Konwerter binarny, szesnastkowy i systemów liczbowych

System binarny (podstawa 2) używa tylko cyfr 0 i 1. Aby przekonwertować liczbę binarną na dziesiętną, pomnoż każdą cyfrę przez 2 podniesione do potęgi odpowiadającej jej pozycji (licząc od 0 po prawej stronie) i zsumuj wyniki.

Przykład: 1101 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13.

System szesnastkowy (podstawa 16) używa cyfr 0-9 oraz liter A-F. Jest popularny w programowaniu, ponieważ każda cyfra szesnastkowa reprezentuje dokładnie 4 bity.

FF w systemie szesnastkowym = 255 dziesiętnie = 11111111 binarnie.

• Komputery używają wewnętrznie systemu binarnego.
• System szesnastkowy zapewnia zwięzły sposób reprezentowania danych binarnych.
• System ósemkowy był używany w starszych systemach.
• System dziesiętny jest przyjazny dla ludzi.

Każda podstawa ma swoje zastosowanie w informatyce i matematyce.

Podstawa systemu liczbowego (nazywana również radiksem) to liczba unikalnych cyfr, jakich używa pozycyjny system liczbowy do reprezentowania wartości. System dziesiętny używa dziesięciu cyfr (0-9); system binarny dwóch (0 i 1).

W każdym systemie pozycyjnym miejsce każdej cyfry ma wagę równą podstawie podniesionej do potęgi tej pozycji, licząc od zera po prawej stronie. Zatem liczba dziesiętna 253 oznacza 2×10² + 5×10¹ + 3×10⁰.

Według Wolfram MathWorld ta zasada pozycyjna pozwala niewielkiemu zestawowi symboli wyrażać dowolnie duże liczby, dlatego konwersja podstaw jest w gruncie rzeczy ponownym wyrażeniem tej samej ilości za pomocą innych wartości pozycyjnych.

Aby przekonwertować liczbę dziesiętną na dowolną docelową podstawę, dziel ją wielokrotnie przez tę podstawę i zbieraj reszty, a następnie odczytaj je od ostatniej do pierwszej.

Konwersja 156 na system szesnastkowy: 156 ÷ 16 = 9 reszta 12 (C), a 9 ÷ 16 = 0 reszta 9, więc czytając od dołu do góry otrzymujemy 9C. Sprawdzenie: 9×16 + 12 = 144 + 12 = 156.

Khan Academy uczy tej samej techniki dzielenia i zapisywania dla systemów binarnych i innych. Działa to dla każdej podstawy od 2 do 36, ponieważ każde dzielenie izoluje najpierw najmniej znaczącą cyfrę, budując wynik po jednej wartości pozycyjnej naraz.

Ponieważ 8 i 16 są potęgami liczby 2, możesz konwertować system binarny bezpośrednio poprzez grupowanie bitów zamiast przechodzenia przez system dziesiętny. Grupuj cyfry binarne w zestawy po trzy (od prawej) dla systemu ósemkowego lub zestawy po cztery dla szesnastkowego, dodając w razie potrzeby zera wiodące.

Przykład: liczba binarna 11010110 grupuje się jako 1101 0110 → D6 w systemie szesnastkowym lub jako 011 010 110 → 326 w ósemkowym. Sprawdź oba wyniki z systemem dziesiętnym: 214.

Wolfram MathWorld zauważa, że ten skrót grupowania jest dokładny właśnie dlatego, że jedna cyfra ósemková odpowiada trzem bitom, a jedna cyfra szesnastkowa czterem bitom.

Główny wzór do odczytania dowolnej podstawy w systemie dziesiętnym to Wartość = Σ(dₙ × podstawaⁿ), gdzie każda cyfra dₙ jest mnożona przez podstawę podniesioną do potęgi jej pozycji n, licząc od zera po prawej stronie.

Dla systemu szesnastkowego 2AF: 2×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = 512 + 160 + 15 = 687.

Encyclopaedia Britannica opisuje tę strukturę ważonej sumy jako cechę definiującą notację pozycyjną, odróżniającą ją od systemów niepozycyjnych, takich jak cyfry rzymskie. Ta sama formuła obsługuje części ułamkowe za pomocą ujemnych wykładników, dzięki czemu cyfra po kropce radiksowej niesie wagę podstawa⁻¹.

Różne podstawy dominują w różnych zadaniach informatycznych:

• System szesnastkowy koduje adresy pamięci, kody kolorów RGB, takie jak #FF5733, adresy MAC oraz zrzuty bajtów, ponieważ dwie cyfry szesnastkowe zgrabnie reprezentują jeden 8-bitowy bajt.
• System ósemkowy przetrwał w uprawnieniach plików systemu Unix: chmod 755 przyznaje prawo odczytu, zapisu i wykonywania właścicielowi oraz odczytu i wykonywania innym, ponieważ każda cyfra ósemkowa odpowiada trzem bitom uprawnień.
• System binarny stanowi fundament wszystkiego na poziomie sprzętowym, od logiki procesora po maski podsieci sieciowych.

Zrozumienie tych podstaw pomaga programistom debugować dane niskiego poziomu, a Britannica zauważa centralną rolę systemu binarnego w projektowaniu wszystkich nowoczesnych komputerów cyfrowych.

Podstawa 36 to największa podstawa, która mieści się swobodnie w standardowym alfanumerycznym zestawie znaków, wykorzystując dziesięć cyfr 0-9 oraz 26 liter A-Z dla wartości od 10 do 35. Daje to dokładnie 36 różnych symboli.

Jest popularna do zwięzłego kodowania dużych liczb jako krótkich ciągów znaków, takich jak skracacze URL i unikalne identyfikatory, ponieważ pakuje więcej informacji na znak niż system dziesiętny czy szesnastkowy.

Dla każdej podstawy powyżej 10 litery po prostu rozszerzają zestaw cyfr: A=10, B=11, aż do Z=35. Ten konwerter obsługuje każdą podstawę od 2 do 36 przy użyciu tej konwencji.

Każda pozycja w liczbie binarnej niesie wagę będącą potęgą dwójki, więc znajomość tych potęg sprawia, że konwersja binarna przebiega szybko. Od prawej strony wagi to 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, a następnie 256, 512 i 1024 (co daje 2¹⁰).

Dlatego 8-bitowy bajt przechowuje wartości od 0 do 255: suma pierwszych ośmiu wag (od 1 do 128) wynosi 255.

Wolfram MathWorld kategoryzuje potęgi dwójki jako jeden z najbardziej podstawowych ciągów liczb całkowitych w informatyce. Zapamiętanie ich do 1024 pozwala konwertować małe liczby binarne w pamięci bez wielokrotnego dzielenia, podczas gdy dla większych wartości kalkulator szybko podpowiada, ile bitów potrzebuje liczba, ponieważ liczba bitów to po prostu jej logarytm o podstawie 2 zaokrąglony w górę.

• Najczęstszym błędem jest błędne policzenie wykładników pozycji przez zaczęcie od jedynki zamiast od zera; skrajnie prawa cyfra zawsze ma pozycję 0, co daje jej wagę podstawa⁰ = 1.
• Innym powszechnym przejęzyczeniem jest zapomnienie o uzupełnieniu systemu binarnego do pełnych grup po trzy lub cztery przed mapowaniem na system ósemkowy lub szesnastkowy, co przesuwa każdą cyfrę.
• Ludzie mylą również litery szesnastkowe, pisząc D jako 14 zamiast 13 (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).
• Wreszcie, używając metody dzielenia z resztą, reszty należy odczytywać od ostatniego dzielenia w górę, a nie w kolejności ich powstania.

Podwójne sprawdzenie za pomocą formuły pozycyjnej wychytuje wszystkie cztery błędy.