калькулятор віку

Починаючи з 1, 1, кожне наступне число є сумою двох попередніх.

Це створює відому послідовність: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Зі збільшенням чисел Фібоначчі співвідношення між послідовними членами наближається до золотого перетину φ ≈ 1.618.

Ця пропорція зустрічається в природі, мистецтві та архітектурі.

Число Фібоначчі — це будь-який член послідовності, де кожне значення дорівнює сумі двох попередніх, починаючи з 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Правило виглядає так: F(n) = F(n-1) + F(n-2), де початкові значення F(1) = F(2) = 1.

Названа на честь італійського математика XIII століття Леонардо Пізанського, відомого як Фібоначчі, послідовність була популяризована в його книзі 1202 року Liber Abaci через задачу про популяцію кроликів.

Як зазначає Wolfram MathWorld, це одна з найбільш досліджуваних цілочисельних послідовностей у математиці, зареєстрована в OEIS як послідовність A000045.

Щоб знайти n-те число Фібоначчі безпосередньо без переліку кожного попереднього члена, використовуйте формулу Біне: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, де φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.6180339887 — це золотий перетин, а ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0.6180339887.

Оскільки модуль |ψ| менший за 1, ψⁿ прямує до нуля, тому F(n) — це просто найближче ціле число до φⁿ/√5. Наприклад, φ¹⁰/√5 ≈ 55.004, що округлюється до F(10) = 55.

Цифрова бібліотека математичних функцій NIST (DLMF) описує цю замкнену форму разом зі спорідненими тотожностями чисел Люка.

10-те число Фібоначчі дорівнює 55, якщо послідовність індексується починаючи з F(1) = 1. Рахуючи члени по порядку, отримуємо 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, отже десятим елементом є 55.

Індексація має значення: деякі джерела, зокрема частини каталогу OEIS, починають з F(0) = 0, що зсуває кожну позицію на одиницю і робило б десяте перелічене значення рівним 34.

Цей калькулятор використовує загальноприйняту угоду з нумерацією від 1: F(1) = F(2) = 1. Завжди перевіряйте, чи починає джерело відлік з F(0), чи з F(1), перш ніж порівнювати відповіді.

Додатне ціле число N є числом Фібоначчі тоді і тільки тоді, коли 5N² + 4 або 5N² − 4 є повним квадратом. Цей тест випливає з алгебраїчної структури формули Біне і дозволяє перевірити належність до послідовності без її повного генерування.

Візьмімо N = 13: 5 × 13² − 4 = 5 × 169 − 4 = 841 = 29², що є повним квадратом, отже 13 — це число Фібоначчі.

Натомість для N = 20 обидві перевірки хибні (5 × 400 + 4 = 2004 та 5 × 400 − 4 = 1996 не є квадратами), тому 20 не є числом Фібоначчі.

Академія Хана (Khan Academy) розглядає логіку повних квадратів, яка лежить в основі цієї тотожності.

Сума перших n чисел Фібоначчі дорівнює F(n+2) − 1 — витончена тотожність, яка дозволяє уникнути додавання членів по одному. Для перших 10 чисел: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, що збігається з F(12) − 1 = 144 − 1 = 143.

Також варто знати дві пов'язані тотожності:

• сума перших n членів з непарними індексами дорівнює F(2n)
• сума квадратів F(1)² + … + F(n)² дорівнює F(n) × F(n+1)

Wolfram MathWorld наводить ці формули підсумування серед класичних результатів для послідовності в замкненій формі.

Зі збільшенням членів відношення сусідніх чисел Фібоначчі наближається до золотого перетину φ ≈ 1.6180339887. Ранні відношення коливаються навколо φ: 55/34 ≈ 1.6176 та 89/55 ≈ 1.6182, стаючи дедалі точнішими з кожним кроком.

Це відбувається тому, що формула Біне робить φⁿ домінуючим доданком. Згідно з Британською енциклопедією, φ задовольняє рівняння φ² = φ + 1, тому φ ≈ 1.618, а його обернена величина 1/φ ≈ 0.618 відрізняються рівно на 1.

Ця ж константа з'являється в діагоналях п'ятикутника та в логарифмічних спіралях, через що відношення Фібоначчі постійно зустрічаються в геометрії та дизайні.

Числа Фібоначчі зустрічаються далеко за межами підручників.

• У природи: серцевини насіння соняшника, лусочки шишок та мушлі наутилуса вишиковуються вздовж спіралей Фібоначчі, що забезпечує їхнє ефективне пакування — явище, задокументоване Британською енциклопедією.
• У комп'ютерних науках: вони слугують орієнтиром для тестування рекурсії та динамічного програмування — так само як калькулятор факторіалів для іншого класичного рекурсивного визначення — і з'являються в купах Фібоначчі та алгоритмах пошуку.
• У фінансах: трейдери використовують рівні корекції Фібоначчі (23.6%, 38.2%, 61.8%), отримані з відношень цієї послідовності.
• Команди розробників за методологією Agile навіть використовують шкалу в стилі Фібоначчі (1, 2, 3, 5, 8, 13) для оцінки історій користувачів (story points), оскільки розриви, що збільшуються, відображають зростаючу невизначеність у складніших завданнях.

Кілька поширених помилок часто плутають людей:

• Найчастіша помилка — це плутанина з індексами: змішування угоди F(0) = 0 з угодою F(1) = 1 зсуває кожен член на одну позицію і дає результати, які відрізняються на один крок.
• Друга пастка полягає в тому, щоб довіряти формулі Біне для дуже великих n на звичайному калькуляторі, де округлення рухомої кости може призвести до неправильного найближчого цілого; ітеративне додавання або арифметика великих цілих чисел залишається точною.
• Інші помилково припускають, що будь-яке велике число є числом Фібоначчі, не застосовуючи тест повного квадрата 5N² ± 4, або забувають, що 1 з'являється на початку двічі.
• Нарешті, пам'ятайте, що жоден від'ємний індекс підрахунку не дає члена нижче F(1) у цьому інструменті.

Числа Фібоначчі належать до ширшого сімейства рекурсій другого порядку, які мають спільне правило: член = попередній + передостанній, але використовують інші початкові значення.

Числа Люка починаються з 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18 і за каталогом OEIS мають номер A000032; вони задовольняють умову L(n) = φⁿ + ψⁿ і тісно пов'язані з числами Фібоначчі через такі тотожності, як F(2n) = F(n) × L(n). Числа Пелла (1, 2, 5, 12, 29) слідують за іншим множником.

Вивчення цих родичів, як детально описує Wolfram MathWorld, пояснює, чому золотий перетин керує темпом зростання всього сімейства.