Calculatorul nostru de integrale gestionează atât integralele nedefinite (antiderivatele), cât și pe cele definite (aria de sub o curbă). Introdu o expresie în funcție de x și obține antiderivata instantaneu, cu toți pașii explicați. Pentru integralele definite, furnizează limitele inferioară și superioară pentru a calcula rezultatul numeric exact. Suportă polinoame, funcții trigonometrice (sin, cos, tan, sec, csc, cot), exponențiale (e^x), logaritmi (ln x), rădăcini pătrate și funcții compuse obișnuite. Atunci când integrarea simbolică nu este posibilă, calculatorul apelează la integrarea numerică de înaltă precizie folosind regula lui Simpson.
Use ^ for powers, * for multiply, sin/cos/exp/ln/sqrt for functions
Quick Examples
Tastează funcția ta folosind x ca variabilă. Folosește ^ pentru puteri, * pentru înmulțire și nume standard de funcții precum sin, cos, exp, ln, sqrt.
Selectează Nedefinită pentru antiderivata generală (cu +C) sau Definită pentru a calcula aria de sub curbă între două limite.
Pentru integrale definite, introdu limita inferioară a și limita superioară b. Rezultatul va fi aria netă algebrică F(b) - F(a).
Vezi ce reguli de integrare au fost aplicate (regula puterii, substituția, prin părți), fiecare pas fiind explicat clar.
Integrarea este opusul diferențierii. Integrafa nedefinită ∫f(x)dx oferă o familie de funcții F(x)+C. Integrafa definită ∫[a,b]f(x)dx oferă aria netă algebrică de sub curbă de la x=a la x=b, calculată folosind Teorema Fundamentală a Calculului Integral: F(b) - F(a).
∫f(x)dx = F(x) + C | ∫[a to b]f(x)dx = F(b) - F(a)
Folosește ^ pentru puteri: x^3 înseamnă x³. Folosește * pentru înmulțire: 2*x sau pur și simplu 2x
Regula puterii: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (pentru n ≠ -1). Caz special: ∫x⁻¹dx = ln|x| + C
Integrale trigonometrice: ∫sin(x)dx = -cos(x)+C, ∫cos(x)dx = sin(x)+C, ∫sec²(x)dx = tan(x)+C
Exponențială: ∫eˣdx = eˣ+C, ∫aˣdx = aˣ/ln(a)+C
Logaritm: ∫ln(x)dx = x·ln(x) - x + C (folosește integrarea prin părți)
Pentru ∫f(ax+b)dx, substituie u=ax+b: rezultatul este F(ax+b)/a + C
Integrarea este una dintre cele două operații fundamentale din analiza matematică, alături de diferențiere. În timp ce derivatele măsoară rate instantanee de schimbare, integralele acumulează cantități — calculând arii de sub curbe, volume ale unor corpuri, distanța totală pe baza vitezei și cantități acumulate din rate. O integrală nedefinită (antiderivată) inversează diferențierea: integrarea lui 2x este x² + C, unde C este constanta de integrare. O integrală definită evaluează aria netă algebrică dintre o funcție și axa x pe un interval specific. Teorema Fundamentală a Calculului Integral le leagă pe cele două, stabilind că integrală definită de la a la b este egală cu F(b) minus F(a), unde F este orice antiderivată a integrandului. Tehnicile de integrare variază de la aplicații directe ale regulii puterii până la metode sofisticate precum substituția, integrarea prin părți, fracțiile parțiale și identitățile trigonometrice. Unele funcții — cum ar fi e^(-x²), esențiale pentru distribuția normală în statistică — nu au nicio antiderivată exprimabilă prin funcții elementare, necesitând metode numerice precum regula lui Simpson sau cuadratura Gaussiană. Fie că ești un elev care parcurge un curs de analiză matematică, un inginer care calculează lucrul mecanic sau fluxul, ori un fizician care evaluează amplitudini de probabilitate, o înțelegere solidă a integrării este indispensabilă.
Un calculator de integrale calculează antiderivata (integrala nedefinită) sau integrala definită a unei funcții matematice.
Pentru integralele nedefinite, găsește F(x)+C unde F'(x)=f(x). Pentru integralele definite, evaluează aria netă algebrică de sub curba f(x) între două limite folosind Teorema Fundamentală a Calculului Integral.
Acest calculator acceptă:
Folosește * pentru înmulțire, ^ pentru ridicarea la putere și paranteze standard pentru grupare.
Integrarea unei funcții înseamnă găsirea unei noi funcții a cărei derivată este egală cu cea originală — opusul derivării.
Rezultatul, numit antiderivată sau integrală nedefinită, se scrie F(x) + C, unde derivata F'(x) este egală cu integrandul f(x), iar C este o constantă arbitrară. Geometric, o integrală definită măsoară aria netă cu semn dintre curbă și axa x pe un interval.
Conform Wolfram MathWorld, o integrală este un obiect matematic care poate reprezenta o arie, o schimbare acumultată sau o sumă generalizată. Acest dublu înțeles — antiderivare și arie — este motivul pentru care integrarea stă la baza atât de multor concepte din calculul diferențial și integral și matematica aplicată.
Pentru a găsi o integrală, identifică structura funcției și potrivește-o cu o regulă cunoscută.
Încearcă mai întâi regula puterii: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C pentru n ≠ −1. Pentru sume, integrează fiecare termen în parte; pentru multipli constanți, scoate constanta în afara integralei. Când integrandul este o compunere înmulțită cu o derivată interioară, folosește metoda substituției (schimbarea de variabilă); când este un produs, încearcă integrarea prin părți.
Pentru o integrală definită, găsește antiderivata F(x), apoi calculează F(b) − F(a). De exemplu, ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3. Khan Academy prezintă în detaliu fiecare dintre aceste tehnici cu probleme practice.
Formulele fundamentale de integrare sunt:
Rezultatele trigonometrice standard includ ∫sin(x) dx = −cos(x) + C și ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
Două metode structurale extind aceste reguli: substituția inversează regula lanțului, iar integrarea prin părți, ∫u dv = uv − ∫v du, inversează regula produsului. Biblioteca digitală NIST pentru funcții matematice (DLMF) cataloghează aceste rezultate elementare alături de integrale ale unor funcții speciale, fiind o referință de încredere pentru verificarea oricărei formule.
O integrală nedefinită produce o funcție: ∫f(x) dx = F(x) + C, reprezentând o întreagă familie de antiderivate care diferă prin constanta C.
O integrală definită produce un singur număr: ∫[a,b] f(x) dx este egală cu aria netă cu semn dintre curbă și axa x de la x = a până la x = b. Teorema Fundamentală a Calculului le leagă, afirmând că o integrală definită este egală cu F(b) − F(a) pentru orice antiderivată F.
De exemplu, ∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Encyclopaedia Britannica descrie această teoremă ca fiind rezultatul central care unește cele două ramuri ale calculului.
Metoda substituției simplifică o integrală atunci când integrandul conține o funcție compusă înmulțită cu derivata părții sale interioare.
Notează-l pe u ca fiind expresia interioară, calculează du = u'(x) dx și rescrie integrală în întregime în funcție de u. De exemplu, în ∫2x·cos(x²) dx, fie u = x², deci du = 2x dx; integrala devine ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
Pentru integralele definite, fie convertești limitele în valori pentru u, fie revii la variabila inițială înainte de evaluare. Khan Academy menționează că recunoașterea tiparului format din funcția interioară și derivata sa este abilitatea cheie pentru aplicarea cu încredere a substituției.
Integrarea acumulează cantități, ceea ce o face esențială în știință și inginerie:
Wolfram MathWorld subliniază că integralele calculează și lungimi de arc, arii de suprafețe și volume de revoluție. Acest calculator sprijină aceste aplicații returnând atât antiderivate simbolice, cât și valori numerice precise.
Unele funcții, cum ar fi e^(−x²) și sin(x)/x, nu au nicio antiderivată în formă închisă care să poată fi exprimată cu funcții elementare.
În aceste cazuri, integrarea numerică aproximează integrala definită prin eșantionarea funcției. Regula lui Simpson ajustează parabole pe perechi de subintervale: ∫[a,b] f(x) dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + f(xₙ)], unde h = (b − a)/n și n este par.
Eroarea sa se scalează ca O(h⁴), fiind mult mai bună decât O(h²) a regulii trapezului. DLMF-ul NIST documentează aceste metode de cuadratură, inclusiv cuadratura gaussiană, care obține o precizie ridicată cu puține puncte de eșantionare.
Să considerăm ∫₁^e (1/x) dx. Deoarece integrandul este 1/x, antiderivata este ln|x|, nu un rezultat bazat pe regula puterii.
Aplică Teorema Fundamentală a Calculului: ∫₁^e (1/x) dx = [ln|x|]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. Valoarea exactă este, prin urmare, 1.
Ca al doilea exemplu, ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1.71828. Acești pași rezolvați reflectă ceea ce afișează calculatorul: identifică antiderivata, înlocuiește limitele superioară și inferioară și scade-le. Verificarea rezultatelor în tabelele de integrale ale Wolfram MathWorld este un obicei bun pentru confirmarea atât a formulei, cât și a calculului aritmetic.
Britannica subliniază importanța verificării fiecărei antiderivate prin derivarea ei înapoi la integrandul original.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.