Конвертер двійкових, шістнадцяткових та інших систем числення

Двійкова система (основа 2) використовує лише 0 та 1. Щоби перевести двійкове число в десяткове, помножте кожну цифру на 2 у степені її позиції (починаючи з 0 справа) і додайте результати.

Приклад: 1101 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13.

Шістнадцяткова система (основа 16) використовує цифри 0-9 та літери A-F. Вона популярна в програмуванні, оскільки кожен шістнадцятковий знак відповідає рівно 4 двійковим бітам.

FF у шістнадцятковій = 255 у десятковій = 11111111 у двійковій.

• Комп'ютери на внутрішньому рівні використовують двійкову систему.
• Шістнадцяткова забезпечує компактний спосіб подання двійкових даних.
• Вісімкова використовувалася в старих системах.
• Десяткова є зручною для людини.

Кожна основа має своє призначення в обчислювальній техніці та математиці.

Основа системи числення (також звана радіксом) — це кількість унікальних цифр, які позиційна система числення використовує для представлення значень. Основа 10 використовує десять цифр (0-9); основа 2 використовує дві (0 і 1).

У будь-якій позиційній системі кожна розрядна позиція має вагу, рівну основі у степені цієї позиції, рахуючи з нуля справа. Отже, десяткове число 253 означає 2×10² + 5×10¹ + 3×10⁰.

Згідно з Wolfram MathWorld, цей позиційний принцип дозволяє невеликому набору символів виражати довільно великі числа, тому переведення між основами по суті є лише повторним вираженням тієї самої величини з іншими розрядними значеннями.

Щоби перевести десяткове число в будь-яку цільову основу, послідовно діліть його на цю основу та збирайте остачі, а потім читайте їх від останньої до першої.

Переведення 156 у шістнадцяткову систему: 156 ÷ 16 = 9 з остачею 12 (C), а 9 ÷ 16 = 0 з остачею 9, отже читаючи знизу вгору отримуємо 9C. Перевірка: 9×16 + 12 = 144 + 12 = 156.

Khan Academy навчає цього ж методу «ділення та запису» для двійкової та інших систем. Він працює для будь-якої основи від 2 до 36, оскільки кожне ділення спочатку ізолює молодшу цифру, формуючи результат по одному розряду за раз.

Оскільки 8 і 16 є степенями числа 2, ви можете переводити двійкові числа напряму шляхом групування бітів замість того, щоб проходити через десяткову систему. Згрупуйте двійкові цифри в набори по три (справа) для вісімкової системи або набори по чотири для шістнадцяткової, додаючи нулі зліва за необхідності.

Приклад: двійкове 11010110 групується як 1101 0110 → D6 у шістнадцятковій, або як 011 010 110 → 326 у вісімковій. Перевірте обидва варіанти через десяткову: 214.

Wolfram MathWorld зазначає, що це скорочення групування є точним саме тому, що одна вісімкова цифра відповідає трьом бітам, а одна шістнадцяткова — чотирьом бітам.

Основна формула для читання будь-якої системи в десяткову має вигляд Value = Σ(dₙ × baseⁿ), де кожна цифра dₙ множиться на основу у степені її позиції n, починаючи з нуля справа.

Для шістнадцяткового числа 2AF: 2×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = 512 + 160 + 15 = 687.

Encyclopaedia Britannica описує цю структуру зваженої суми як визначальну характеристику позиційного запису, що відрізняє її від непозиційних систем, таких як римські цифри. Та сама формула обробляє дробові частини за допомогою від'ємних показників степеня, тому цифра після розділювача має вагу base⁻¹.

Різні системи домінують у різних обчислювальних завданнях:

• Шістнадцяткова система кодує адреси пам'яті, кольори RGB на кшталт #FF5733, MAC-адреси та дамп байтів, оскільки два шістнадцяткові знаки акуратно представляють один 8-бітний байт.
• Вісімкова система збереглася в правах доступу до файлів Unix: chmod 755 надає права на читання-запуск власнику та читання-запуск іншим, оскільки кожна вісімкова цифра відповідає трьом бітам дозволів.
• Двійкова система лежить в основі всього на апаратному рівні, від логіки процесора до масок підмережі мережі.

Розуміння цих систем допомагає програмістам налагоджувати низькорівневі дані, а Britannica зазначає центральну роль двійкової системи в проектуванні всіх сучасних цифрових комп'ютерів.

Основа 36 — це найбільша система числення, яка зручно поміщається в стандартний буквено-цифровий набір символів, використовуючи десять цифр 0-9 плюс 26 літер A-Z для значень від 10 до 35. Це дає рівно 36 унікальних символів.

Вона популярна для компактного кодування великих чисел у вигляді коротких рядків, таких як скорочувачі посилань та унікальні ідентифікатори, оскільки вміщує більше інформації на один символ, ніж десяткова чи шістнадцяткова система.

Для будь-якої системи, більшої за 10, літери просто розширюють набір цифр: A=10, B=11 і аж до Z=35. Цей конвертер підтримує кожну основу від 2 до 36, використовуючи цю угоду.

Кожна позиція в двійковому числі має вагу, яка є степенем двійки, тому знання цих степенів робить переведення двійкових чисел швидким. Справа наліво ваги становлять 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, потім 256, 512 і 1024 (що дорівнює 2¹⁰).

Саму тому 8-бітний байт містить значення від 0 до 255: сума перших восьми ваг (від 1 до 128) дорівнює 255.

Wolfram MathWorld класифікує степені двійки як одну з найфундаментальніших послідовностей цілих чисел у програмуванні. Запам'ятовування їх до 1024 дозволяє переводити невеликі двійкові числа в умі без багаторазового ділення, тоді як для більших значень калькулятор логарифмів швидко підкаже, скільки бітів потрібно для числа, оскільки кількість бітів — це просто його двійковий логарифм, округлений вгору.

• Найчастішою помилкою є неправильний підрахунок показників позицій через початок з одиниці замість нуля; крайня права цифра завжди має позицію 0, що дає їй вагу base⁰ = 1.
• Ще один поширений промах — забути доповнити двійкове число до повних груп по три або чотири перед переведенням у вісімкову чи шістнадцяткову систему, що зміщує кожну цифру.
• Люди також плутають букви в шістнадцятковій системі, записуючи D як 14 замість 13 (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).
• Нарешті, під час використання методу ділення з остачею, остачі потрібно читати від останнього ділення вгору, а не в порядку їх отримання.

Подвійна перевірка за допомогою позиційної формули виправляє всі чотири помилки.