Перевірка високосного року

Правило високосного року складається з трьох вкладених умов, які поступово уточнюють точність календаря.

• По-перше, будь-який рік, що ділиться на 4, є кандидатом на високосний — цей базовий цикл коригує річний надлишок у 0,2422 дня.
• По-друге, роки століть (що діляться на 100) виключаються з високосних, оскільки чотирирічне коригування перераховує на 0,0078 дня більше за цикл, що накопичується приблизно до 3 додаткових днів кожні 400 років.
• По-третє, роки, що діляться на 400, відновлюються як високосні, повертаючи один із тих трьох пропущених днів.

Результат: 400 років містять рівно 97 високосних років (а не 100), що дає середню довжину року 365,2425 дня.

Недавні приклади ілюструють це правило:

• 2024 рік був високосним (ділиться на 4, не є роком століття).
• 1900 рік НЕ був високосним (ділиться на 100, але не на 400).
• 2000 рік БУВ високосним (ділиться на 400).

Наступним винятком століття стане 2100 рік, який не буде високосним, попри подільність на 4.

Юліанський календар, запроваджений Юлієм Цезарем у 45 році до н. е., використовував простіше правило: кожен четвертий рік є високосним і край. Це давало середній рік тривалістю 365,25 дня — близько, але недостатньо точно. Протягом 1600 років юліанський календар змістився на 10 днів від астрономічної реальності. До 1500-х років весняне рівнодення припадало на 11 березня замість 21 березня, що порушувало розрахунок Великодня.

Папа Григорій XIII доручив провести реформу григоріанського календаря в 1582 році, яка пропустила 10 днів (після 4 жовтня настало 15 жовтня) і запровадила винятки для століть/400 років.

Католицькі країни прийняли його негайно, але протестантські та православні нації чинили опір десятиліттями чи навіть століттями — Британія та її колонії переходь здійснили лише у 1752 році, вимагаючи на той момент пропуску 11 днів. Росія не прийняла григоріанський календар до 1918 року. Сьогодні григоріанський календар є міжнародним цивільним стандартом, який використовує практично кожна країна.

Люди, народжені 29 лютого — їх називають людиною високосного року (або «ліплінгами»), — стикаються з унікальними практичними труднощами. Приблизно 4,1 мільйона людей у всьому світі мають день народження 29 лютого, що становить приблизно 1 на 1461 людину. У більшості юрисдикцій такі люди святкують вік 1 березня у невисокосні роки для таких цілей, як водійські права та право голосу, хоча деякі країни використовують 28 лютого. Шанси народитися 29 лютого трохи менші за 1/1461, оскільки історично в лікарнях планували менше стимульованих пологів та кесаревих розтинів у високосний день.

Програмісти повинні ретельно обробляти високосні роки — проблема 2000 року стосувалася того, чи правильно системи визначать 2000 рік як високосний (що ділиться на 400), а не виключать його як рік століття.

Високосні секунди, окрема концепція, іноді додаються до UTC, щоб врахувати уповільнення обертання Землі, але вони не пов'язані з календарним коригуванням високосного року.

Високосний рік — це календарний рік, який містить 366 днів замість звичайних 365, причому додатковий день додається як 29 лютого.

Це коригування існує тому, що Земля обертається навколо Сонця не за цілу кількість днів — за даними Військово-морської обсерваторії США, це займає приблизно 365,2422 дня. Якби календар ігнорував цю залишок у чверть дня, пори року поступово зміщувалися б відносно дати, і приблизно через 700 років грудень припав би на те, що ми зараз називаємо літом. Додавання одного дня кожні чотири роки поглинає більшу частину цього надлишку.

Лютий обрали для додаткового дня тому, що в давньоримському календарі, від якого він походить, лютий був останнім і найкоротшим місяцем року, як зазначає Британська енциклопедія.

Щоб перевірити будь-який рік, застосуйте правило григоріанського календаря у три впорядковані кроки.

• Крок 1: розділіть рік на 4 — якщо є залишок, це не високосний рік і ви можете зупинитися.
• Крок 2: якщо він рівно ділиться на 4, перевірте, чи ділиться він також на 100; якщо ні, це високосний рік.
• Крок 3: якщо він ділиться на 100, перевірте подільність на 400 — подільність означає високосний рік, неподільність — звичайний рік.

Практичний приклад: 2024 ÷ 4 = 506 без залишку, і 2024 не є роком століття, тому 2024 є високосним роком. Порівняйте з 2023 ÷ 4 = 505,75, отже 2023 — звичайний рік. Це перевіряє базову подільність, концепцію, яку Академія Хана висвітлює у своїй навчальній програмі з арифметики.

Перевірка високосного року — це компактний вираз у модульній арифметиці: рік Y є високосним, якщо (Y mod 4 = 0 AND Y mod 100 ≠ 0) OR (Y mod 400 = 0). Оператор 'mod' повертає залишок від ділення — функцію, яку Wolfram MathWorld визначає як відношення конгруентності.

Ці дві умови поєднуються так, що правило подільності на 4 застосовується широко, умова подільності на 100 виділяє роки століть, а умова подільності на 400 відновлює кожне четверте століття.

У більшості мов програмування знак відсотка (%) є оператором взяття залишку від ділення (модуло), тому умова читається точно як (year % 4 == 0 && year % 100 != 0) || (year % 400 == 0). Оскільки ця логіка є чисто цілочисельною арифметикою, вона не потребує таблиці пошуку календаря і обчислюється ідентично для будь-якого року, минулого чи майбутнього.

У кожному 400-річному григоріанському циклі є рівно 97 високосних років, а не 100.

Підрахунок виглядає так: 400 ÷ 4 = 100 років, що діляться на 4, потім віднімаємо 3 роки століть, які діляться на 100, але не на 400 (такі як 2100, 2200 та 2300), залишаючи 100 − 3 = 97. Це дає середню довжину календарного року 365 + 97/400 = 365,2425 дня, що надзвичайно близько до астрономічного року.

Повний 400-річний цикл, отже, містить 400 × 365 + 97 = 146 097 днів. Цікавий наслідок: 146 097 націло ділиться на 7 (146 097 ÷ 7 = 20 871), тому григоріанський календар повторює свій шаблон днів тижня кожні 400 років, що означає, що будь-яка задана дата припадає на той самий день тижня, що й чотири століття тому.

Високосні роки зазвичай припадають на роки, що діляться на 4. До останніх високосних років належать 2016, 2020 та 2024, а майбутніми високосними роками є 2028, 2032, 2036, 2040 та 2044.

Цей шаблон порушується лише у роки століть: 1700, 1800 та 1900 були звичайними роками, тоді як 2000 рік був високосним, оскільки він ділиться на 400. Дивлячись у майбутнє, 2100, 2200 та 2300 роки будуть звичайними, а наступним високосним роком століття стане 2400.

Оскільки високосні роки припадають на парні числа, що закінчуються на 0, 4 або 8 у межах століття, швидким скороченням для двозначних перевірок є перевірка того, чи утворюють останні дві цифри число, яке ділиться на 4 — за умови, що рік не є роком століття, який потребує перевірки на 400.

Логіка високосного року має значення далеко за межами простих фактів.

• Розробники програмного забезпечення повинні правильно обробляти 29 лютого в бібліотеках дат, системах планування та фінансовому софті — збій у обробці платежів у 2016 році та добре відома проблема 2000 року походили від неправильно оброблених правил високосного року, коли системи ризикували розглядати 2000 рік як звичайний.
• Розрахунки заробітної плати та відсотків, які використовують фактичну кількість днів, залежать від знання того, чи має рік 365 чи 366 днів.
• Астрономи та розробники календаря використовують середнє значення 365,2425 дня, щоб підтримувати узгодженість цивільного часу з тропічним роком.
• Генеалоги та історики, які конвертують дати через перехід з юліанського на григоріанський календар у 1582 році, повинні враховувати відмінності у правилах високосного року.
• Навіть калькулятор віку (або калькулятор років для днів народження) потребує логіки високосного року, щоб людину, народжену 29 лютого, можна було обробляти стабільно, що важливо для людей, народжених у цей день, які відстежують свій законний вік.

• Найчастіша помилка полягає в застосуванні лише правила «подільності на 4» і забуванні винятків для століть — це помилково позначає 1900 і 2100 роки як високосні, хоча обидва вони є звичайними.
• Друга помилка є протилежною: припущення, що всі роки століть пропускаються, що неправильно виключає 2000 і 2400 роки, попри те, що обидва діляться на 400 і є справжніми високосними роками.
• Третя пастка полягає в плутанині між високосними роками та високосними секундами; високосні секунди — це нерегулярні односекундні коригування Всесвітнього координованого часу для обертання Землі, які не слідують жодному фіксованому шаблону і не пов'язані з правилом календарного високосного дня.
• Нарешті, дехто неправильно запам'ятовує юліанські правила проти григоріанських для історичних дат до 1582 року, коли кожен четвертий рік був високосним без винятків для століть, що може змістити конвертацію історичних дат на кілька днів.

Високосний рік і високосна секунда вирішують дві абсолютно різні проблеми відліку часу.

Високосний рік додає цілий день (29 лютого) за передбачуваним графіком, щоб підтримувати календар узгодженим з орбітою Землі навколо Сонця тривалістю ~365,2422 дня. Високосна секунда, навпаки, додає одну секунду до Всесвітнього координованого часу (UTC) на нерегулярній, непередбачуваній основі для компенсації поступового та нерівномірного уповільнення обертання Землі, як задокументовано Військово-морською обсерваторією США.

Високосні секунди додавалися лише близько двох десятків разів з 1972 року і про них оголошують лише за кілька місяців наперед, тоді як високосні роки дотримуються фіксованого 400-річного математичного правила, яке можна обчислити на століття наперед. Наприкінці 2022 року міжнародні органи з відліку часу проголосували за поступову відмову від високосної секунди до 2035 року, але правило високосного року залишається незмінним і на нього це не впливає.