Kalkulator binarny

System binarny (dwójkowy) używa tylko cyfr 0 i 1. Aby przeliczyć liczbę na system dziesiętny, pomnóż każdy bit przez 2 podniesione do potęgi odpowiadającej jego pozycji i zsumuj wyniki.

Przykład: 10110 = 16+4+2 = 22.

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie binarne kierują się tymi samymi zasadami co arytmetyka dziesiętna, ale wykorzystują tylko dwie cyfry.

Ten kalkulator pokazuje przeniesienia, pożyczki i iloczyny cząstkowe krok po kroku.

Bitowe operacje AND, OR, XOR oraz NOT działają na poszczególnych bitach i stanowią podstawę informatyki.

Reprezentacja w kodzie uzupełnień do dwóch (U2) umożliwia zapisywanie liczb ujemnych w systemie binarnym, gdzie najstarszy bit oznacza znak.

Aby przeliczyć liczbę dziesiętną na binarną, dziel ją wielokrotnie przez 2 i zapisuj reszty z dzielenia, a następnie odczytaj reszty od dołu do góry.

Na przykład 22 daje: 22/2=11 reszty 0, 11/2=5 reszty 1, 5/2=2 reszty 1, 2/2=1 reszty 0, 1/2=0 reszty 1, co daje 10110.

System dwójkowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 2 zdefiniowany w międzynarodowych normach ISO/IEC/IEEE 60559 oraz ISO 80000-1, w którym każda pozycja reprezentuje potęgę liczby 2.

Ponieważ komputery przechowują wszystkie dane w postaci sygnałów dwustanowych, system dwójkowy jest ich naturalnym sposobem kodowania, a metoda dzielenia z resztą w niezawodny sposób przelicza każdą nieujemną liczbę całkowitą na postać binarną.

Aby przeliczyć system binarny na szesnastkowy, pogrupuj bity po 4 od prawej strony i przypisz każdej grupie jedną cyfrę szesnastkową (od 0000=0 do 1111=F); w przypadku systemu ósemkowego grupuj bity po 3 (od 000=0 do 111=7).

Na przykład binarna liczba 11111111 to FF w systemie szesnastkowym i 377 w ósemkowym.

Działa to, ponieważ 16 = 2^4 oraz 8 = 2^3, więc każda cyfra szesnastkowa koduje dokładnie 4 bity, a każda cyfra ósemkowa dokładnie 3 bity.

Zapis szesnastkowy i ósemkowy są standaryzowane w normie ISO/IEC 9899 (standard języka C), stanowiąc zwięzły skrót powszechnie używany przez programistów do odczytywania długich ciągów binarnych.

Aby znaleźć kod uzupełnień do dwóch (U2) liczby binarnej, odwróć każdy bit (uzupełnienie do jedności - U1), a następnie dodaj 1.

Na przykład w zapisie 8-bitowym liczba +5 to 00000101, więc -5 to 11111010 + 1 = 11111011.

Kod U2 to standardowa reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem opisana w normie ISO/IEC 9899 i stosowana przez niemal każdy współczesny procesor, ponieważ dodawanie i odejmowanie działają identycznie dla wartości ze znakiem i bez znaku.

Zakres wartości zależy od szerokości bitowej:

• Dla szerokości 8 bitów zakres wynosi od -128 do 127
• Dla 16 bitów od -32 768 do 32 767
• Dla 32 bitów od około -2,15 miliarda do 2,15 miliarda

Najbardziej znaczący bit (najstarszy bit) pełni funkcję bitu znaku.

Komputery używają systemu binarnego, ponieważ układy elektroniczne w niezawodny sposób rozróżniają tylko dwa stany – włączony i wyłączony – odwzorowane jako 1 i 0.

Taki dwupoziomowy sygnał jest znacznie bardziej odporny na zakłócenia niż próba utrzymania dziesięciu odrębnych poziomów napięcia dla systemu dziesiętnego. Dlatego system dwójkowy stanowi podstawę logiki cyfrowej i pamięci opisanych w normach informatycznych IEEE oraz ISO/IEC. Każdy znak, obraz i instrukcja są ostatecznie przechowywane jako bity.

Międzynarodowa Komisja Elektrotechniczna (IEC 80000-13) formalizuje bit jako podstawową jednostkę informacji, a bajt jako 8 bitów, dlatego rozmiary danych i adresy pamięci są wyrażane w potęgach liczby 2 w całej architekturze komputerowej.

Jeden bajt to 8 bitów, a rozmiary danych wykorzystują dwa różne systemy przedrostków.

Przedrostki dwójkowe (binarne) zdefiniowane w normie IEC 80000-13 wykorzystują potęgi liczby 1024:

• 1 KiB (kibibajt) = 1024 bajty
• 1 MiB = 1024 KiB
• 1 GiB = 1024 MiB

Dziesiętne przedrostki SI zdefiniowane przez BIPM wykorzystują potęgi liczby 1000:

• 1 kB = 1000 bajtów
• 1 MB = 1 000 000 bajtów

Różnica ta wyjaśnia, dlaczego dysk oznaczony jako 1 TB (10^12 bajtów) jest wyświetlany jako około 0,909 TiB w systemach operacyjnych przeliczających rozmiary w potęgach liczby 1024. Stosowanie przedrostków KiB/MiB pozwala uniknąć tych dwuznaczności, ze względu na co IEC wprowadziło przedrostki binarne.

System binarny napędza niemal każdą technologię cyfrową:

• Flagi i maski bitowe pakują wiele ustawień włączony/wyłączony w pojedynczą liczbę całkowitą, oszczędzając pamięć w oprogramowaniu i systemach wbudowanych.
• Sieci komputerowe wykorzystują system binarny do obliczania masek podsieci i zakresów adresów IP, gdzie każdy oktet IPv4 składa się z 8 bitów.
• Kodowanie znaków, takie jak UTF-8 znormalizowane przez konsorcjum Unicode, przechowuje tekst jako sekwencje bajtów, a formaty plików, wartości kolorów (24-bitowy RGB) i instrukcje maszynowe mają postać binarną.
• Kryptografia w znacznym stopniu opiera się na operacji XOR.

Zrozumienie konwersji i arytmetyki binarnej pomaga programistom, inżynierom sieciowym i projektantom sprzętu w analizie sposobu reprezentacji i przetwarzania danych.

Dodawanie binarne podlega czterem zasadom, stosowanym kolumna po kolumnie od prawej do lewej:

• 0+0=0
• 0+1=1
• 1+0=1
• 1+1=10 (zapisz 0, przenieś 1); trzy 1 dają 11 (zapisz 1, przenieś 1)

Na przykład 1011 + 1101 = 11000, co odpowiada 11 + 13 = 24 w systemie dziesiętnym.

Odejmowanie wykorzystuje pożyczanie, gdzie 0-1 pożycza z następnej kolumny, tworząc 10-1=1. W praktyce większość komputerów odejmuje poprzez dodawanie uzupełnienia do dwóch (U2), co pozwala uniknąć osobnego układu pożyczającego.

Ten kalkulator wyświetla każdy bit przeniesienia i pożyczki, co pozwala zweryfikować obliczenia krok po kroku.

Podczas pracy z systemem binarnym często popełnia się kilka błędów:

• Najczęstszym błędem jest odczytywanie reszt z dzielenia w złej kolejności podczas przeliczania z systemu dziesiętnego na binarny; zawsze odczytuj je od dołu do góry.
• Innym błędem jest błędne liczenie pozycji bitów, które zaczynają się od 0 po prawej stronie, a nie od 1.
• Podczas grupowania dla systemu szesnastkowego lub ósemkowego dodaj zera wiodące z lewej strony, aby skrajnie lewa grupa była pełna.
• W kodzie U2 zapominanie o stałej szerokości bitowej prowadzi do błędów znaku, ponieważ liczba -5 wygląda inaczej w postaci 8-bitowej niż w 16-bitowej.
• Wreszcie, mylenie przedrostków binarnych (1 KiB = 1024 bajty według IEC 80000-13) z przedrostkami dziesiętnymi (1 kB = 1000 bajtów według BIPM) prowadzi do błędnych obliczeń pojemności pamięci.