Sprawdzanie lat przestępnych

Zasada roku przestępnego składa się z trzech zagnieżdżonych warunków, które stopniowo poprawiają dokładność kalendarza.

• Po pierwsze, każdy rok podzielny przez 4 jest kandydatem na rok przestępny — ten podstawowy cykl koryguje roczną nadwyżkę 0,2422 dnia.
• Po drugie, lata stulecia (podzielne przez 100) są wykluczone z lat przestępnych, ponieważ czteroletnia korekta zawyża wynik o 0,0078 dnia na cykl, co sumuje się do około 3 dodatkowych dni co 400 lat.
• Po trzecie, lata podzielne przez 400 są przywracane jako lata przestępne, co przywraca jeden z tych trzech pominiętych dni.

Wynik: 400 lat zawiera dokładnie 97 lat przestępnych (a nie 100), co daje średnią długość roku 365,2425 dnia.

Ostatnie przykłady ilustrują tę zasadę:

• 2024 był rokiem przestępnym (podzielny przez 4, nie jest rokiem stulecia).
• 1900 NIE był rokiem przestępnym (podzielny przez 100, ale nie przez 400).
• 2000 BYŁ rokiem przestępnym (podzielny przez 400).

Kolejnym wyjątkiem stulecia jest rok 2100, który nie będzie rokiem przestępnym, mimo że jest podzielny przez 4.

Kalendarz juliański, wprowadzony przez Juliusza Cezara w 45 r. p.n.e., stosował prostszą zasadę: co czwarty rok jest przestępny, kropka. Dawało to średni rok 365,25 dnia — blisko, ale niewystarczająco dokładnie. Przez 1600 lat kalendarz juliański przesunął się o 10 dni względem rzeczywistości astronomicznej. Do XVI wieku równonoc wiosenna wypadała 11 marca zamiast 21 marca, co zakłócało obliczanie daty Wielkanocy.

Papież Grzegorz XIII zlecił reformę kalendarza gregoriańskiego w 1582 roku, która pominęła 10 dni (po 4 października nastąpił 15 października) i wprowadziła wyjątki dla lat stulecia/400-letnich.

Kraje katolickie przyjęły go natychmiast, ale narody protestanckie i prawosławne opierały się przez dziesięciolecia, a nawet stulecia — Wielka Brytania i jej kolonie przeszły na niego dopiero w 1752 roku, co wymagało już pominięcia 11 dni. Rosja przyjęła kalendarz gregoriański dopiero w 1918 roku. Dziś kalendarz gregoriański jest międzynarodowym standardem cywilnym używanym przez niemal każdy kraj.

Osoby urodzone 29 lutego — nazywane przestępnymi — napotykają unikalne wyzwania praktyczne. Na całym świecie około 4,1 miliona ludzi ma urodziny 29 lutego, co stanowi około 1 na 1461 osób. W większości jurysdykcji prawnych osoby te w latach nieprzestępnych obchodzą urodziny 1 marca dla celów takich jak prawo jazdy czy prawo wyborcze, choć niektóre kraje stosują 28 lutego. Szansa na urodzenie się 29 lutego jest nieco mniejsza niż 1/1461, ponieważ szpitale historycznie planowały mniej wywoływanych porodów i cesarskich cięć w tym dniu.

Programiści muszą ostrożnie podchodzić do lat przestępnych — pluskwa milenijna (Y2K) dotyczyła tego, czy systemy poprawnie zidentyfikują rok 2000 jako przestępny (podzielny przez 400), zamiast wykluczyć go jako rok stulecia.

Sekundy przestępne, osobna koncepcja, są czasami dodawane do czasu UTC, aby uwzględnić spowolnienie rotacji Ziemi, ale nie są one związane z korektą kalendarza roku przestępnego.

Rok przestępny to rok kalendarzowy zawierający 366 dni zamiast zwykłych 365, z dodatkowym dniem dodanym jako 29 lutego.

Ta korekta istnieje, ponieważ Ziemia nie okrąża Słońca w pełnej liczbie dni — według Obserwatorium Marynarki Wojennej USA zajmuje to około 365,2422 dnia. Gdyby kalendarz ignorował tę pozostałą ćwiartkę dnia, pory roku powoli przesuwałyby się względem dat i po około 700 latach grudzień wypadałby w czasie, który obecnie nazywamy latem. Dodawanie jednego dnia co cztery lata pochłania większość tej nadwyżki.

Luty został wybrany na dodatkowy dzień, ponieważ w starożytnym kalendarzu rzymskim, z którego się wywodzi, luty był ostatnim i najkrótszym miesiącem roku, jak podaje Encyclopaedia Britannica.

Aby sprawdzić dowolny rok, zastosuj zasadę gregoriańską w trzech uporządkowanych krokach.

• Krok 1: podziel rok przez 4 — jeśli jest reszta, nie jest to rok przestępny i możesz przestać.
• Krok 2: jeśli dzieli się równo przez 4, sprawdź, czy jest również podzielny przez 100; jeśli nie, jest to rok przestępny.
• Krok 3: jeśli jest podzielny przez 100, sprawdź podzielność przez 400 — podzielny oznacza rok przestępny, niepodzielny oznacza rok zwykły.

Przykład: 2024 ÷ 4 = 506 bez reszty, a 2024 nie jest rokiem stulecia, więc 2024 jest rokiem przestępnym. Dla kontrastu 2023 ÷ 4 = 505,75, więc 2023 jest rokiem zwykłym. To testuje podstawową podzielność, koncepcję, którą Khan Academy omawia w swoim programie nauczania arytmetyki.

Test roku przestępnego to zwięzłe wyrażenie w arytmetyce modularnej: rok Y jest przestępny, gdy (Y mod 4 = 0 ORAZ Y mod 100 ≠ 0) LUB (Y mod 400 = 0). Operator 'mod' zwraca resztę z dzielenia, funkcję, którą Wolfram MathWorld definiuje jako relację przystawania.

Oba warunki łączą się tak, że zasada podzielności przez 4 ma zastosowanie ogólne, klauzula podzielności przez 100 wyklucza lata stulecia, a klauzula podzielności przez 400 przywraca co czwarte stulecie.

W większości języków programowania znak procenta (%) jest operatorem modulo, więc warunek brzmi dokładnie tak: (rok % 4 == 0 && rok % 100 != 0) || (rok % 400 == 0). Ponieważ logika opiera się na czystej arytmetyce liczb całkowitych, nie wymaga tabeli wyszukiwania kalendarza i ocenia się identycznie dla każdego roku, przeszłego lub przyszłego.

W każdym 400-letnim cyklu gregoriańskim jest dokładnie 97 lat przestępnych, a nie 100.

Liczenie wygląda tak: 400 ÷ 4 = 100 lat podzielnych przez 4, następnie odejmij 3 lata stulecia, które są podzielne przez 100, ale nie przez 400 (takie jak 2100, 2200 i 2300), co daje 100 − 3 = 97. Daje to średnią długość roku kalendarzowego 365 + 97/400 = 365,2425 dnia, co jest niezwykle bliskie roku astronomicznemu.

Pełny cykl 400-letni zawiera zatem 400 × 365 + 97 = 146 097 dni. Ciekawy wniosek: 146 097 jest dokładnie podzielne przez 7 (146 097 ÷ 7 = 20 871), więc kalendarz gregoriański powtarza swój układ dni tygodnia co 400 lat, co oznacza, że każda data przypada na ten sam dzień tygodnia, co cztery wieki wcześniej.

Lata przestępne zazwyczaj przypadają na lata podzielne przez 4. Ostatnie lata przestępne to 2016, 2020 i 2024, a nadchodzące lata przestępne to 2028, 2032, 2036, 2040 i 2044.

Wzór łamie się tylko w latach stulecia: 1700, 1800 i 1900 były latami zwykłymi, podczas gdy 2000 był rokiem przestępnym, ponieważ jest podzielny przez 400. Patrząc w przyszłość, 2100, 2200 i 2300 będą latami zwykłymi, a następnym przestępnym rokiem stulecia będzie 2400.

Ponieważ lata przestępne kończą się na liczby parzyste 0, 4 lub 8 w obrębie stulecia, szybkim skrótem dla sprawdzenia dwucyfrowego jest sprawdzenie, czy ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 — o ile rok nie jest rokiem stulecia wymagającym testu 400.

Logika roku przestępnego ma znaczenie wykraczające poza ciekawostki.

• Programiści muszą poprawnie obsługiwać 29 lutego w bibliotekach dat, systemach planowania i oprogramowaniu finansowym — błąd przetwarzania płatności w 2016 roku i znany problem roku 2000 wynikały z błędnie obsłużonych zasad przestępności, gdzie systemy ryzykowały potraktowanie roku 2000 jako zwykłego.
• Obliczenia płac i odsetek, które wykorzystują rzeczywistą liczbę dni, zależą od wiedzy, czy rok ma 365 czy 366 dni.
• Astronomowie i projektanci kalendarzy używają średniej 365,2425 dnia, aby utrzymać czas cywilny w zgodzie z rokiem zwrotnikowym.
• Genealodzy i historycy konwertujący daty w okresie przejścia z kalendarza juliańskiego na gregoriański w 1582 roku muszą uwzględnić różniące się zasady przestępności.
• Nawet kalkulator wieku dziecka potrzebuje logiki przestępnej, aby osoba urodzona 29 lutego była traktowana konsekwentnie, co jest istotne dla osób śledzących swój wiek prawny.

• Najczęstszym błędem jest stosowanie tylko zasady 'podzielności przez 4' i zapominanie o wyjątkach stulecia — błędnie oznacza to 1900 i 2100 jako lata przestępne, podczas gdy oba są zwykłe.
• Drugim błędem jest odwrotność: zakładanie, że wszystkie lata stulecia są pomijane, co błędnie wyklucza 2000 i 2400, mimo że oba są podzielne przez 400 i są prawdziwymi latami przestępnymi.
• Trzecią pułapką jest mylenie lat przestępnych z sekundami przestępnymi; sekundy przestępne to nieregularne, jednosekundowe korekty uniwersalnego czasu koordynowanego ze względu na rotację Ziemi i nie podlegają stałemu wzorcowi, nie są związane z zasadą dnia przestępnego w kalendarzu.
• Wreszcie, niektórzy mylą zasady juliańskie z gregoriańskimi dla dat historycznych sprzed 1582 roku, kiedy co czwarty rok był przestępny bez wyjątku stulecia, co może przesunąć konwersję dat historycznych o kilka dni.

Rok przestępny i sekunda przestępna rozwiązują dwa zupełnie różne problemy związane z odmierzaniem czasu.

Rok przestępny dodaje cały dzień (29 lutego) zgodnie z przewidywalnym harmonogramem, aby utrzymać kalendarz w zgodzie z orbitą Ziemi wokół Słońca trwającą około 365,2422 dnia. Sekunda przestępna natomiast dodaje jedną sekundę do uniwersalnego czasu koordynowanego (UTC) w sposób nieregularny i nieprzewidywalny, aby zrekompensować stopniowe i nierównomierne spowolnienie rotacji Ziemi, jak dokumentuje Obserwatorium Marynarki Wojennej USA.

Sekundy przestępne były wprowadzane tylko około dwudziestu kilku razy od 1972 roku i są ogłaszane z zaledwie kilkumiesięcznym wyprzedzeniem, podczas gdy lata przestępne podlegają stałej, 400-letniej zasadzie matematycznej, którą można obliczyć z wyprzedzeniem na stulecia. Pod koniec 2022 roku międzynarodowe organy zajmujące się czasem przegłosowały wycofanie sekundy przestępnej do 2035 roku, ale zasada roku przestępnego pozostaje niezmieniona i nienaruszona.