Calculator Deviație Standard

Diferența esențială constă în numitor: abaterea standard a eșantionului împarte la (n-1), în timp ce abaterea standard a populației împarte la n.

Folosește abaterea standard a eșantionului atunci când datele tale provin dintr-un subset al unei populații mai mari (cazul cel mai frecvent în practică).

Folosește abaterea standard a populației doar atunci când ai date complete pentru fiecare membru al întregii populații analizate.

Pentru populație: σ = √[Σ(xi - μ)² / N], unde μ este media populației, iar N este mărimea populației.

Pentru eșantion: s = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)], unde x̄ este media eșantionului, iar n este numărul de elemente din eșantion.

Împărțirea la (n-1) în formula eșantionului poartă numele de corecția lui Bessel și asigură o estimare corectă, nedeformată, a abaterii standard a populației.

Abaterea standard te ajută să înțelegi variabilitatea datelor.

Într-o distribuție normală, aproximativ 68% dintre valori se situează la cel mult o abatere standard față de medie, 95% la cel mult două abateri standard și 99,7% la cel mult trei abateri standard (regula empirică 68-95-99,7).

Compară abaterile standard între seturi diferite de date pentru a vedea care dintre ele prezintă o variabilitate mai mare.

Abaterea standard (sau deviația standard) este o măsură a gradului de dispersie a unui set de date în jurul mediei sale. Aceasta răspunde la întrebarea: în medie, cât de departe se situează fiecare punct de date față de centru?

O abatere standard mică indică faptul că valorile sunt grupate strâns în jurul mediei, în timp ce o abatere standard mare arată că acestea sunt dispersate pe un interval larg.

Conform Encyclopaedia Britannica, abaterea standard este cea mai utilizată măsură a dispersiei în statistică, deoarece este exprimată în aceleași unități de măsură ca datele inițiale, spre deosebire de varianță. Aceasta stă la baza multor domenii, de la controlul calității până la finanțe, permițându-vă să comparați consistența diferitelor seturi de date dintr-o singură privire.

Pentru a calcula manual abaterea standard, urmați cinci pași:

• În primul rând, aflați media adunând toate valorile și împărțind la numărul lor, exact ceea ce face calculatorul nostru de medie printr-un singur clic, dacă doriți să verificați mai întâi această cifră.
• În al doilea rând, scădeți media din fiecare valoare pentru a obține abaterile.
• În al treilea rând, ridicați la pătrat fiecare abatere, astfel încât valorile negative să nu le anuleze pe cele pozitive.
• În al patrulea rând, adunați abaterile ridicate la pătrat și împărțiți la n pentru o populație sau la n-1 pentru un eșantion, obținând varianța.
• În al cincilea rând, extrageți rădăcina pătrată din varianță.

Khan Academy prezintă aceeași procedură cu exemple practice. Acest calculator automatizează fiecare pas și afișează valorile intermediare, astfel încât să vă puteți verifica propriul calcul.

Să luăm setul clasic de date 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Suma celor 8 valori este 40, deci media este 5.

Abaterile față de medie sunt -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, iar pătratele acestora sunt 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, a căror sumă este 32.

Pentru o populație, împărțiți la N = 8 pentru a obține o varianță de 4, iar rădăcina pătrată dă o abatere standard a populației de exact 2. Acest exemplu apare în articolul dedicat abaterii standard de pe Wolfram MathWorld.

Pentru un eșantion, ați împărți 32 la n-1 = 7, obținând o varianță de aproximativ 4.571 și o abatere standard a eșantionului de aproximativ 2.138.

Formula pentru abaterea standard a populației este sigma = sqrt(sum of (xi - mu)^2 / N), unde mu este media populației, iar N este numărul total de valori.

Formula pentru eșantion este s = sqrt(sum of (xi - xbar)^2 / (n-1)), unde xbar este media eșantionului. Singura diferență este numitorul.

Manualul NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods definește ambele formule și explică faptul că împărțirea la n-1, cunoscută drept corecția lui Bessel, oferă o estimare imparțială a varianței populației pornind de la un eșantion.

Varianța reprezintă pur și simplu valoarea de sub radical, așadar abaterea standard este întotdeauna rădăcina pătrată a varianței și are aceleași unități de măsură ca datele inițiale.

Abaterea standard a eșantionului împarte suma pătratelor abaterilor la n-1 în loc de n deoarece un eșantion tinde să subestimeze dispersia reală a întregii populații.

Când calculați abaterile față de media eșantionului în loc de media necunoscută a populației, pierdeți un grad de libertate, motiv pentru care împărțitorul se reduce cu unu pentru a compensa. Această ajustare, numită corecția lui Bessel, produce un estimator imparțial al varianței populației.

Manualul NIST e-Handbook confirmă că n-1 este alegerea standard pentru datele de eșantion. Folosiți n-1 ori de câte ori datele dumneavoastră reprezintă un subset extras dintr-un grup mai mare, situație întâlnită în majoritatea sondajelor, experimentelor și culegerilor de date din viața reală.

Abaterea standard este utilizată pe scară largă în numeroase domenii:

• În finanțe, măsoară volatilitatea randamentelor unei investiții, astfel că o abatere standard mai mare indică un risc mai ridicat.
• În producție și controlul calității, stă la baza proceselor Six Sigma care mențin produsele în limitele de toleranță admise.
• În educație, descrie cât de strâns sunt grupate notele la teste în jurul mediei clasei.
• În meteorologie și climatologie, surprinde variațiile de temperatură de la un sezon la altul.

Encyclopaedia Britannica notează că abaterea standard este esențială pentru distribuția normală, care modelează nenumărate fenomene naturale. Fiind exprimată în aceleași unități ca datele analizate, specialiștii o utilizează pentru a compara consistența, a stabili praguri și a identifica valorile atipice.

Pentru datele care urmează o distribuție normală (în formă de clopot), regula empirică afirmă că aproximativ 68% dintre valori se încadrează la cel mult o abatere standard față de medie, aproximativ 95% la cel mult două abateri standard și circa 99.7% la cel mult trei abateri standard.

Astfel, dacă notele la un test au o medie de 70 și o abatere standard de 10, aproximativ 68% dintre elevi obțin rezultate între 60 și 80.

Wolfram MathWorld descrie acest tipar ca fiind o proprietate definitorie a distribuției normale. Regula transformă o valoare abstractă de împrăștiere într-o probabilitate concretă, ajutându-vă să evaluați cât de comună sau rară este o anumită valoare în cadrul setului dumneavoastră de date.

• Cea mai frecventă eroare este confundarea formulelor pentru eșantion și populație prin utilizarea unui numitor greșit; împărțirea la n când ar trebui să folosiți n-1 subestimează dispersia pentru datele de eșantion.
• O altă greșeală este omiterea ridicării la pătrat a abaterilor, ceea ce face ca diferențele pozitive și negative să se anuleze reciproc, ajungând la zero.
• De asemenea, mulți confundă varianța cu abaterea standard, raportând valoarea la pătrat în loc de rădăcina pătrată a acesteia.
• Rotunjirea prematură a mediei propagă erori în toți pașii ulteriori, de aceea este recomandat să păstrați precizia maximă până la sfârșit.
• În final, abaterea standard descrie adecvat doar datele simetrice, aproximativ normale; pentru date puternic asimetrice, aceasta poate induce în eroare, așa cum avertizează Khan Academy.