Teorema lui Pitagora este piatra de temelie a geometriei triunghiului dreptunghic: pentru orice triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor celor două catete (a² + b² = c²). Acest calculator determină orice latură lipsă — ipotenuza sau oricare dintre catete — și servește în același timp ca un calculator de distanțe 2D folosind aceeași identitate. Afișează pașii algebraici completi, calculează aria triunghiului (½ab), perimetrul, unghiurile ascuțite prin arctangentă și evidențiază triplele pitagoreice exacte precum 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 și 9-40-41. Util pentru teme, tâmplărie și structuri din lemn, verificarea unghiurilor drepte la fundații, navigație, magnitudini ale vectorilor în fizică, dimensionarea diagonalelor ecranelor și orice sarcină inginerească ce se reduce la un triunghi dreptunghic.
Rearanjează formula pentru a afla necunoscuta: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²) sau b = √(c² − a²). Când calculezi o catetă, ipotenuza trebuie să fie mai mare decât cateta cunoscută.
a² + b² = c²
Ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură — ea se află opus unghiului de 90°.
Triple pitagoreice comune: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41, 20-21-29.
Orice multiplu al unei triple este de asemenea o triplă (de exemplu, 6-8-10, 9-12-15).
Pentru a verifica un unghi drept pe șantier, măsoară 3 ft, 4 ft și 5 ft — dacă diagonala este exact 5, colțul este perfect drept.
Teorema se extinde la 3D: d = √(x² + y² + z²) pentru diagonalele unui paralelipiped.
Distanța dintre două puncte (x₁,y₁) și (x₂,y₂): d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
Rezolvă orice triunghi dreptunghic în câteva secunde. Introdu două laturi, alege necunoscuta și obține latura lipsă împreună cu aria, perimetrul, unghiurile și o rezolvare completă pas cu pas. De asemenea, calculează distanța 2D dintre două puncte.
Oricând ai un triunghi dreptunghic și cunoști două dintre cele trei laturi.
Utilizările practice frecvente includ:
Soluții întregi pentru ecuația a² + b² = c².
Tripletele primitive includ:
Orice multiplu scalar este, de asemenea, un triplet valid, motiv pentru care 6-8-10 și 9-12-15 funcționează la fel de bine.
Ipotenuza este cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic, opusă unghiului de 90°, și se află cu formula c = √(a² + b²). Ridică fiecare catetă la pătrat, adună cele două pătrate, apoi extrage rădăcina pătrată.
Pentru catete de 6 și 8: c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Pentru catete de 5 și 12: c = √(25 + 144) = √169 = 13. Rezultatul este întotdeauna mai mare decât oricare dintre catete, dar mai mic decât suma lor.
Setează modul calculatorului pe „Ipotenuza c (date catetele a și b)”, introdu ambele catete în aceeași unitate de măsură, iar acesta va afișa c împreună cu aria, perimetrul și unghiurile ascuțite ale triunghiului.
Aceasta este cea mai frecventă utilizare a teoremei — verificarea unui unghi drept, dimensionarea unei contrafișe diagonale sau calculul lungimii unei rampe în funcție de înălțime și bază.
Când cunoști ipotenuza și o catetă, rearanjează teorema pentru a afla cateta necunoscută: a = √(c² − b²). Scade pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei, apoi extrage rădăcina pătrată.
Pentru o ipotenuză de 13 și o catetă de 5: a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Ipotenuza trebuie să fie întotdeauna mai mare decât cateta cunoscută — dacă c ≤ b, nu există un triunghi dreptunghic real, iar calculatorul va semnala acest lucru.
Alege modul „Cateta a” sau „Cateta b”, introdu ipotenuza și cateta cunoscută, iar instrumentul îți va calcula latura lipsă, afișând pas cu pas întregul calcul c² − b².
Așa poți afla, de exemplu, distanța optimă a bazei unei scări față de perete, cunoscând lungimea scării și înălțimea până la care ajunge.
Formula distanței în spațiul 2D, d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), este teorema lui Pitagora sub o altă formă: diferența pe orizontală (x₂ − x₁) și diferența pe verticală (y₂ − y₁) sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar distanța în linie dreaptă este ipotenuza.
De la (1, 2) la (4, 6): d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Schimbă calculatorul pe modul „Distanța între două puncte 2D”, introdu cele patru coordonate și vei obține distanța exactă.
Aceasta stă la baza:
Odată ce toate cele trei laturi sunt cunoscute, aria și perimetrul triunghiului dreptunghic se calculează imediat. Deoarece cele două catete formează un unghi de 90°, ele servesc drept bază și înălțime, astfel că aria este pur și simplu ½ × a × b — fără trigonometrie complicată.
Un triunghi 3-4-5 are aria de ½ × 3 × 4 = 6 unități pătrate și perimetrul 3 + 4 + 5 = 12. Un triunghi 6-8-10 are aria ½ × 6 × 8 = 24 și perimetrul 24.
Acest calculator afișează aria, perimetrul și ambele unghiuri ascuțite (aflate cu ajutorul arctangentei, de ex. unghiul A = arctan(a/b)) alături de latura lipsă, oferind o rezolvare completă a triunghiului din doar două valori introduse. Pentru un triunghi oarecare (fără unghi drept), calculatorul nostru pentru triunghiuri calculează aria, perimetrul și unghiurile folosind teorema sinusurilor și a cosinusului.
Teorema transformă două dimensiuni obișnuite într-o diagonală.
Dimensiunea ecranului unui televizor sau monitor reprezintă diagonala sa: un ecran lat de 1,21 m și înalt de 0,68 m măsoară √(1.21² + 0.68²) ≈ 1,39 m, adică un televizor de aproximativ 55 de inchi.
Diagonala unui dreptunghi este ipotenuza triunghiului format de lungimea și lățimea acestuia; așadar, diagonala unui cadru 16:9 este √(16² + 9²) ≈ 18,36 unități.
În construcții și tâmplărie, verificarea unghiului drept pentru o fundație sau terasă se face prin metoda 3-4-5: măsori 3 unități pe o latură, 4 unități pe latura perpendiculară, iar dacă diagonala dintre marcaje este exact 5 unități, colțul formează un unghi drept perfect. Mărirea proporțiilor la 6-8-10 sau 9-12-15 oferă o precizie și mai mare pe pereți lungi.
Reciproca teoremei lui Pitagora îți permite să verifici dacă un triunghi are un unghi drept:
Astfel poți confirma că un colț este perfect drept doar măsurând cele trei laturi.
Teorema se extinde și în trei dimensiuni: diagonala spațială a unui paralelipiped dreptunghic cu laturile x, y și z este d = √(x² + y² + z²), obținută prin aplicarea teoremei de două ori — mai întâi pe bază, apoi până la colțul opus.
O cutie de 3 × 4 × 12 are o diagonală spațială de √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 unități, utilă pentru a verifica dacă un obiect lung încape pe diagonală într-o cutie.
Exemplu de calcul pentru ipotenuză: catete 9 și 12 → 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = √225 = 15.
Exemplu de calcul pentru o catetă: ipotenuză 25, catetă 7 → 25² − 7² = 625 − 49 = 576 → a = √576 = 24.
Calculatorul afișează fiecare dintre acești pași, astfel încât să poți urmări sau verifica rezolvarea algebrică.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.