Калькулятор факторіалів

Факторіал числа n (позначається як n!) — це добуток усіх додатних цілих чисел від 1 до n включно. Наприклад, 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Факторіали є основою комбінаторики та теорії ймовірностей.

Перестановки підраховують варіанти розміщення, де порядок має значення (nPr). Комбінації підраховують вибірки, де порядок не важливий (nCr).

Використовуйте перестановки для ранжування, а комбінації для груп.

Щоб обчислити факторіал n!, помножте між собою всі додатні цілі числа від 1 до n. Наприклад, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, а 6! = 6 × 120 = 720.

Найшвидший ручний метод використовує рекурсивне правило n! = n × (n−1)!, тож кожен новий факторіал — це просто попередній результат, помножений на наступне ціле число. Цей калькулятор застосовує цю рекурсію всередині, а потім показує кожне множення як окремий крок.

Як зазначає Wolfram MathWorld, факторіал визначений для всіх невід'ємних цілих чисел, а 0! фіксовано на рівні 1 для збереження узгодженості рекурсії.

Формула факторіала має вигляд n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1 із базовим випадком 0! = 1. Еквівалентно, факторіали задовольняють рекурентне співвідношення n! = n × (n−1)!, що дозволяє обчислювати кожне нове значення на основі попереднього.

Цифрова бібліотека математичних функцій NIST (NIST DLMF) поширює цю ідею за межі цілих чисел за допомогою гамма-функції, де n! = Γ(n+1).

Для комбінаторики також використовуються дві похідні формули:

• перестановки nPr = n!/(n−r)!
• комбінації nCr = n!/[r!(n−r)!]

Ці три вирази охоплюють більшість задач на підрахунок, з якими ви зіткнетеся в теорії ймовірностей та дискретній математиці.

0! дорівнює 1 за визначенням, і це не довільний вибір. Існує рівно один спосіб упорядкувати порожню множину об'єктів — нічого не робити, тому кількість таких розміщень дорівнює одному.

Встановлення 0! = 1 також зберігає чинність рекурсії n! = n × (n−1)!, оскільки 1! = 1 × 0! працює лише тоді, коли 0! = 1. Крім того, це гарантує, що такі формули, як nCr = n!/[r!(n−r)!], дають правильну відповідь при r = 0 або r = n.

Khan Academy та Encyclopaedia Britannica подають 0! = 1 як стандартну угоду, що лежить в основі комбінаторики та бінома Ньютона.

Факторіали зростають швидше за будь-яку експоненційну функцію, через що обчислення вручну дуже швидко стають неможливими. Для ілюстрації:

• 5! = 120
• 10! = 3 628 800
• 20! = 2 432 902 008 176 640 000 — це вже понад 2,4 квінтильйона

Для 170! значення становить приблизно 7,26 × 10^306, що наближається до ліміту стандартного числа з плавною комою подвійної точності, саме тому багато інструментів обмежують ввід числом 170.

Це суперекспоненційне зростання (формально n! зростає подібно до наближення Стірлінга √(2πn)(n/e)^n, описаного в NIST DLMF) пояснює, чому факторіали з'являються у знаменниках рядів Тейлора, де вони скорочують члени досить швидко для збіжності ряду.

Подвійний факторіал n!! перемножує кожне друге ціле число, починаючи з n і зупиняючись на 1 (для непарних n) або 2 (для парних n). Для непарних чисел: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105; для парних: 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384.

Це не те саме, що взяття факторіала двічі — (n!)! було б незрівнянно більшим. Подвійні факторіали з'являються в інтегралах від степенів синуса й косинуса, а також у формулах об'єму багатовимірних сфер.

Wolfram MathWorld класифікує подвійний факторіал як окрему функцію, а OEIS містить непарні подвійні факторіали 1, 3, 15, 105, 945 як послідовність A001147.

Субфакторіал !n підраховує деранжування — перестановки, у яких жоден елемент не залишається на своєму початковому місці. Для трьох елементів {1, 2, 3} підходять лише {2, 3, 1} та {3, 1, 2}, тому !3 = 2; аналогічно !4 = 9 та !5 = 44.

Субфакторіал підпорядковується формулі !n = n! × Σ (−1)^k / k! для k від 0 до n, і він тісно пов'язаний з імовірнісними задачами на кшталт задачі про капелюхи, де ймовірність того, що ніхто не забере свій власний капелюх, наближається до 1/e ≈ 0,3679 зі зростанням n.

OEIS реєструє числа деранжування 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265 як послідовність A000166.

Факторіали є основою будь-якої задачі, що підраховує розміщення або вибірки.

• У теорії ймовірностей кількість унікальних комбінацій з 5 карт у покері з колоди з 52 карт становить 52C5 = 2 598 960.
• У плануванні та логістиці n! дає кількість способів упорядкування n завдань або зупинок.
• У математичному аналізі факторіали знаходяться у знаменниках рядів Тейлора і Маклорена, керуючи тим, як швидко зменшуються члени, щоб такі функції, як e^x та sin x, могли бути наближено обчислені.

Вони також з'являються в біномі Ньютона, статистичних розподілах (таких як Пуассона і біноміальний) та в криптографії. Khan Academy використовує ці комбінаторні підрахунки як фундамент своєї програми з теорії ймовірностей.

Кілька типових помилок, яких припускаються люди під час роботи з факторіалами:

• Найчастіша помилка — забувати, що 0! = 1, що руйнує формули комбінацій та перестановок у крайніх випадках.
• Інша помилка — плутати подвійний факторіал n!! (кожне друге ціле число) із застосуванням факторіала двічі: 5!! = 15, але (5!)! астрономічно більший.
• Студенти також плутають перестановки та комбінації: використовуйте nPr, коли порядок має значення, і nCr, коли ні, тому 5P2 = 20, але 5C2 = 10.
• Стережіться від'ємних або нецілих вхідних даних, оскільки елементарний факторіал для них не визначений (його поширює лише гамма-функція).
• Нарешті, пам'ятайте, що факторіали швидко переповнюють пам'ять — приблизно після 170! більшість калькуляторів втрачають точність, як чітко показує аналіз зростання у Wolfram MathWorld.

І перестановки, і комбінації побудовані безпосередньо на факторіалах.

Перестановка nPr = n!/(n−r)! підраховує впорядковані розміщення, тому вибір та впорядкування 2 елементів із 5 дає 5P2 = 5!/3! = 120/6 = 20.

Комбінація nCr = n!/[r!(n−r)!] підраховує невпорядковані вибірки, тому 5C2 = 5!/(2!·3!) = 120/(2×6) = 10 — рівно половина від 5P2, оскільки кожну пару можна впорядкувати двома способами. Комбінації також називаються біноміальними коефіцієнтами і генерують трикутник Паскаля. Оскільки nC2 = n(n−1)/2 є квадратним рівнянням відносно n, зворотна задача — знайти кількість елементів, яка дає певну кількість пар (як у класичній задачі про рукостискання) — зводиться до розв'язання квадратного рівняння.

Encyclopaedia Britannica описує їх як базові операції комбінаторики, і цей калькулятор обчислює nPr та nCr з повним покроковим розв'язанням.