Kalkulator Segitiga

Tiga formula merangkumi setiap situasi.

• Tapak-tinggi: Luas = ½ × b × h. Pilih mana-mana sisi sebagai tapak; h ialah jarak serenjang dari bucu bertentangan ke tapak tersebut (atau sambungannya). Inilah formula yang diajar mula-mula di sekolah dan apa yang anda gunakan apabila tinggi diberikan atau mudah dijatuhkan.
• Formula Heron: Luas = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] dengan s = (a+b+c)/2. Gunakannya apabila ketiga-tiga sisi diketahui tetapi tiada tinggi — biasa dalam kerja ukur, navigasi, dan sebarang masalah yang dibingkai oleh panjang sisi sahaja. Dari segi berangka, Heron kehilangan ketepatan untuk segi tiga yang sangat nipis (seperti jarum) di mana satu sisi hampir sama dengan hasil tambah dua sisi yang lain; kalkulator menggunakan varian stabil berangka dalam kes tersebut.
• Trigonometri (luas SAS): Luas = ½ × a × b × sin(C) di antara sudut C antara sisi a dan b. Terutamanya padat apabila data SAS diberikan dan berguna dalam algebra linear dan fizik (magnitud hasil darab silang).

Ketiga-tiganya memberikan hasil yang seiras — ia adalah bentuk algebra yang berbeza bagi kuantiti geometri yang sama.

Tidak semua set tiga panjang positif membentuk segi tiga yang sah. Ketidaksamaan Segi Tiga menyatakan bahawa setiap pasang sisi mesti dijumlahkan kepada strictly lebih daripada yang ketiga: a + b > c, a + c > b, dan b + c > a, kesemuanya secara serentak.

Secara geometri: jika dua sisi pendek tidak dapat merentasi sisi panjang, tiada segi tiga wujud — sisi pendek rebah ke atas sisi panjang.

Panjang seperti 1, 2, 4 gagal (1 + 2 = 3 < 4). Panjang seperti 5, 5, 9 berjaya (5 + 5 = 10 > 9). Kesamaan (1 + 2 = 3 dengan sisi 1, 2, 3) menghasilkan segi tiga merosot dengan luas sifar — tiga titik kolinear, secara teknikal bukan segi tiga.

Kalkulator mengesahkan ketidaksamaan sebelum mengira dan menunjukkan ralat yang jelas jika sisi tidak boleh membentuk segi tiga sebenar. Sebarang kegunaan kejuruteraan struktur atau kerja ukur bagi kalkulator ini harus menganggap pengesahan ketidaksamaan segi tiga sebagai semakan kewarasan pada ukuran lapangan.

Lima 'kes kekongruenan' mentakrifkan kombinasi tiga ukuran yang diketahui yang menentukan segi tiga secara unik (atau hampir unik).

• SSS — tiga sisi: guna Petua Kosinus untuk menyelesaikan sebarang sudut, kemudian sudut ketiga ialah 180° ditolak dua sudut yang lain.
• SAS — dua sisi dan sudut kandung: Petua Kosinus memberikan sisi ketiga; kemudian Petua Sinus (atau Kosinus sekali lagi) memberikan sudut yang selebihnya.
• ASA — dua sudut dan sisi di antaranya: sudut ketiga ialah 180° − (A + B); kemudian Petua Sinus memberikan dua sisi yang lain.
• AAS — dua sudut dan sisi tak kandung: sama seperti ASA selepas mengira sudut ketiga.
• SSA — dua sisi dan sudut tak kandung: ini adalah kes taksa (bahagian seterusnya), dengan mungkin 0, 1, atau 2 segi tiga yang sah.
• AAA sahaja (tiga sudut, tiada sisi) menentukan bentuk tetapi bukan saiz — infiniti bilangan segi tiga serupa memenuhinya, jadi AAA tidak boleh diselesaikan sendiri.

Kalkulator menghalakan setiap kombinasi input ke kaedah yang betul.

Petua Sinus: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Nisbah mana-mana sisi kepada sinus sudut bertentangannya adalah sama untuk ketiga-tiga pasangan. Gunakannya untuk ASA, AAS, dan SSA.

Kendalanya ialah SSA: diberi sisi a, b dan sudut A (sisi bertentangan a), mungkin tiada segi tiga, tepat satu, atau dua segi tiga yang berbeza. Geometrinya:

• jika a lebih pendek daripada jarak serenjang dari bucu ketiga yang tidak diketahui ke tapak, tiada segi tiga wujud.
• Jika a sama dengan jarak itu, tepat satu segi tiga (bersudut tegak) wujud.
• Jika a jatuh di antara jarak itu dan b, dua segi tiga wujud — satu tirus dan satu cakah untuk sudut B.
• Jika a lebih panjang daripada b, hanya satu segi tiga wujud.

Kalkulator mengesan ketiga-tiga rezim dan melaporkan kedua-dua penyelesaian apabila SSA taksa. Di sinilah kebanyakan ralat pelajar datang dalam trigonometri pengenalan — dan satu sebab amalan kejuruteraan mengelakkan pembingkaian SSA apabila alternatif wujud.

Petua Kosinus: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Ia menggeneralisasikan teorem Phytagoras — apabila C = 90°, cos(C) = 0 dan formula mengecil kepada a² + b² = c².

Gunakannya pada bila-bila masa Petua Sinus tidak terpakai: SSS dan SAS. Daripada SSS, selesaikan untuk sebarang sudut: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), kemudian C = arccos(...). Daripada SAS, masukkan dua sisi yang diketahui dan sudut kandung ke dalam formula dan ambil punca kuasa dua untuk sisi ketiga.

Dari segi pengiraan, Petua Kosinus lebih stabil secara berangka berbanding Petua Sinus untuk sudut yang sangat kecil atau sangat cakah dan itulah yang digunakan oleh kebanyakan perisian CAD dan kerja ukur secara dalaman. Kalkulator memilih Petua Kosinus secara automatik untuk input SSS dan SAS.

Apabila satu sudut tepat 90°, segi tiga itu bersudut tegak dan matematik menjadi mudah dengan ketara. Teorem Phytagoras: a² + b² = c², di mana c ialah hipotenus (sisi bertentangan dengan sudut 90°, sentiasa yang paling panjang). Untuk mencari tapak: a = √(c² − b²). Untuk mencari hipotenus: c = √(a² + b²).

Dua sudut tirus juga boleh diakses melalui SOH-CAH-TOA: sin(A) = bertentangan/hipotenus = a/c, cos(A) = bersebelahan/hipotenus = b/c, tan(A) = bertentangan/bersebelahan = a/b.

Dua nisbah berbaloi untuk dihafal.

• Segi tiga 30-60-90 mempunyai nisbah sisi 1 : √3 : 2 — separuh daripada segi tiga sama sisi, mana-mana sahaja dalam peperiksaan geometri dan pemotongan jubin.
• 45-45-90 (sama kaki bersudut tegak) mempunyai nisbah sisi 1 : 1 : √2 — separuh daripada segi empat sama, mana-mana sahaja dalam pertukangan dan grafik komputer.

Untuk masalah segi tiga bersudut tegak yang lebih mendalam secara khusus, guna Kalkulator Teorem Phytagoras khusus kami; kalkulator ini merangkumi kes segi tiga bersudut tegak sebagai salah satu daripada tujuh mod penyelesaian.

Dua sistem pengelasan selari, digunakan bersama.

Mengikut sisi:

• Sama sisi (ketiga-tiga sisi sama — automatik semua sudut 60°),
• Sama kaki (tepat dua sisi sama — juga mempunyai dua sudut yang sama, iaitu sudut bertentangan dengan sisi yang sama),
• Tak sama kaki (ketiga-tiga sisi panjangnya berbeza).

Mengikut sudut:

• Tirus (setiap sudut kurang daripada 90°),
• Tegak (tepat satu sudut 90°),
• Cakah (tepat satu sudut lebih besar daripada 90° — dua lagi mestilah tirus).

Setiap segi tiga mempunyai label sisi dan label sudut. 3-4-5 ialah 'tak sama kaki bersudut tegak'. 60-60-60 ialah 'sama sisi tirus' (satu-satunya jenis yang mungkin — sama sisi menyiratkan tirus). 45-45-90 ialah 'sama kaki bersudut tegak'. 100-40-40 (darjah) dengan dua sisi yang sama ialah 'sama kaki cakah'. Kalkulator mengeluarkan kedua-dua pengelasan.

Satu triple Pythagoras adalah set tiga integer positif (a, b, c) yang memenuhi a² + b² = c². Ia membentuk segi tiga tepat dengan semua panjang sisi berinteger — berguna dalam pembinaan, grafik komputer, dan di mana sahaja geometri integer bersih membantu.

Triple primitif (tiada faktor sepunya): 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 11-60-61, 12-35-37, 20-21-29. Sebarang gandaan integer bagi triple primitif juga adalah triple — jadi 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50, dan seterusnya semuanya berfungsi.

Jurina menggunakan kaedah 3-4-5 untuk menyiku penjuru: ukur 3 unit di sepanjang satu dinding, 4 di sepanjang serenjang, dan sahkan pepenjuru adalah tepat 5. Jika ia 5.0, penjuru adalah tepat 90°; jika ia tersasar, laraskan.

Euclid dan golongan Pythagorean mengkatalogkan ini secara sistematis, dan ahli teori nombor mengitlakkannya melalui formula Euclid a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² untuk integer m > n > 0.

Formula Heron, yang dikaitkan dengan Hero dari Alexandria (k.s. 60 Masihi), memberikan luas segi tiga dari tiga panjang sisi sahaja — tiada ketinggian diperlukan: Luas = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] di mana s = (a+b+c)/2 separuh perimeter. Ia adalah formula utama untuk masalah luas SSS dan untuk sebarang aplikasi yang mengukur sisi secara terus (ukur bahan, jarak terbitan GPS, pemeriksaan bahagian).

Satu amaran berangka: apabila satu sisi sangat hampir dengan hasil tambah dua sisi yang lain (segi tiga 'jarum'), bentuk standard kehilangan ketepatan titik apungan. Bentuk stabil secara berangka, oleh W. Kahan, ialah: Luas = ¼ × √[(a + (b + c)) × (c − (a − b)) × (c + (a − b)) × (a + (b − c))], di mana a ≥ b ≥ c disusun secara menurun.

Kalkulator menggunakan bentuk stabil ini secara dalaman supaya ketepatan terpelihara merentasi semua segi tiga yang sah.

Setiap segi tiga mempunyai dua bulatan semula jadi. Bulatan bertulis (incircle) adalah bulatan terbesar yang muat di dalam, berserenjang dengan ketiga-tiga sisi — jejarinya adalah jejari dalam r = Area / s (separuh perimeter). Bulatan tertera (circumcircle) merentasi ketiga-tiga bucu — jejarinya adalah jejari luar R = abc / (4 × Area), atau bersamaan R = a / (2·sin A) mengikut Hukum Sinus.

Empat 'pusat' klasik bertindih untuk segi tiga sama sisi tetapi berbeza untuk segi tiga biasa:

• pusat dalam (tempat pembahagi dua sudut bertemu, pusat bulatan dalam),
• pusat luar (tempat pembahagi dua serenjang sisi bertemu, pusat bulatan luar),
• pusat berat (tempat median bertemu, pusat jisim),
• ortopusat (tempat altitud bertemu).

Garis Euler menghubungkan pusat luar, pusat berat, dan ortopusat untuk sebarang segi tiga tidak sama sisi. Kalkulator mengeluarkan r dan R di samping ukuran asas; pusat itu sendiri bergantung kepada koordinat dan memerlukan peletakan segi tiga dalam sistem koordinat.

Segi tiga ialah bentuk asas struktur dunia fizikal dan digital.

• Seni bina: segi tiga ialah satu-satunya poligon tegar — ia tidak boleh berubah bentuk tanpa menukar panjang sisi. Kekuda bumbung, kubah geodesik, dan rangka jambatan bergantung pada ini.
• Ukur bahan: triangulasi telah menjadi piawaian selama berabad-abad — ukur dua sudut dan satu garisan asas (ASA), dan bucu ketiga (titik yang tidak boleh diakses) diselesaikan dengan Hukum Sinus. GPS moden dan stesen jumlah masih menggunakan matematik di sebaliknya.
• Navigasi: penetapan kedudukan melalui triangulasi 'tiga-bearing' memberikan tetapan pada persilangan tiga sudut kepada tanda tempat yang diketahui. Navigasi penerbangan dan marin menggunakan ini sebagai sandaran apabila GPS tidak tersedia.
• Pembangunan permainan dan grafik komputer: setiap model 3D dirender sebagai jaringan segi tiga, kerana segi tiga ialah poligon rata yang paling ringkas dan meraster dengan cekap pada GPU. Kaedah titik dalam dan koordinat barisentrik yang digunakan untuk mengisi segi tiga pada skrin bergantung secara langsung pada pengiraan luas gaya Heron.

Matematik yang anda lakukan dengan kalkulator ini adalah matematik yang sama dilakukan oleh GPU berjuta-juta kali setiap bingkai.

Enam ralat berulang.

• Mencampurkan darjah dan radian: kebanyakan kalkulator (dan yang ini) lalai kepada darjah; semak suis. Bahasa pengaturcaraan biasanya lalai kepada radian. Kesilapan 90° vs 90 radian adalah ketara.
• Lupa ketaksamaan segi tiga: pelajar memasukkan 1, 2, 5 dan mempercayai output; kalkulator kini menolak ini dengan ralat yang jelas.
• Menggunakan Hukum Sinus untuk SSS atau SAS: ini memerlukan Hukum Kosinus. Hukum Sinus memerlukan sekurang-kurangnya satu sudut diketahui untuk bermula.
• Terlepas penyelesaian SSA kedua: dalam kes ambigua, kedua-dua segi tiga boleh sah — jawapan peperiksaan sering menjangkakan kedua-duanya.
• Mengenal pasti hipotenus dengan salah: ia sentiasa sisi bertentangan dengan sudut 90° dan sisi terpanjang — bukan mana-mana sisi yang dilabelkan c.
• Mengelirukan ketinggian dengan sisi: ketinggian ialah jarak serenjang dari bucu ke sisi bertentangan (atau sambungannya), bukan salah satu sisi. Untuk segi tiga cakah, ketinggian ke sisi tertentu mungkin jatuh di luar segi tiga sepenuhnya; itu tidak mengapa untuk formula luas.