Penyelesai Persamaan Kuadratik

Penyelesai persamaan kuadratik percuma kami membantu anda mencari punca bagi sebarang persamaan kuadratik menggunakan rumus kuadratik. Dapatkan diskriminan, bentuk bucu, paksi simetri, bentuk difaktorkan, dan penyelesaian langkah demi langkah yang lengkap. Berfungsi dengan punca nyata dan kompleks.

star 4.9
auto_awesome AI

Kalkulator Kuadratik calculator

Equation
1x² - 5x + 6 = 0
Discriminant (Δ)
1
2 Real Roots
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
Quadratic Formula
x = (-b ± √Δ) / 2a
Solutions
x₁
3
x₂
2
Properties
Vertex (h, k) (2.5, -0.25)
Axis of Symmetry x = 2.5
Sum of Roots 5
Product of Roots 6
Forms
Factored: (x - 3)(x - 2)
Vertex: (x - 2.5)² - 0.25
Solution Steps
1. Δ = b² - 4ac = 25 - 24 = 1
2. x = (-(-5) ± √1) / 2(1)
3. x = (5 ± 1) / 2
4. x₁ = 3, x₂ = 2

lightbulb Tips

  • •x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
  • •Δ > 0: two real roots
  • •Δ = 0: one repeated root
  • •Δ < 0: complex roots

functions Reference

Discriminant (Δ = b²-4ac)
Δ > 0 Two real roots
Δ = 0 One repeated root
Δ < 0 Complex roots
Formulas
Vertex: (-b/2a, f(-b/2a))
Sum of roots: -b/a
Product of roots: c/a

How to Use the Kalkulator Kuadratik

edit

Masukkan Pekali

Masukkan nilai untuk a, b, dan c dalam ax² + bx + c = 0.

functions

Lihat Punca

Lihat penyelesaian x₁ dan x₂ (nyata atau kompleks).

analytics

Analisis Persamaan

Dapatkan diskriminan, bucu, paksi simetri, dan bentuk.

format_list_numbered

Ikuti Langkah

Ketahui proses penyelesaian lengkap langkah demi langkah.

The Formula

Formula kuadratik memberikan penyelesaian kepada sebarang persamaan kuadratik. Diskriminan (Δ) menentukan sama ada punca adalah nyata (Δ ≥ 0) atau kompleks (Δ < 0).

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

lightbulb Variables Explained

  • a, b, c Pekali dalam ax² + bx + c = 0
  • Δ = b² - 4ac Diskriminan (menentukan sifat punca)
  • x₁, x₂ Dua punca (penyelesaian)

tips_and_updates Pro Tips

1

Jika Δ > 0: Dua punca nyata yang berbeza

2

Jika Δ = 0: Satu punca nyata berulang (kuasa dua sempurna)

3

Jika Δ < 0: Dua punca konjugat kompleks

4

Bentuk bucu: a(x - h)² + k di mana h = -b/2a

5

Hasil tambah punca = -b/a, Hasil darab punca = c/a

6

Parabola membuka ke atas jika a > 0, ke bawah jika a < 0

Selesaikan sebarang persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 menggunakan formula kuadratik. Dapatkan punca nyata atau kompleks, diskriminan, bucu, paksi simetri, dan penyelesaian langkah demi langkah yang terperinci.

Kalkulator Formula Kuadratik

Gunakan formula kuadratik x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a untuk mencari penyelesaian tepat.

Berfungsi untuk sebarang pekali dengan penjelasan langkah demi langkah yang lengkap.

Kalkulator Diskriminan

Kira diskriminan Δ = b² - 4ac untuk menentukan sifat punca sebelum menyelesaikan persamaan.

  • Positif bermaksud dua punca nyata
  • sifar bermaksud satu punca
  • negatif bermaksud punca kompleks

Kalkulator Bentuk Bucu

Tukar bentuk piawai kepada bentuk bucu a(x - h)² + k.

Cari koordinat bucu dan fahami kedudukan serta arah parabola.

Kalkulator Pemfaktoran Kuadratik

Dapatkan bentuk difaktorkan a(x - r₁)(x - r₂) apabila punca dijumpai.

Oleh kerana punca selalunya berbentuk pecahan dan bukannya nombor bulat, kalkulator pecahan memudahkan anda meringkaskannya, dan bentuk difaktorkan berguna untuk memahami struktur persamaan serta menyelesaikan ketaksamaan.

Penyelesai Punca Kompleks

Apabila diskriminan bernilai negatif, cari punca konjugat kompleks dalam bentuk a ± bi.

Penyelesai kami mengendalikan penyelesaian nyata dan khayalan.

Penyelesaian Langkah Demi Langkah

Ketahui cara menyelesaikan persamaan kuadratik dengan penjelasan terperinci.

Sesuai untuk pelajar yang mempelajari algebra dan bersedia untuk peperiksaan.

Apakah Persamaan Kuadratik?

Persamaan kuadratik ialah persamaan polinomial darjah kedua yang ditulis dalam bentuk piawai ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c ialah pemalar dan a ≠ 0.

Oleh kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah tidak diketahui x adalah dua, persamaan ini mempunyai paling banyak dua penyelesaian, yang dipanggil punca. Secara geometri, grafnya ialah parabola yang terbuka ke atas apabila a > 0 dan ke bawah apabila a < 0.

Menurut Wolfram MathWorld, istilah "kuadratik" berasal daripada bahasa Latin quadratus, yang bermaksud segi empat sama. Persamaan kuadratik muncul dalam algebra, fizik, dan kewangan, menjadikannya salah satu jenis persamaan yang paling banyak dikaji dalam matematik asas.

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadratik Menggunakan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, gunakan formula kuadratik x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a selepas menulis persamaan dalam bentuk piawai dan mengenal pasti a, b, dan c.

Pertama, kira diskriminan b² - 4ac, kemudian gantikan ke dalam formula dan nilaikan untuk kes tambah dan tolak. Sebagai contoh, 2x² - 4x - 6 = 0 menghasilkan diskriminan 16 + 48 = 64, jadi x = (4 ± 8) / 4, yang memberikan x = 3 dan x = -1.

Khan Academy menyatakan bahawa formula ini berkesan untuk setiap persamaan kuadratik, tidak seperti pemfaktoran atau melengkapkan kuasa dua yang bergantung kepada situasi tertentu. Formula ini diterbitkan dengan melengkapkan kuasa dua pada bentuk am.

Kaedah Melengkapkan Kuasa Dua Dijelaskan

Melengkapkan kuasa dua menulis semula persamaan kuadratik sebagai trinomial kuasa dua sempurna ditambah dengan pemalar, menukar ax² + bx + c = 0 kepada bentuk bucu a(x - h)² + k = 0.

Untuk x² + 6x + 5 = 0, tambah dan tolak (6/2)² = 9 untuk mendapatkan (x + 3)² - 4 = 0, jadi (x + 3)² = 4 dan x = -1 atau x = -5.

Encyclopaedia Britannica menyifatkan teknik klasik ini sebagai asas untuk menerbitkan formula kuadratik itu sendiri. Selain daripada menyelesaikan persamaan, melengkapkan kuasa dua mendedahkan bucu parabola secara terus, menjadikannya bernilai untuk melukis graf dan untuk mengalkuluskan fungsi rasional.

Kegunaan Sebenar Persamaan Kuadratik

Persamaan kuadratik memodelkan banyak situasi dunia sebenar yang melibatkan luas, pergerakan, and pengoptimuman.

  • Dalam fizik, ketinggian projektor mengikut formula h = -½gt² + v₀t + h₀, iaitu fungsi kuadratik terhadap masa yang puncanya mendedahkan apabila objek itu mencecah tanah.
  • Jurutera menggunakannya untuk menentukan saiz kawasan segi empat tepat.
  • Ahli ekonomi menggunakannya untuk mencari harga memaksimumkan keuntungan di mana hasil adalah satu parabola.

Menurut NIST Digital Library of Mathematical Functions, punca polinomial menjadi asas kepada analisis berangka dan pemprosesan isyarat. Wolfram MathWorld menekankan bahawa simetri parabola, yang ditangkap oleh paksi x = -b/(2a), menjadikan persamaan kuadratik ideal untuk menggambarkan piring reflektif, lampu hadapan, dan antena satelit.

Kesilapan Lazim Semasa Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Kesilapan paling lazim ialah menggunakan formula kuadratik sebelum menulis semula persamaan dalam bentuk piawai ax² + bx + c = 0, supaya semua sebutan berada di sebelah yang sama dan bernilai sifar.

  • Satu lagi ralat kerap ialah tersilap mengendalikan tanda: b dalam x² - 5x + 6 ialah -5, bukan 5, yang menukarkan -b kepada +5.
  • Pelajar juga sering terlupa simbol ± dan melaporkan hanya satu punca, atau tercicir penyebut 2a di bawah kedua-dua sebutan.
  • Apabila diskriminan bernilai negatif, jangan membuat kesimpulan "tiada penyelesaian" — puncanya ialah konjugat kompleks, seperti yang dijelaskan oleh Khan Academy.

Akhir sekali, sentiasa sahkan punca dengan menggantikannya semula ke dalam persamaan asal.

Frequently Asked Questions

sell

Tags

quadratic equation solver solve quadratic equation quadratic formula calculator quadratic solver equation solver quadratic quadratic roots calculator solve quadratic equations online quadratic equation calculator with steps
verified

Data sourced from trusted institutions

All formulas verified against official standards.

Wolfram MathWorld - Quadratic Equation open_in_new NIST Digital Library of Mathematical Functions open_in_new Khan Academy - Quadratic Functions & Equations open_in_new Encyclopaedia Britannica - Quadratic Equation open_in_new Wolfram MathWorld - Discriminant open_in_new