Kalkulator Sisihan Piawai

Perbezaan utama terletak pada penyebut: sisihan piawai sampel dibahagikan dengan (n-1) manakala sisihan piawai populasi dibahagikan dengan n.

Gunakan sisihan piawai sampel apabila data anda merupakan sebahagian daripada populasi yang lebih besar (yang paling biasa berlaku dalam situasi dunia sebenar).

Gunakan sisihan piawai populasi hanya apabila anda mempunyai data untuk setiap ahli bagi keseluruhan populasi yang anda kaji.

Untuk populasi: σ = √[Σ(xi - μ)² / N], di mana μ ialah min populasi dan N ialah saiz populasi.

Untuk sampel: s = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)], di mana x̄ ialah min sampel dan n ialah saiz sampel.

Pembahagian dengan (n-1) dalam formula sampel dipanggil pembetulan Bessel dan memberikan anggaran saksama bagi sisihan piawai populasi.

Sisihan piawai membantu anda memahami kebolehubahan data.

Dalam taburan normal, kira-kira 68% nilai berada dalam satu sisihan piawai daripada min, 95% dalam lingkungan dua sisihan piawai, dan 99.7% dalam lingkungan tiga sisihan piawai (peraturan 68-95-99.7).

Bandingkan sisihan piawai bagi set data yang berbeza untuk memahami set data mana yang mempunyai lebih banyak kebolehubahan.

Sisihan piawai ialah ukuran tentang sejauh mana serakan sekumpulan nombor di sekitar minnya (purata). Ia menjawab soalan: secara purata, sejauh manakah setiap titik data berada dari pusat?

A sisihan piawai yang kecil bermakna nilai-nilai tersebut berkumpul rapat di sekitar min, manakala sisihan piawai yang besar bermakna ia tersebar luas.

Menurut Encyclopaedia Britannica, sisihan piawai ialah ukuran serakan yang paling banyak digunakan dalam statistik kerana ia dinyatakan dalam unit yang sama dengan data asal, berbeza dengan varians. Ia menjadi asas kepada segala-galanya daripada kawalan kualiti hinggalah kewangan, membolehkan anda membandingkan ketekalan merentas set data yang berbeza dalam sekelip mata.

Untuk mengira sisihan piawai secara manual, ikuti lima langkah ini:

• Pertama, cari min dengan menambah semua nilai dan membahagikannya dengan jumlah bilangan, iaitu perkara yang dilakukan oleh kalkulator purata kami dalam satu klik jika anda ingin menyemak angka itu terlebih dahulu.
• Kedua, tolak min daripada setiap nilai untuk mendapatkan sisihan.
• Ketiga, kuasaduakan setiap sisihan supaya nilai negatif tidak membatalkan nilai positif.
• Keempat, tambah sisihan kuasa dua tersebut dan bahagikan dengan n untuk populasi atau n-1 untuk sampel untuk mendapatkan varians.
• Kelima, cari punca kuasa dua bagi varians tersebut.

Khan Academy menerangkan prosedur yang sama ini dengan contoh jalan kerja. Kalkulator ini mengautomasikan setiap langkah dan menunjukkan nilai perantara supaya anda boleh menyemak hasil kerja anda sendiri.

Pertimbangkan set data klasik 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Jumlahnya ialah 40 merentas 8 nilai, jadi minnya ialah 5.

Sisihan daripada min ialah -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, dan kuasa duanya ialah 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, yang apabila dijumlahkan menjadi 32.

Untuk populasi, bahagikan dengan N = 8 untuk mendapatkan varians sebanyak 4, dan punca kuasa dua memberikan sisihan piawai populasi tepat sebanyak 2. Contoh ini terdapat dalam entri sisihan piawai Wolfram MathWorld.

Untuk sampel, anda perlu membahagikan 32 dengan n-1 = 7, memberikan varians kira-kira 4.571 dan sisihan piawai sampel kira-kira 2.138.

Formula sisihan piawai populasi ialah sigma = sqrt(sum of (xi - mu)^2 / N), di mana mu ialah min populasi dan N ialah bilangan nilai.

Formula sampel ialah s = sqrt(sum of (xi - xbar)^2 / (n-1)), di mana xbar ialah min sampel. Satu-satunya perbezaan ialah penyebutnya.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods mentakrifkan kedua-duanya dan menjelaskan bahawa pembahagian dengan n-1, yang dikenali sebagai pembetulan Bessel, menghasilkan anggaran saksama bagi varians populasi daripada sampel.

Varians hanyalah nilai di bawah punca kuasa dua, jadi sisihan piawai sentiasa merupakan punca kuasa dua bagi varians dan berkongsi unit yang sama dengan data asal.

Sisihan piawai sampel membahagikan jumlah sisihan kuasa dua dengan n-1 dan bukannya n kerana sampel cenderung memandang rendah serakan sebenar keseluruhan populasi.

Apabila anda mengira sisihan daripada min sampel dan bukannya min populasi yang tidak diketahui, anda kehilangan satu darjah kebebasan, jadi pembahagi dikurangkan sebanyak satu untuk mengimbangi perkara ini. Pelarasan ini, yang dipanggil pembetulan Bessel, menghasilkan penganggar saksama bagi varians populasi.

NIST e-Handbook mengesahkan n-1 ialah pilihan standard untuk data sampel. Gunakan n-1 setiap kali nombor anda merupakan subset yang diambil daripada kumpulan yang lebih besar, yang merangkumi kebanyakan tinjauan, eksperimen dan pengumpulan data dunia sebenar.

Sisihan piawai digunakan dalam pelbagai bidang:

• Dalam kewangan, ia mengukur kemandirian (volatiliti) pulangan pelaburan, jadi sisihan piawai yang lebih tinggi menandakan risiko yang lebih tinggi.
• Dalam pembuatan dan kawalan kualiti, ia memacu proses Six Sigma yang memastikan produk kekal dalam had toleransi.
• Dalam pendidikan, ia menerangkan sejauh mana markah ujian berkumpul di sekitar purata kelas.
• Dalam sains cuaca dan iklim, ia menggambarkan kebolehubahan suhu merentas musim.

Encyclopaedia Britannica menyatakan bahawa sisihan piawai adalah penting untuk taburan normal, yang memodelkan pelbagai fenomena semula jadi. Oleh kerana ia dinyatakan dalam unit yang sama dengan data, para profesional menggunakannya untuk membandingkan ketekalan, menetapkan ambang dan mengesan pemerhatian yang luar biasa.

Untuk data yang mengikut taburan normal (berbentuk loceng), peraturan empirikal menyatakan bahawa kira-kira 68% nilai berada dalam julat satu sisihan piawai daripada min, kira-kira 95% dalam julat dua sisihan piawai, dan kira-kira 99.7% dalam julat tiga sisihan piawai.

Oleh itu, jika markah ujian mempunyai min 70 dan sisihan piawai 10, kira-kira 68% pelajar mendapat markah antara 60 dan 80.

Wolfram MathWorld menerangkan corak ini sebagai ciri penentu bagi taburan normal. Peraturan ini menukarkan nombor serakan abstrak kepada kebarangkalian konkrit, membantu anda menilai sejauh mana biasa atau jarangnya sesuatu nilai dalam set data anda.

• Kesilapan yang paling kerap berlaku ialah tertukar antara formula sampel dan populasi dengan menggunakan penyebut yang salah; membahagi dengan n apabila anda sepatutnya menggunakan n-1 akan merendahkan nilai serakan untuk data sampel.
• Satu lagi kesilapan ialah terlupa untuk mengkuasaduakan sisihan, yang menyebabkan perbezaan positif dan negatif saling membatalkan menjadi sifar.
• Ramai orang juga keliru antara varians dengan sisihan piawai, dengan melaporkan nilai kuasa dua dan bukannya punca kuasa dua.
• Membundarkan min terlalu awal akan membawa ralat ke setiap langkah seterusnya, jadi kekalkan kejituan penuh sehingga ke langkah terakhir.
• Akhir sekali, sisihan piawai hanya merumuskan data simetri yang hampir normal dengan baik; untuk data yang sangat pencong, ia boleh mengelirukan, seperti yang diperingatkan oleh Khan Academy.