pengkamiran simbolik tidak dapat dilakukan, kalkulator ini akan menggunakan kaedah pengkamiran berangka berketepatan tinggi menerusi petua Simpson.
Use ^ for powers, * for multiply, sin/cos/exp/ln/sqrt for functions
Quick Examples
Taip fungsi anda dengan menggunakan x sebagai pemboleh ubah. Gunakan ^ untuk kuasa, * untuk pendaraban, dan nama fungsi piawai seperti sin, cos, exp, ln, sqrt.
Pilih Tak Tentu untuk antiterbitan umum (dengan +C), atau Tentu untuk mengira luas di bawah graf antara dua had.
Untuk kamiran tentu, masukkan had bawah a dan had atas b. Keputusannya ialah luas bertanda bersih F(b) - F(a).
Lihat petua pengamiran yang digunakan (petua kuasa, penggantian, mengikut bahagian) dengan setiap langkah diterangkan secara jelas.
Pengamiran ialah proses terbalik bagi pembezaan. Kamiran tak tentu ∫f(x)dx menghasilkan famili fungsi F(x)+C. Kamiran tentu ∫[a,b]f(x)dx menghasilkan luas bertanda bersih di bawah lengkung dari x=a hingga x=b, yang dikira menggunakan Teorem Asas Kalkulus: F(b) - F(a).
∫f(x)dx = F(x) + C | ∫[a to b]f(x)dx = F(b) - F(a)
Gunakan ^ untuk kuasa: x^3 bermaksud x³. Gunakan * untuk pendaraban: 2*x atau 2x sahaja
Petua kuasa: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (untuk n ≠ -1). Kes khas: ∫x⁻¹dx = ln|x| + C
Kamiran trigonometri: ∫sin(x)dx = -cos(x)+C, ∫cos(x)dx = sin(x)+C, ∫sec²(x)dx = tan(x)+C
Eksponen: ∫eˣdx = eˣ+C, ∫aˣdx = aˣ/ln(a)+C
Logaritma: ∫ln(x)dx = x·ln(x) - x + C (guna pengkamiran bahagian demi bahagian)
Untuk ∫f(ax+b)dx, gantikan u=ax+b: hasilnya ialah F(ax+b)/a + C
Pengamiran ialah salah satu daripada dua operasi asas dalam kalkulus, di samping pembezaan. Semasa terbitan mengukur kadar perubahan seketika, kamiran mengumpul kuantiti — mengira luas di bawah lengkung, isipadu pepejal, jumlah jarak daripada halaju, dan kuantiti terkumpul daripada kadar. Kamiran tak tentu (antiterbitan) menterbalikkan pembezaan: kamiran bagi 2x ialah x² + C, di mana C ialah pemalar pengamiran. Kamiran tentu menilai luas bertanda bersih antara fungsi dan paksi-x dalam selang tertentu. Teorem Asas Kalkulus menghubungkan kedua-duanya, yang menyatakan bahawa kamiran tentu dari a hingga b adalah sama dengan F(b) tolak F(a), dengan F ialah sebarang antiterbitan bagi integrand. Teknik pengamiran merangkumi daripada penggunaan petua kuasa yang mudah hinggalah kaedah lanjutan seperti penggantian, pengamiran mengikut bahagian, pecahan separa, dan identiti trigonometri. Sesetengah fungsi — seperti e^(-x²), yang amat penting bagi taburan normal dalam statistik — tidak mempunyai antiterbitan bentuk tertutup langsung, memerlukan kaedah berangka seperti petua Simpson atau kuadratatur Gaussian. Sama ada anda seorang pelajar yang mempelajari kursus kalkulus, seorang jurutera yang mengira kerja atau fluks, mahupun seorang ahli fizik yang menilai amplitud kebolehjadian, penguasaan pengamiran yang kukuh adalah sangat penting.
Sebuah kalkulator kamiran mengira antiterbitan (kamiran tak tentu) atau kamiran tentu bagi sesuatu fungsi matematik.
Bagi kamiran tak tentu, ia mencari F(x)+C di mana F'(x)=f(x). Bagi kamiran tentu, ia menilai luas bertanda bersih di bawah lengkung f(x) antara dua had menggunakan Teorem Asas Kalkulus.
Kalkulator ini menyokong:
Gunakan * untuk pendaraban, ^ untuk eksponen, dan tanda kurung standard untuk pengelompokan.
Mengamirkan fungsi bermaksud mencari fungsi baharu yang terbitannya sama dengan fungsi asal — iaitu kebalikan daripada pembezaan.
Hasilnya, yang dipanggil antiterbitan atau kamiran tak tentu, ditulis F(x) + C, di mana terbitan F'(x) sama dengan fungsi yang diamirkan f(x) dan C ialah pemalar arbitrari. Secara geometri, kamiran tentu mengukur luas bersih bertanda antara lengkung dan paksi-x bagi sesuatu selang.
Menurut Wolfram MathWorld, kamiran ialah objek matematik yang boleh mewakili luas, perubahan terkumpul, atau jumlah teritlak. Dwi makna ini — antipembezaan dan luas — menjelaskan mengapa pengamiran menjadi asas kepada sebahagian besar kalkulus dan matematik gunaan.
Untuk mencari kamiran, kenal pasti struktur fungsi dan padankannya dengan petua yang diketahui.
Mula-mula cuba petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C bagi n ≠ −1. Bagi hasil tambah, amirkan setiap sebutan secara berasingan; bagi pendaraban pemalar, keluarkan pemalar ke luar. Apabila fungsi yang diamirkan merupakan gubahan didarab dengan terbitan dalaman, gunakan gantian-u; apabila ia berbentuk hasil darab, cuba pengamiran bahagian demi bahagian.
Bagi kamiran tentu, cari antiterbitan F(x), kemudian hitung F(b) − F(a). Sebagai contoh, ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3. Khan Academy menerangkan setiap teknik ini bersama soalan latihan.
Formula asas pengamiran ialah:
Hasil trigonometri piawai termasuk ∫sin(x) dx = −cos(x) + C dan ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
Dua kaedah struktur meluaskan formula ini: gantian-u membalikkan petua rantai, manakala pengamiran bahagian demi bahagian, ∫u dv = uv − ∫v du, membalikkan petua hasil darab. Perpustakaan Digital Fungsi Matematik NIST (DLMF) menyenaraikan hasil asas ini bersama kamiran fungsi khas, menjadikannya rujukan yang boleh dipercayai untuk mengesahkan sebarang formula.
Kamiran tak tentu menghasilkan fungsi: ∫f(x) dx = F(x) + C, iaitu seluruh famili antiterbitan yang berbeza mengikut pemalar C.
Kamiran tentu menghasilkan nombor tunggal: ∫[a,b] f(x) dx bersamaan dengan luas bersih bertanda antara lengkung dan paksi-x dari x = a hingga x = b. Teorem Asas Kalkulus menghubungkan kedua-duanya, menyatakan bahawa kamiran tentu adalah sama dengan F(b) − F(a) bagi mana-mana antiterbitan F.
Sebagai contoh, ∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Encyclopaedia Britannica menggambarkan teorem ini sebagai hasil utama yang menyatukan dua cabang kalkulus.
Gantian-u mempermudahkan kamiran apabila fungsi yang diamirkan mengandungi fungsi gubahan yang didarab dengan terbitan bahagian dalamannya.
Tetapkan u sama dengan ungkapan dalaman, hitung du = u'(x) dx, dan tulis semula kamiran sepenuhnya dalam sebutan u. Sebagai contoh, dalam ∫2x·cos(x²) dx, biarkan u = x² supaya du = 2x dx; kamiran menjadi ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
Bagi kamiran tentu, sama ada tukarkan had kepada nilai u atau gantikan semula sebelum menilai. Khan Academy menggariskan bahawa mengenal pasti corak fungsi-dalaman-dan-terbitannya ialah kemahiran utama untuk menerapkan kaedah gantian secara yakin.
Pengamiran mengumpul kuantiti, menjadikannya sangat penting dalam bidang sains dan kejuruteraan:
Wolfram MathWorld mengutarakan bahawa kamiran juga mengira panjang lengkok, luas permukaan, dan isi padu kisaran. Kalkulator ini menyokong aplikasi tersebut dengan memaparkan antiterbitan simbolik dan nilai berangka yang tepat.
Sesetengah fungsi, seperti e^(−x²) dan sin(x)/x, tidak mempunyai antiterbitan bentuk tertutup yang boleh diungkapkan dengan fungsi asas.
Dalam kes ini, pengamiran berangka menganggarkan kamiran tentu dengan mensampelkan fungsi. Petua Simpson menyesuaikan parabola merentasi pasangan subselang: ∫[a,b] f(x) dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + f(xₙ)], dengan h = (b − a)/n dan n ialah nombor genap.
Ralatnya diskalakan sebagai O(h⁴), jauh lebih baik daripada Petua Trapezium O(h²). NIST DLMF mendokumentasikan kaedah kuadratur ini, termasuk kuadratur Gaussian, yang mencapai ketepatan tinggi dengan titik sampel yang sedikit.
Pertimbangkan ∫₁^e (1/x) dx. Oleh kerana fungsi yang diamirkan ialah 1/x, antiterbitannya ialah ln|x|, bukannya hasil petua kuasa.
Gunakan Teorem Asas Kalkulus: ∫₁^e (1/x) dx = [ln|x|]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. Oleh itu, nilai tepatnya ialah 1.
Sebagai contoh kedua, ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1.71828. Langkah pengiraan ini mencerminkan apa yang dipaparkan oleh kalkulator: kenal pasti antiterbitan, gantikan had atas dan had bawah, kemudian tolak. Menyemak keputusan berpandukan jadual kamiran Wolfram MathWorld ialah amalan baik untuk mengesahkan formula mahupun pengiraan.
Britannica menekankan supaya setiap antiterbitan disemak dengan membezakannya semula kepada fungsi asal yang diamirkan.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.