Kalkulator Matriks

Sebuah kalkulator matriks melaksanakan operasi algebra linear pada susunan nombor segi empat tepat.

Daripada penambahan mudah kepada operasi kompleks seperti mencari songsangan dan penurunan baris, kalkulator kami mengendalikan semua operasi matriks standard dengan penjelasan langkah demi langkah yang lengkap.

• Penambahan/penolakan memerlukan dimensi yang sama dan berfungsi mengikut elemen.
• Pendaraban memerlukan kolum A = baris B.
• Determinan ialah skalar yang menunjukkan kebolehbalikan.
• Songsangan membatalkan pendaraban (A × A⁻¹ = I).
• RREF menggunakan penghapusan Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem linear.

Sebuah matriks ialah susunan nombor berbentuk segi empat tepat yang diatur dalam baris dan lajur, ditulis di dalam kurungan dan saiznya diukur mengikut dimensinya sebagai baris-darab-lajur (contohnya, matriks 2×3 mempunyai 2 baris dan 3 lajur). Setiap entri dirujuk mengikut kedudukannya, A[i][j], yang bermaksud nombor pada baris i dan lajur j.

Menurut Encyclopaedia Britannica, matriks memformalkan sistem persamaan linear dan transformasi linear ke dalam satu objek padat tunggal.

Sebuah matriks persegi mempunyai baris dan lajur yang sama banyak, dan pepenjuru utamanya berjalan dari atas-kiri ke bawah-kanan. Matriks identiti I mempunyai nombor 1 pada pepenjuru tersebut dan 0 di tempat lain, memainkan peranan yang sama seperti nombor 1 dalam pendaraban biasa.

Untuk mendarab matriks A dan B, setiap entri C[i][j] ialah hasil darab bintik antara baris i bagi A dengan lajur j bagi B, menjumlahkan A[i][k]×B[k][j] merentasi k. Ini hanya sah apabila bilangan lajur dalam A sama dengan bilangan baris dalam B, jadi matriks m×n darab dengan matriks n×p menghasilkan keputusan m×p.

Sebagai contoh, [[1,2],[3,4]] × [[5,6],[7,8]] memberikan C[1][1] = 1×5 + 2×7 = 19, dan melengkapkan proses tersebut menghasilkan [[19,22],[43,50]].

Khan Academy menegaskan bahawa pendaraban matriks adalah tidak tukar tertib (not commutative): A×B jarang sekali sama dengan B×A. Petua baris-demi-lajur ini mendasari bagaimana transformasi linear digabungkan.

Determinan bagi matriks 2×2 [[a,b],[c,d]] adalah sama dengan ad − bc; untuk [[1,2],[3,4]] ia adalah (1×4) − (2×3) = 4 − 6 = −2.

Untuk matriks 3×3 anda kembangkan di sepanjang baris atau lajur menggunakan kofaktor, mendarabkan setiap entri dengan determinan minor 2×2 yang tinggal selepas memadamkan baris dan lajurnya, berselang-seli tanda.

Wolfram MathWorld mentakrifkan determinan sebagai skalar yang mengekodkan bagaimana peta linear menskalakan luas atau isi padu bertanda. Determinan sifar bermaksud matriks itu adalah singular (tidak boleh disongsangkan) kerana ia meruntuhkan ruang kepada dimensi yang lebih rendah. Determinan yang lebih besar dijumpai dengan cekap melalui penurunan baris.

Songsangan A⁻¹ ialah matriks yang memenuhi A × A⁻¹ = I, dan ia wujud hanya apabila determinannya bukan sifar.

Untuk matriks 2×2 [[a,b],[c,d]], songsangannya ialah (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]. Mengambil [[1,2],[3,4]] dengan determinan −2, songsangannya ialah (1/−2) × [[4,−2],[−3,1]] = [[−2,1],[1.5,−0.5]].

Untuk matriks yang lebih besar, tambahkan A dengan identiti untuk membentuk [A | I] dan gunakan penyingkiran Gauss-Jordan sehingga blok kiri menjadi I, meninggalkan A⁻¹ di sebelah kanan.

Wolfram MathWorld menyatakan bahawa songsangan menyelesaikan Ax = b secara langsung sebagai x = A⁻¹b, sebab itulah kebolehsongsangan adalah pusat kepada sistem linear.

Penyingkiran Gaussian menyelesaikan sistem linear dengan mengenakan tiga operasi baris asas sehingga matriks mencapai bentuk eselon baris:

• menukar kedudukan baris
• menskalakan baris dengan pemalar bukan sifar
• menambah gandaan satu baris kepada baris yang lain

Teruskan sehingga setiap pivot bernilai 1 dan merupakan satu-satunya entri bukan sifar dalam lajurnya untuk menghasilkan Bentuk Eselon Baris Terurut (RREF), matlamat penyingkiran Gauss-Jordan.

Khan Academy menjelaskan bahawa RREF menjadikan set penyelesaian bagi sesuatu sistem mudah dibaca serta-merta. Oleh kerana operasi ini tidak pernah mengubah set penyelesaian tersebut, RREF ialah kaedah am yang paling boleh dipercayai untuk menyelesaikan persamaan, mengira pangkat (rank), dan mendarab songsangan matriks, serta ia stabil secara berangka apabila digabungkan dengan pivoting separa.

Pangkat bagi sebuah matriks ialah bilangan baris yang tidak pergantungan linear (linearly independent), yang bersamaan dengan bilangan lajur yang tidak pergantungan linear dan kiraan kedudukan pivot dalam RREF.

Menurut Wolfram MathWorld, pangkat mengukur dimensi ruang yang merentang oleh baris atau lajur matriks tersebut.

Matriks persegi n×n boleh disongsangkan tepat apabila ia mempunyai pangkat penuh n; sebarang pangkat yang lebih rendah menandakan matriks singular dan determinan sifar. Pangkat juga mendedahkan berapa banyak persamaan dalam sistem membawa maklumat baharu yang tulen berbanding menjadi gabungan lewah (redundant) bagi yang lain.

Dalam sains data, pangkat rendah menunjukkan bahawa lajur sangat berkorelasi, yang mendasari teknik seperti analisis komponen utama dan pemampatan matriks.

Matriks menguasakan pelbagai teknologi yang luar biasa.

Dalam grafik komputer dan permainan, matriks transformasi memutar, menskalakan, dan mengunjurkan adegan 3D pada skrin 2D; mendarab matriks ini menggabungkan beberapa transformasi menjadi satu.

Dalam pembelajaran mesin (machine learning), wajaran rangkaian saraf ialah matriks, dan latihan bergantung pada pendaraban matriks besar-besaran yang dipercepatkan oleh GPU.

Satu hubungan gerakan tunggal seperti jarak = kelajuan × masa adalah cukup mudah untuk pengiraan asas, tetapi Encyclopaedia Britannica menyatakan bahawa matriks mengambil alih sebaik sahaja banyak kuantiti bergabung bersama dalam fizik dan ekonomi, seperti dalam litar elektrik dan model ekonomi input-output.

Jurutera menggunakannya untuk analisis struktur dan kaedah elemen terhingga, manakala pakar statistik menggunakan matriks kovarians untuk menerangkan hubungan antara pembolehubah.

Algoritma PageRank asal Google bahkan merangka keseluruhan web sebagai satu masalah nilai eigen matriks yang sangat besar.

Vektor eigen bagi matriks persegi A ialah vektor bukan sifar v yang arahnya tidak berubah apabila dendarab dengan A, supaya A·v = λ·v, di mana skalar λ ialah nilai eigen sepadan.

Wolfram MathWorld menyifatkan nilai eigen sebagai punca kepada polinomial ciri det(A − λI) = 0.

Secara geometri, vektor eigen menandakan paksi di mana transformasi linear sekadar meregangkan atau memampatkan ruang mengikut faktor λ, tanpa memutar arah tersebut.

Nilai eigen mendasari analisis kestabilan, mod getaran dalam kejuruteraan, aras tenaga kuantum, dan pengurangan dimensi seperti analisis komponen utama. Hasil darab semua nilai eigen adalah sama dengan determinan, dan jumlahnya sama dengan jejak (hasil tambah entri pepenjuru).

• Ralat yang paling kerap berlaku ialah menganggap pendaraban matriks adalah tukar tertib — A×B biasanya tidak sama dengan B×A, dan menterbalikkan susunan memberikan keputusan yang berbeza atau tidak sah.
• Satu lagi kesilapan ialah mencuba mendarab matriks yang dimensi dalamnya tidak sepadan; kiraan lajur A mesti sama dengan kiraan baris B.
• Pelajar sering mencuba menyongsangkan matriks dengan determinan sifar, yang mana mustahil kerana matriks sedemikian adalah singular.
• Apabila mentransposkan hasil darab, ingat bahawa susunannya terbalik: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
• Semasa penurunan baris, terlupa untuk mengenakan operasi pada setiap entri dalam baris, atau membahagi dengan pivot sifar, akan merosakkan keputusan.
• Akhir sekali, mencampuradukkan indeks baris dan lajur apabila membaca A[i][j] secara senyap-senyap menghasilkan jawapan yang salah.