Calculator factorial

Factorialul lui n (scris ca n!) este produsul tuturor numerelor întregi pozitive până la n. De exemplu, 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Factorialele sunt fundamentale în numărare și probabilități.

Permutările numără aranjamentele în care ordinea contează (nPr). Combinările numără selecțiile în care ordinea nu contează (nCr).

Folosește permutările pentru clasamente și combinările pentru grupuri.

Pentru a calcula un factorial n!, înmulțește toate numerele întregi pozitive de la 1 până la n. De exemplu, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, iar 6! = 6 × 120 = 720.

Cea mai rapidă metodă de calcul manual folosește regula recursivă n! = n × (n−1)!, astfel încât fiecare factorial nou este pur și simplu rezultatul anterior înmulțit cu următorul număr întreg. La fel cum un *calculator fractii* simplifică operațiile matematice complexe, acest calculator aplică recursivitatea intern și afișează fiecare înmulțire ca un pas separat.

După cum notează Wolfram MathWorld, factorialul este definit pentru toate numerele întregi non-negative, iar 0! este stabilit la 1 pentru a menține consistența recursivității.

Formula factorialului este n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1, având cazul de bază 0! = 1. În mod echivalent, factorialele respectă recurența n! = n × (n−1)!, ceea ce îți permite să construiești fiecare valoare pe baza celei anterioare.

Biblioteca Digitală de Funcții Matematice NIST extinde această idee dincolo de numerele întregi prin intermediul funcției gamma, unde n! = Γ(n+1).

Pentru combinatorică, se folosesc de asemenea două formule derivate:

• permutări nPr = n!/(n−r)!
• combinări nCr = n!/[r!(n−r)!]

Aceste trei expresii acoperă majoritatea problemelor de numărare pe care le vei întâlni în teoria probabilităților și în matematica discretă.

0! este egal cu 1 prin definiție, iar aceasta nu este o alegere arbitrară. Există exact o singură modalitate de a aranja o mulțime vidă de obiecte — și anume să nu faci nimic — deci numărul de aranjamente este unu.

Setarea 0! = 1 menține, de asemenea, valabilitatea recursivității n! = n × (n−1)!, deoarece 1! = 1 × 0! funcționează doar dacă 0! = 1. În plus, face ca formule precum nCr = n!/[r!(n−r)!] să returneze răspunsul corect atunci când r = 0 sau r = n.

Khan Academy și Encyclopaedia Britannica prezintă ambele 0! = 1 ca fiind convenția standard care stă la baza combinatoricii și a teoremei binomului.

Factorialele cresc mai repede decât orice funcție exponențială, motiv pentru care calculul manual devine rapid impracticabil. Pentru a ilustra:

• 5! = 120
• 10! = 3.628.800
• 20! = 2.432.902.008.176.640.000 — deja peste 2,4 cvintilioane

Dacă pentru a-ți afla vârsta folosești un *calculator varsta* (*calculator de varsta*) pentru a nu mai număra anii sau pentru a răspunde rapid la întrebarea „*cati ani am*”, în cazul factorialelor mari ai nevoie de un algoritm puternic. La 170!, valoarea este de aproximativ 7,26 × 10^306, aproape de limita standard a reprezentării în virgulă mobilă cu dublă precizie, motiv pentru care multe instrumente limitează valoarea de intrare la 170.

Această creștere super-exponențială (formal, n! crește conform aproximării lui Stirling √(2πn)(n/e)^n, descrisă în NIST DLMF) explică de ce factorialele apar la numitorul seriilor Taylor, unde micșorează termenii suficient de rapid pentru ca seria să conveargă.

Un factorial dublu n!! înmulțește din doi în doi numerele întregi descrescătoare de la n, oprindu-se la 1 (pentru n impar) sau la 2 (pentru n par). Pentru numerele impare, 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105; pentru numerele pare, 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384.

Acesta nu este același lucru cu aplicarea factorialului de două ori — (n!)! ar fi uriaș prin comparație. Factorialele duble apar în integralele puterilor de sinus și cosinus și în formulele pentru volumul sferelor multidimensionale.

Wolfram MathWorld cataloghează factorialul dublu ca o funcție de sine stătătoare, iar OEIS listează factorialele duble impare 1, 3, 15, 105, 945 ca fiind șirul A001147.

Un subfactorial !n numără deranjamentele — adică permutările în care niciun element nu rămâne în poziția sa inițială. Pentru trei elemente {1, 2, 3}, doar {2, 3, 1} și {3, 1, 2} sunt eligibile, deci !3 = 2; în mod similar, !4 = 9 și !5 = 44.

Subfactorialul urmează formula !n = n! × Σ (−1)^k / k! pentru k de la 0 la n și este strâns legat de puzzle-uri de probabilitate, cum ar fi problema garderobei („hat-check”), unde șansa ca nimeni să nu își primească propria pălărie tinde spre 1/e ≈ 0,3679 pe măsură ce n crește.

OEIS înregistrează numerele de deranjamente 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265 ca fiind șirul A000166.

Factorialele stau la baza oricărei probleme care implică numărarea aranjamentelor sau a selecțiilor.

• În probabilități, numărul de mâini distincte de poker de 5 cărți dintr-un pachet de 52 de cărți este combinarea 52C5 = 2.598.960.
• În planificare și logistică, n! oferă numărul de ordonări posibile pentru n sarcini sau opriri. La fel cum folosești un *calculator ore* (sau un *calculator ore lucrate* / *calculator ore munca*) pentru un *calcul ore* precis fără să te întrebi manual *cum se calculeaza orele*, acest *calculator de ore* și factoriale te ajută să organizezi timpul eficient prin *calculare ore* și rute.
• În analiză matematică, factorialele se află la numitorul seriilor Taylor și Maclaurin, controlând cât de repede scad termenii, astfel încât funcții precum e^x și sin x să poată fi aproximate.

De asemenea, ele apar în teorema binomului, în distribuții statistice precum Poisson și binomială, dar și în criptografie. Fie că ai nevoie de un *calculator volum apa*, un *calculator putere electrica*, un *calculator ritm alergare* sau vrei să afli un *numar de zile intre doua date*, matematica din spate se bazează pe precizie. Chiar și pentru curiozități precum un *calculator zodie* pentru un *calcul zodie* rapid, algoritmii folosesc structuri matematice similare. Khan Academy folosește aceste numărători combinatorii ca fundament pentru programa sa de probabilități.

Există câteva erori frecvente care pot crea confuzie atunci când lucrezi cu factoriale:

• Cea mai des întâlnită greșeală este omiterea faptului că 0! = 1, ceea ce dă peste cap formulele de combinări și permutări la limitele lor.
• O altă eroare este confundarea factorialului dublu n!! (înmulțirea din doi în doi) cu aplicarea factorialului de două ori — 5!! = 15, însă (5!)! este astronomic mai mare.
• Elevii confundă adesea permutările și combinările: folosește nPr când ordinea contează și nCr când nu contează, astfel încât 5P2 = 20, dar 5C2 = 10.
• Atenție la valorile de intrare negative sau care nu sunt întregi, deoarece factorialul elementar nu este definit pentru acestea (doar funcția gamma îl extinde).
• În cele din urmă, nu uita că factorialele depășesc rapid capacitatea de stocare a datelor — dincolo de aproximativ 170!, majoritatea calculatoarelor își pierd precizia, așa cum reiese clar din analiza de creștere realizată de Wolfram MathWorld.

Atât permutările, cât și combinările sunt construite direct pe baza factorialelor.

O permutare nPr = n!/(n−r)! numără aranjamentele ordonate, astfel încât alegerea și ordonarea a 2 elemente din 5 oferă 5P2 = 5!/3! = 120/6 = 20.

O combinare nCr = n!/[r!(n−r)!] numără selecțiile neordonate, astfel încât 5C2 = 5!/(2!·3!) = 120/(2×6) = 10 — exact jumătate din 5P2, deoarece fiecare pereche poate fi ordonată în două moduri. Combinările se mai numesc și coeficienți binomiali și generează triunghiul lui Pascal. Deoarece nC2 = n(n−1)/2 este o funcție pătratică în n, inversarea întrebării — adică aflarea numărului de elemente care produc un certain număr de perechi, ca în clasica problemă a strângerilor de mână — se reduce la un rezolvitor de ecuații de gradul doi.

Encyclopaedia Britannica descrie aceste concepte ca fiind operațiile de bază ale combinatoricii, iar acest calculator calculează nPr și nCr oferind toți pașii de rezolvare detaliați.