Calculator statistic

Statistica descriptivă sintetizează un set de date în valori numerice reprezentative.

• Măsurile de tendință centrală (medie, mediană, mod) indică unde se află centrul datelor.
• Măsurile de dispersie (amplitudine, varianță, abatere standard, IQR) arată cât de împrăștiate sunt valorile.
• Măsurile de formă (asimetria și boltirea) descriu simetria distribuției și profilul cozilor.

Împreună, aceste statistici oferă o imagine completă asupra datelor, fără a fi nevoie să analizezi fiecare valoare în parte.

Când datele tale reprezintă o populație întreagă, împarți la N pentru a obține varianța și abaterea standard ale populației. Când datele provin dintr-un eșantion extras dintr-o populație mai mare, împarți la N-1 (corecția lui Bessel) pentru a obține o estimare nedeplasată.

Abaterea standard a eșantionului este întotdeauna ușor mai mare decât abaterea standard a populației pentru același set de date.

Pentru valori mari ale lui N diferența este neglijabilă, însă pentru eșantioane mici corecția are un impact semnificativ.

• Media este suma tuturor valorilor împărțită la numărul lor
• mediana este valoarea din mijloc a datelor ordonate crescător
• modul este valoarea care apare cel mai des

Pentru setul de date {68, 72, 76, 78, 82, 85, 88, 90, 91, 95}, calculul mediei dă 825 împărțit la 10, adică 82.5. Având un număr par de 10 valori, mediana este media celor două numere centrale: (82 + 85) / 2 = 83.5. Nicio valoare nu se repetă, așadar acest set nu are mod.

Așa cum explică Khan Academy, aceste trei măsuri ale tendinței centrale răspund la întrebări diferite, astfel că utilizarea tuturor celor trei oferă o imagine mult mai completă decât oricare dintre ele analizată separat.

Varianța este media abaterilor pătratice față de medie, iar abaterea standard este rădăcina pătrată a varianței.

Pașii de urmat:

• scazi media din fiecare valoare
• ridici fiecare rezultat la pătrat
• aduni rezultatele obținute

Varianța populației împarte această sumă la N; varianța eșantionului împarte la N-1. Pentru cele 10 scoruri la teste cu media 82.5, varianța de eșantion este de aproximativ 78.28, iar abaterea standard de eșantion este de circa 8.85.

Wolfram MathWorld menționează că ridicarea la pătrat a abaterilor elimină semnele negative și acordă o pondere sporită abaterilor mai mari de la medie, motiv pentru care abaterea standard este indicatorul dominant de dispersie în statistică.

Quartilele împart datele ordonate în patru părți egale:

• Q1 este percentila 25
• Q2 este mediana
• Q3 este percentila 75

Intervalul intercuartilic (IQR) este egal cu Q3 minus Q1 și surprinde dispersia celor 50% valori din mijlocul setului de date. Pentru {68, 72, 76, 78, 82, 85, 88, 90, 91, 95}, Q1 este 76, Q3 este 90, așadar IQR = 90 - 76 = 14.

Rezumatul celor cinci numere — minim, Q1, mediană, Q3, maxim — este 68, 76, 83.5, 90, 95. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods indică acest rezumat ca fiind baza pentru graficul de tip box plot.

Asimetria (skewness) măsoară deviația de la simetrie a unei distribuții, iar boltirea (kurtosis) indică cât de grele sunt cozile acesteia.

O asimetrie egală cu zero indică o distribuție simetrică; o valoare pozitivă semnalează o coadă mai lungă spre dreapta, iar o valoare negativă o coadă mai lungă spre stânga.

Boltirea compară densitatea cozilor cu cea a distribuției normale, care are o boltire de 3 (sau o boltire în exces de 0). O boltire mai ridicată indică cozi mai grele și valori aberante mai pronunțate.

Conform Wolfram MathWorld, aceste momente standardizate de ordinul trei și patru completează descrierea unui set de date dincolo de centru și dispersie, evidențiind particularități de formă pe care media și abaterea standard nu le pot surprinde singure.

Coeficientul de variație (CV) reprezintă abaterea standard împărțită la medie, exprimată ca procent: CV = (SD / mean) x 100%.

Deoarece este o mărime adimensională, CV îți permite să compari variabilitatea între seturi de date exprimate în unități diferite sau pe scări diferite. Pentru cele 10 note de la test, CV este de aproximativ 8.85 / 82.5 x 100%, adică în jur de 10.7%, indicând o variabilitate relativ scăzută.

Encyclopaedia Britannica descrie CV drept o măsură standardizată a dispersiei. O regulă empirică des întâlnită consideră că un CV sub 15% este scăzut, iar unul de peste 30% este ridicat, deși pragurile optime depind de domeniul și contextul tău.

Rangul percentil indică procentul valorilor dintr-un set de date care se situează sub o anumită valoare, bazându-se direct pe calculul procentelor. O formulă simplă este: rang percentil = (număr de valori sub x / număr total) x 100.

Dacă 7 din 10 rezultate la examen sunt mai mici decât al tău, rangul tău percentil este 70, ceea ce înseamnă că ai obținut un scor mai mare decât 70% din grup. Percentilele stau la baza multor sisteme standardizate de raportare, de la notele la examene până la graficele de creștere pediatrică.

Khan Academy subliniază că percentilele descriu o poziție relativă, nu o valoare absolută, motiv pentru care un scor brut devine mult mai ușor de interpretat odată ce știi cărei percentile îi corespunde.

Statistica descriptivă este prezentă în aproape orice domeniu cantitativ.

• În producție, programele Six Sigma folosesc abaterea standard pentru a măsura rata defectelor și capacitatea proceselor.
• În domeniul financiar, abaterea standard măsoară volatilitatea randamentelor, în timp ce media estimează randamentul preconizat.
• Instituțiile de sănătate publică se bazează pe mediane și percentile pentru a rezuma datele la nivel de populație, iar profesorii le folosesc pentru a interpreta performanța la teste.

Manualul online NIST/SEMATECH de metode statistice ilustrează modul în care sintezele statistice sprijină controlul calității și analiza experimentală. Fie că notezi lucrări, monitorizezi o linie de producție sau compari portofolii de investiții, acești indicatori transformă cifrele brute în decizii bine fundamentate.

Regula empirică, sau regula 68-95-99.7, descrie modul în care sunt distribuite datele într-o distribuție normală:

• Aproximativ 68% dintre valori se află la o abatere standard față de medie
• circa 95% se află în intervalul de două abateri standard
• și aproximativ 99.7% se află în intervalul de trei abateri standard

De exemplu, dacă un test are o medie de 82.5 și o abatere standard de circa 8.85, aproximativ 95% dintre scoruri s-ar situa între 64.8 și 100.2, dacă datele ar urma o distribuție normală.

Encyclopaedia Britannica menționează că această regulă este motivul pentru care abaterea standard este atât de utilizată: transformă o dispersie abstractă în intervale concrete de probabilitate pe baza cărora poți raționa.

• Cea mai des întâlnită eroare este confundarea formulelor pentru eșantion cu cele pentru populație: împărțirea la N atunci când datele tale provin doar dintr-un eșantion subestimează variabilitatea reală, motiv pentru care se folosește N-1 (corecția lui Bessel) pentru eșantioane.
• O altă greșeală este omisiunea de a ordona datele înainte de a afla mediana sau quartilele, ceea ce duce la rezultate lipsite de sens.
• De asemenea, se confundă adesea modul (valoarea cu cea mai mare frecvență) cu media, sau se indică un mod pentru seturi de date în care fiecare valoare este unică.
• Nu în ultimul rând, ține cont că media este influențată puternic de valorile extreme (outliers), în timp ce mediana este robustă, astfel că o singură valoare extremă îți poate distorsiona media.

Verifică întotdeauna ce indicator statistic răspunde cel mai bine întrebării tale înainte de a trage concluzii.