Kalkulator Gerakan Projektil

Empat persamaan penting (andaikan pelancaran dari aras tanah, tanpa rintangan udara):

• Julat R = v₀²sin(2θ)/g — maksimum pada θ = 45°.
• Ketinggian maksimum H = v₀²sin²(θ)/(2g).
• Masa penerbangan T = 2v₀sin(θ)/g.

Persamaan ini memecahkan halaju pelancaran kepada komponen: v_x = v₀cos(θ) kekal malar sepanjang penerbangan; v_y = v₀sin(θ) - gt berkurangan sehingga sifar di puncak, kemudian meningkat ke bawah.

Pada bila-bila masa t: kedudukan mengufuk x = v₀cos(θ)t, kedudukan menegak y = v₀sin(θ)t - ½gt².

Contoh: sebiji bola meriam yang dilepaskan pada 100 m/s pada 45°: R = 100²×sin(90°)/9.81 = 1,019 m, H = 100²×sin²(45°)/(2×9.81) = 255 m, T = 2×100×sin(45°)/9.81 = 14.4 saat.

Di dalam vakum, julat maksimum berlaku pada 45° untuk sebarang kelajuan pelancaran. Walau bagaimanapun, sudut pelengkap (cth., 30° dan 60°) menghasilkan julat yang sama — 30° memberikan trajektori yang mendatar dan cepat manakala 60° memberikan trajektori yang tinggi dan perlahan.

Bagi pelancaran dari tempat yang tinggi (tebing, bukit), sudut optimum beralih ke bawah 45° kerana projektil mempunyai jarak menegak tambahan untuk dilalui. Dari ketinggian h, sudut optimum ≈ arctan(v₀/√(v₀² + 2gh)), yang menghampiri 45° apabila v₀ meningkat berbanding h.

Dengan adanya rintangan udara, sudut optimum turun kepada 30-40° untuk kebanyakan projektil sebenar kerana trajektori yang tinggi menghabiskan lebih banyak masa di altitud tinggi di mana rintangan udara terkumpul.

Pengiraan artileri juga mesti mengambil kira:

• angin,
• kesan Coriolis (putaran Bumi),
• dan sifat aerodinamik ckerang peluru.

Aplikasi sukan: lontaran percuma bola keranjang (kelajuan awal ~7 m/s, sudut ~52°, ketinggian lepasan ~2.4 m, gelung pada 3.05 m, jarak 4.6 m) mempunyai julat sudut dan kelajuan yang sangat terhad untuk berjaya. Pukulan golf (kelajuan awal 70 m/s, sudut 10-12° dengan putaran ke belakang) menggunakan kesan Magnus (daya angkat akibat putaran) untuk mencapai jarak melebihi 250 meter — jauh melebihi ramalan vakum pada sudut tersebut.

Rintangan udara (daya seretan Fd = ½ρv²CdA) memberi kesan yang ketara kepada trajektori: bola lisut yang dipukul pada 45 m/s pada 35° bergerak sejauh kira-kira 120 meter di dalam vakum tetapi hanya 95-100 meter dengan adanya rintangan udara — pengurangan sebanyak 20%. Daya seretan meningkat mengikut kuasa dua halaju, jadi projektil yang lebih laju terjejas secara berkadar lebih tinggi.

Halaju terminal berlaku apabila seretan sama dengan graviti:

• kira-kira 30 m/s untuk bola lisut,
• 55 m/s untuk penerjun udara (kedudukan terbuka),
• dan 90 m/s untuk penerjun udara (kepala di bawah).

Untuk mengira julat mengufuk di atas tanah rata, guna R = v₀²·sin(2θ)/g, dengan v₀ ialah kelajuan awal, θ ialah sudut pelancaran, dan g ialah pecutan graviti (9.81 m/s² di Bumi).

• Mula-mula kuasaduakan halaju awal,
• kemudian darabkan dengan sinus bagi dua kali ganda sudut pelancaran,
• dan bahagikan dengan g.

Sebagai contoh, sebiji bola yang dilancarkan pada 25 m/s pada 30°: R = 25² × sin(60°) / 9.81 = 625 × 0.8660 / 9.81 ≈ 55.2 meter. Sebutan sudut berganda ini menerangkan sebab 30° dan 60° menghasilkan julat yang sama.

HyperPhysics (Universiti Negeri Georgia) menerbitkan hasil ini daripada persamaan pergerakan mengufuk dan menegak yang bebas.

Pergerakan projektil menggunakan unit asas dan terbitan SI yang ditakrifkan oleh BIPM dan NIST.

• Halaju (v₀) diukur dalam meter sesaat (m/s),
• sudut pelancaran (θ) dalam darjah atau radian,
• jarak dan ketinggian (R, H) dalam meter (m),
• dan masa penerbangan (T) dalam saat (s).

Pecutan graviti g mempunyai unit meter sesaat kuasa dua (m/s²), dengan nilai piawai 9.80665 m/s² mengikut NIST.

Memastikan setiap kuantiti menggunakan unit SI yang konsisten menjamin formula mengembalikan nilai meter dan saat secara terus. Jika anda memasukkan halaju dalam km/j atau kaki, tukar dahulu: 1 km/j = 0.2778 m/s, dan 1 kaki = 0.3048 m, jika tidak, keputusan yang diperoleh tidak akan konsisten dari segi dimensi.

Halaju impak ialah jumlah kelajuan apabila projektil mendarat, dikira dengan menggabungkan komponen halaju mengufuk dan menegak menggunakan teorem Pythagoras: v = √(vₓ² + v_y²).

Komponen mengufuk kekal malar pada vₓ = v₀·cos(θ), manakala komponen menegak semasa mendarat ialah v_y = v₀·sin(θ) − g·t.

Bagi objek yang dilepaskan begitu saja dari ketinggian h (θ = 0, v₀ = 0), kelajuan impak menjadi ringkas kepada v = √(2gh): dijatuhkan dari 45 m, v = √(2 × 9.81 × 45) = √882.9 ≈ 29.7 m/s.

Khan Academy menjelaskan bahawa di dalam vakum, kelajuan pelancaran adalah sama dengan kelajuan pendaratan apabila ketinggian pelancaran dan pendaratan adalah seiras, memandangkan tenaga adalah malar.

Dalam pergerakan projektil, arah mengufuk dan menegak dianalisis secara berasingan kerana graviti bertindak secara menegak sahaja.

Halaju mengufuk vₓ = v₀·cos(θ) adalah malar (tiada daya mengufuk di dalam vakum), jadi kedudukan mengufuk bertambah secara linear: x = v₀·cos(θ)·t. Secara menegak, graviti menghasilkan pecutan ke bawah g yang malar, memberikan y = v₀·sin(θ)·t − ½g·t².

Kebebasan ini, yang mula-mula diutarakan oleh Galileo and diperincikan oleh Encyclopaedia Britannica, bermaksud sebiji peluru yang dilepaskan secara mengufuk dan sebiji peluru yang dijatuhkan dari ketinggian yang sama akan menghentam tanah pada masa yang serentak.

HyperPhysics menganggap kedua-dua komponen ini sebagai dua masalah kinematik satu dimensi yang satu-satunya pemboleh ubah dikongsi bersama ialah masa t.

Apabila projektil dilancarkan dari titik yang tinggi, masa penerbangan dikira dengan menyelesaikan persamaan kedudukan menegak 0 = h + v₀·sin(θ)·t − ½g·t² menggunakan rumus kuadratik: t = [v₀·sin(θ) + √((v₀·sin(θ))² + 2gh)] / g. Di sini h ialah ketinggian pelancaran di atas permukaan pendaratan.

Bagi pelancaran dari aras tanah (h = 0) ia menjadi ringkas kepada rumus piawai T = 2·v₀·sin(θ)/g.

Oleh kerana nilai diskriminan bertambah mengikut h, ketinggian tambahan sentiasa meningkatkan kedua-dua masa penerbangan dan julat mengufuk. Hanya punca positif yang bermakna dari segi fizikal, memandangkan projektil mendarat selepas dilancarkan.

Khan Academy menunjukkan pendekatan kuadratik ini untuk masalah pelancaran dari tebing dan atas bumbung.

Persamaan projektil memodelkan banyak aktiviti dunia sebenar.

• Dalam bola keranjang, lontaran percuma yang dilepaskan pada kelajuan sekitar 7 m/s hampir 52° mengikut laluan parabola ke dalam gelung berketinggian 3.05 m.
• Dalam balistik dan artileri, jurumeriam menetapkan sudut elevasi menggunakan jadual julat yang diterbitkan daripada R = v₀²·sin(2θ)/g, kemudian membuat pembetulan untuk seretan udara, angin, dan putaran Bumi (kesan Coriolis).
• Jurutera awam and mekanikal mengaplikasikan kinematik yang sama pada reka bentuk pancutan air pancut, capaian hos bomba, and pelancaran bungkusan dari sistem konveyor.
• Jurutera aeroangkasa menggunakan asas projektil sebagai garis dasar vakum sebelum menambah seretan aerodinamik dan daya angkat.

Encyclopaedia Britannica mendapati bahawa hasil parabola yang diidealkan ini kekal sebagai anggaran permulaan yang penting merentasi sains sukan dan kejuruteraan.

Kesilapan yang paling kerap berlaku adalah keliru antara mod sudut dan unit.

• Kalkulator secara lalai menggunakan radian, jadi sin(45°) mestilah menggunakan mod darjah atau nilai radian 0.7854, bukannya 45.
• Satu lagi kesilapan adalah terlupa bahawa hanya komponen menegak yang dipengaruhi oleh graviti — halaju mendatar vₓ = v₀·cos(θ) tidak pernah berubah dalam vakum.
• Pelajar juga tersalah menggunakan T = 2v₀sin(θ)/g apabila ketinggian pelancaran dan pendaratan adalah berbeza; jalan pintas itu hanya sah untuk permukaan rata.
• Konvensyen tanda juga penting: anggap pecutan ke bawah sebagai −g secara konsisten.
• Akhir sekali, jangan samakan ketinggian maksimum dengan separuh daripada julat, dan ingat bahawa model ini mengabaikan rintangan udara, mengikut andaian gerakan ideal NIST dan HyperPhysics.

Disebabkan g berada di bahagian penyebut bagi setiap formula projektil, graviti yang lebih lemah menghasilkan penerbangan yang lebih jauh, lebih tinggi dan lebih perlahan. Julat berubah secara songsang dengan g: R = v₀²·sin(2θ)/g.

Menggunakan nilai standard gaya NIST:

• g Bumi ialah 9.81 m/s²,
• g Bulan adalah sekitar 1.62 m/s²,
• dan g Marikh adalah sekitar 3.72 m/s².

Satu projektil yang dilancarkan pada kelajuan 20 m/s pada sudut 45° bergerak kira-kira 40.8 m di Bumi tetapi sekitar 246.9 m di Bulan (40.8 × 9.81 / 1.62) — iaitu kira-kira enam kali lebih jauh. Masa penerbangan dan ketinggian maksimum juga meningkat dengan faktor yang sama.

Inilah sebabnya kalkulator ini membolehkan anda mengubah suai nilai g untuk mensimulasikan keadaan di Bulan, Marikh, atau keadaan yang dilaraskan di dalam makmal.