Kalkulator Skor Z

Formula z-score ialah z = (x − μ) / σ, di mana x ialah nilai asal anda, μ ialah min, dan σ ialah sisihan piawai.

Masukkan ketiga-tiga nilai ini ke dalam kalkulator untuk mendapatkan z-score serta-merta, berserta persentil dan kebarangkalian yang sepadan.

Tukar sebarang skor-z kepada kedudukan persentil menggunakan taburan normal piawai kumulatif.

• Skor-z sebanyak 0 = Persentil ke-50 (min).
• Skor-z sebanyak 1.0 = Persentil ke-84.
• Skor-z sebanyak 1.96 = Persentil ke-97.5 (digunakan dalam selang keyakinan 95%).

Skor-z mengikut taburan normal piawai (min=0, Sisihan Piawai=1).

Petua 68-95-99.7 menyatakan bahawa:

• 68% data berada dalam julat z=±1
• 95% dalam julat z=±2
• 99.7% dalam julat z=±3

Kalkulator kami memaparkan visual skor-z anda pada lengkung taburan normal.

Skor-z, yang juga dipanggil skor piawai, ialah bilangan sisihan piawai sesuatu titik data daripada min tabirannya.

Skor-z sebanyak 0 terletak tepat pada min, +1.5 terletak satu setengah sisihan piawai di atasnya, dan −2 terletak dua sisihan piawai di bawahnya.

Kerana ia menskalakan semula sebarang pembolehubah kepada unit sepunya, skor-z membolehkan anda membandingkan nilai yang diukur pada skala yang berbeza — contohnya markah ujian berbanding ketinggian.

Menurut Wolfram MathWorld, skor piawai menyeragamkan pembolehubah normal kepada taburan dengan min 0 dan sisihan piawai 1, yang merupakan asas bagi hampir setiap ujian statistik berparameter.

Skor-z dikira sebagai z = (x − μ) / σ, di mana x ialah pemerhatian mentah, μ ialah min populasi, dan σ ialah sisihan piawai populasi.

Anda tolakkan min untuk memusatkan data pada sifar, kemudian bahagikan dengan sisihan piawai untuk menyatakan jarak dalam unit piawai. Apabila anda hanya mempunyai sampel, gantikan dengan min sampel x̄ dan sisihan piawai sampel s.

Bagi markah 85 dengan min 70 dan sisihan piawai 10, z = (85 − 70) / 10 = 1.5.

Khan Academy menyatakan transformasi ini mengekalkan bentuk taburan sambil menyeragamkan pusat dan taburannya.

Untuk menukar skor-z kepada kebarangkalian, nilaikan fungsi taburan kumulatif (CDF) bagi taburan normal piawai, Φ(z), yang memberikan P(Z < z).

Bagi z = 1.5, Φ(1.5) ≈ 0.9332, jadi kira-kira 93.32% daripada nilai berada di bawahnya dan 6.68% di atasnya.

CDF ditentukan melalui fungsi ralat, erf, seperti yang didokumenkan dalam Perpustakaan Digital NIST untuk Fungsi Matematik (DLMF §7). Oleh kerana lengkung normal adalah simetri, Φ(−z) = 1 − Φ(z).

Kalkulator mengendalikan pengintegrasian ini secara automatik, jadi anda tidak perlu membaca jadual-z bercetak.

Beberapa skor-z kerap berulang dalam statistik.

• Z sebanyak 1.0 menandakan persentil ke-84 dan −1.0 menandakan persentil ke-16.
• Nilai kritikal 1.645 sepadan dengan persentil ke-95 (satu hujung), manakala 1.96 memberikan persentil ke-97.5 dan mentakrifkan selang keyakinan dua hala 95% yang biasa.
• Z sebanyak 2.576 menandakan persentil ke-99.5, digunakan untuk keyakinan 99%.

Di bawah petua 68-95-99.7 yang diterangkan oleh Encyclopaedia Britannica, lebih kurang 68% data terletak dalam julat ±1, 95% dalam julat ±2, dan 99.7% dalam julat ±3 sisihan piawai dari min. Menghafalkan titik rujukan ini mempercepatkan proses tafsiran.

Skor-z muncul jauh melangkaui bilik darjah.

• Peperiksaan berpiawai melaporkannya supaya markah daripada bentuk ujian yang berbeza boleh dibandingkan dengan adil.
• Dalam kawalan kualiti pembuatan, jurutera menandakan sebarang ukuran yang melebihi ±3 sisihan piawai sebagai nilai anomali (outlier), kerana kurang daripada 0.3% daripada proses normal sepatutnya berada di situ.
• Kewangan menggunakan skor-z dalam model seperti skor-Z Altman untuk risiko muflis, dan penjagaan kesihatan bergantung padanya untuk carta pertumbuhan dan skor ketumpatan tulang.

Pada bila-bila masa anda perlu membandingkan pemerhatian yang diambil daripada skala atau set data yang berbeza, menyarikannya ke dalam skor-z, seperti yang ditunjukkan oleh Khan Academy, menjadikan perbandingan itu bermakna.

Untuk menterbalikkan proses dan mencari skor-z daripada persentil, gunakan fungsi normal songsang (probit), Φ⁻¹(p).

Masukkan persentil sebagai nisbah antara 0 dan 1:

• persentil ke-90 menghasilkan z kira-kira 1.282
• persentil ke-95 menghasilkan 1.645
• persentil ke-99 menghasilkan lebih kurang 2.326

Nilai di bawah persentil ke-50 menghasilkan skor-z negatif, mencerminkan kedudukan di bawah min.

E-Handbook Kaedah Statistik NIST/SEMATECH menjadualkan kuantil taburan normal piawai ini, dan mod songsang kalkulator ini mengiranya secara terus daripada sebarang persentil yang anda masukkan.

Dalam ujian-z, statistik ujian ialah skor-z yang mengukur sejauh mana min sampel terletak daripada nilai berhipotesis di bawah hipotesis nol.

Anda membandingkannya dengan nilai kritikal:

• untuk ujian dua hujung pada tahap 5%, tolak hipotesis nol jika |z| melebihi 1.96
• pada tahap 1% jika |z| melebihi 2.576

Secara setara, tukar skor-z kepada nilai-p menggunakan CDF normal piawai dan tolak apabila nilai-p berada di bawah ambang kepentingan α anda.

Britannica menyatakan ujian-z menganggap sisihan piawai populasi diketahui dan taburan pensampelan adalah lebih kurang normal, syarat yang selalunya dipenuhi oleh Teorem Had Pusat untuk sampel yang besar.

• Ralat yang paling kerap berlaku ialah membahagi dengan varians dan bukan sisihan piawai — ingat σ ialah punca kuasa dua bagi varians, jadi sentiasa bahagi dengan σ.
• Satu lagi kesilapan ialah mencampuradukkan statistik populasi dan sampel: guna μ dan σ untuk populasi penuh tetapi x̄ dan s untuk sampel.
• Orang ramai juga mengelirukan skor-z dengan persentil; z sebanyak 1.0 bukanlah persentil ke-100 tetapi persentil ke-84.
• Akhir sekali, skor-z hanya membawa makna kebarangkalian biasa apabila data adalah lebih kurang normal.

Seperti yang diingatkan oleh Wolfram MathWorld, penggunaan kebarangkalian lengkung normal pada data yang condong teruk menghasilkan persentil yang keliru.