Kalkulator Teorem Pythagoras

Pada bila-bila masa anda mempunyai segi tiga bersudut tegak dan mengetahui dua daripada tiga sisinya.

Kegunaan biasa di dunia nyata termasuk:

• menguji ketegakan asas bangunan
• mencari pepenjuru TV atau monitor
• mengira jarak perjalanan garis lurus pada peta
• menerbitkan magnitud vektor dalam fizik

Penyelesaian integer kepada a² + b² = c² daripada.

Triple asas merangkumi:

• 3-4-5
• 5-12-13
• 8-15-17
• 7-24-25
• 20-21-29
• 9-40-41

Sebarang gandaan skalar juga merupakan triple yang sah, itulah sebabnya 6-8-10 dan 9-12-15 turut berfungsi.

Hipotenus ialah sisi terpanjang bagi segi tiga bersudut tegak, bertentangan dengan sudut 90°, dan anda boleh mencarinya menggunakan c = √(a² + b²). Kuasa dua setiap sisi, campurkan kedua-dua hasil kuasa dua, kemudian ambil punca kuasa dua.

Untuk sisi 6 dan 8: c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Untuk sisi 5 dan 12: c = √(25 + 144) = √169 = 13. Hasilnya sentiasa lebih besar daripada mana-mana sisi tetapi lebih kecil daripada jumlah kedua-duanya.

Tetapkan mod kalkulator kepada 'Hipotenus c (diberi sisi a dan b)', masukkan kedua-dua sisi dalam unit yang sama, dan ia akan memaparkan c berserta luas, perimeter, dan sudut tirus segi tiga.

Ini adalah kegunaan teorem yang paling kerap — menegakkan sudut, mengukur pendakap pepenjuru, atau mencari panjang cerun susur ambang daripada ketinggian dan jarak mengufuknya.

Apabila anda mengetahui hipotenus dan satu sisi, susun semula teorem untuk mencari sisi yang hilang: a = √(c² − b²). Tolak kuasa dua sisi yang diketahui daripada kuasa dua hipotenus, kemudian ambil punca kuasa dua.

Untuk hipotenus 13 dan sisi 5: a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Hipotenus mesti sentiasa lebih besar daripada sisi yang diketahui — jika c ≤ b, tiada segi tiga bersudut tegak yang wujud dan kalkulator akan menandakannya.

Pilih mod 'Sisi a' atau 'Sisi b', masukkan hipotenus dan sisi yang diketahui, dan alat ini akan memaparkan sisi yang hilang berserta jalan kerja c² − b² penuh langkah demi langkah.

Beginilah cara anda mencari jarak tapak yang selamat untuk tangga daripada panjangnya dan ketinggian dinding yang dicapainya.

Formula jarak 2D d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) sebenarnya ialah teorem Pythagoras yang disamarkan: jurang mengufuk (x₂ − x₁) dan jurang menegak (y₂ − y₁) adalah dua sisi segi tiga bersudut tegak, dan jarak garis lurus ialah hipotenus.

Dari (1, 2) hingga (4, 6): d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Tukar kalkulator kepada 'Jarak antara dua titik 2D', masukkan keempat-empat koordinat, dan ia memberikan jarak yang tepat.

Ini menjadi asas kepada:

• navigasi peta
• mengira jarak pisah antara dua koordinat gaya GPS pada satah
• mencari magnitud vektor dalam fizik
• mengukur jarak piksel dalam grafik dan pembangunan permainan

Sebaik sahaja ketiga-tiga sisi diketahui, luas dan perimeter segi tiga bersudut tegak dapat diperoleh serta-merta. Oleh kerana kedua-dua sisi bertemu pada sudut 90°, ia bertindak sebagai tapak dan tinggi, jadi luasnya adalah sekadar ½ × a × b — tanpa perlukan trigonometri.

Segi tiga 3-4-5 mempunyai luas ½ × 3 × 4 = 6 unit persegi dan perimeter 3 + 4 + 5 = 12. Segi tiga 6-8-10 mempunyai luas ½ × 6 × 8 = 24 dan perimeter 24.

Kalkulator ini melaporkan luas, perimeter, dan kedua-dua sudut tirus (dicari menggunakan arktangen, contohnya sudut A = arctan(a/b)) di samping sisi yang hilang, memberikan penyelesaian lengkap segi tiga hanya daripada dua nilai input. Untuk segi tiga yang tidak mempunyai sudut tegak, kalkulator segi tiga kami menyelesaikan luas, perimeter, dan sudut yang sama menggunakan hukum sinus dan kosinus.

Teorem ini menukarkan dua ukuran harian menjadi pepenjuru.

Saiz skrin TV atau monitor ialah pepenjurunya: skrin berukuran 1.21 m lebar dan 0.68 m tinggi mempunyai ukuran √(1.21² + 0.68²) ≈ 1.39 m, iaitu kira-kira TV 55 inci.

Pepenjuru segi empat tepat ialah hipotenus bagi segi tiga yang terbentuk daripada panjang dan lebarnya, jadi panjang bucu ke bucu bingkai 16:9 ialah √(16² + 9²) ≈ 18.36 unit.

Tukang kayu menegakkan asas atau dek menggunakan kaedah 3-4-5: ukur 3 kaki di sepanjang satu sisi, 4 kaki di sepanjang sisi berserenjang, dan jika pepenjuru antara tanda tersebut tepat 5 kaki, sudut itu adalah sudut tegak yang sebenar. Penskalaan kepada 6-8-10 atau 9-12-15 memberikan lebih ketepatan pada dinding yang lebih panjang.

Songsangan teorem Pythagoras membolehkan anda menguji sama ada sesebuah segi tiga mempunyai sudut tegak:

• jika a² + b² = c² tepat, segi tiga itu bersudut tegak
• jika a² + b² > c², ia adalah tirus
• jika a² + b² < c², ia adalah cakah

Beginilah cara anda mengesahkan sudut adalah tepat hanya daripada tiga panjang yang diukur.

Teorem ini juga meluas kepada tiga dimensi: pepenjuru ruang bagi kotak segi empat tepat dengan sisi x, y, dan z ialah d = √(x² + y² + z²), diperoleh dengan mengenakan teorem dua kali — mula-mula merentasi tapak, kemudian naik ke bucu yang bertentangan.

Kotak 3 × 4 × 12 mempunyai pepenjuru ruang √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 unit, berguna untuk memeriksa sama ada barangan panjang muat secara pepenjuru di dalam kotak.

• Langkah 1: Kenal pasti sisi yang hilang — sama ada hipotenus (sisi terpanjang, bertentangan dengan sudut tegak) atau salah satu daripada dua sisi tapak.
• Langkah 2: Pilih bentuk persamaan yang betul: c = √(a² + b²) untuk hipotenus, atau a = √(c² − b²) untuk sisi.
• Langkah 3: Kuasa duakan sisi yang diketahui.
• Langkah 4: Campurkan nilai kuasa dua (untuk hipotenus) atau tolakkan (untuk sisi).
• Langkah 5: Ambil punca kuasa dua daripada hasil akhirnya.

Contoh kerja untuk hipotenus: sisi 9 dan 12 → 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = √225 = 15.

Contoh kerja untuk sisi: hipotenus 25, sisi 7 → 25² − 7² = 625 − 49 = 576 → a = √576 = 24.

Kalkulator memaparkan setiap langkah ini supaya anda boleh mengikuti atau menyemak algebra secara manual.