Калькулятор потенціальної енергії

Гравітаційна потенціальна енергія = mgh, де m — маса (кг), g — прискорення вільного падіння (9.81 м/с² на Землі), а h — висота над базовою точкою (у метрах). Базова точка є довільною — значення має лише зміна висоти.

Автомобіль масою 1000 кг на вершині 50-метрового пагорба має потенціальну енергію PE = 1000 × 9.81 × 50 = 490 500 Дж (490.5 кДж) відносно підніжжя. Ця енергія перетворюється на кінетичну енергію під час спускання автомобіля — унизу (якщо знехтувати тертям) він досягає швидкості v = √(2gh) = √(2 × 9.81 × 50) = 31.3 м/с (70 миль/год).

Гідроелектростанції використовують цей принцип: вода, що падає з певної висоти (напору), обертає турбіни. Напір Гувровської греблі заввишки 180 метрів генерує величезну енергію на кубічний метр води: PE = 1000 × 9.81 × 180 = 1 765 800 Дж на м³.

Пружна потенціальна енергія = ½kx², де k — жорсткість пружини (Н/м або фунт/дюйм), а x — зміщення від положення рівноваги. Цей зв'язок є квадратичним: подвоєння стиснення збільшує накопичену енергію вчетверо.

Пружина жорсткістю k = 500 Н/м, стиснута на 0.1 м, накопичує енергію PE = ½ × 500 × 0.01 = 2.5 Дж. Пружина автомобільної підвіски (k ≈ 25 000 Н/м), стиснута на 5 см під час наїзду на вибоїну, накопичує PE = ½ × 25 000 × 0.0025 = 31.25 Дж на одну пружину. Луки та арбалети накопичують пружну енергію — блоковий лук із k ≈ 2500 Н/м при розтягуванні на 0.7 м накопичує приблизно 612 Дж, чого достатньо, щоб випустити стрілу зі швидкістю понад 90 м/с.

Жорсткість пружини визначає взаємосвязок сили та зміщення: F = kx (закон Гука) — для стискання жорсткішої пружини потрібна більша сила, але вона накопичує більше енергії на одиницю зміщення.

Принцип збереження енергії стверджує, що загальна енергія (кінетична + потенціальна) залишається постійною в ізольованій системі (якщо не зважати на тертя та опір повітря). На вершині гірки американських гірок енергія переважно потенціальна; унизу — переважно кінетична.

Цей принцип дозволяє виконувати прості розрахунки: м'яч, кинутий з висоти 5 метрів, досягає швидкості v = √(2 × 9,81 × 5) = 9,9 м/с біля землі незалежно від маси. За наявності тертя частина енергії перетворюється на тепло — справжні американські гірки внизу 30-метрового спуску досягають приблизно 85-90% теоретичної швидкості через втрати на тертя та опір повітря.

В інженерії аналіз потенціальної енергії має критичне значення для:

• вибору розміру насосів (повинні подолати гравітаційну ПЕ води, що підіймається)
• проєктування систем безпеки (енергія, що поглинається амортизаційними ба'єрами)
• зберігання енергії (гідроакумулюючі станції зберігають енергію як гравітаційну ПЕ, перекачуючи воду вгору в періоди низького попиту)

Щоб розрахувати гравітаційну потенціальну енергію, помножте масу на прискорення вільного падіння та на висоту: PE = m × g × h. Маса m виражається в кілограмах, g — це місцеве прискорення вільного падіння (9,81 м/с² поблизу поверхні Землі), а h — висота в метрах над обраною точкою відліку. Результат вимірюється в джоулях (Дж).

Наприклад, книга масою 2 кг, покладена на полицю заввишки 3 м, зберігає PE = 2 × 9,81 × 3 = 58,86 Дж відносно підлоги. Оскільки формула є лінійною для кожної змінної, подвоєння висоти подвоює збережену енергію.

Ресурс HyperPhysics (Університет штату Джорджія) зазначає, що mgh є наближенням для приповерхневих умов, де g вважається постійною величиною.

Одиницею потенціальної енергії в системі SI є джоуль (Дж), який Міжнародним бюро мір і ваг (BIPM) визначено як один кілограм-метр у квадраті на секунду в квадраті (1 Дж = 1 кг·м²/с²), що еквівалентно одному ньютон-метру. У формулі PE = mgh одиниці поєднуються як кг × (м/с²) × м = кг·м²/с² = Дж, що підтверджує розмірну сумісність рівняння. NIST підтримує джоуль як узгоджену одиницю енергії SI.

Поширені переведення одиниць включають:

• 1 Дж = 0,7376 фут·фунт
• 1 калорія = 4,184 Дж
• 1 кіловат-год = 3,6 × 10⁶ Дж
• 1 електрон-вольт = 1,602 × 10⁻¹⁹ Дж

Завжди виражайте масу в кілограмах, а довжину в метрах, щоб результат виходив безпосередньо в джоулях без додаткових коефіцієнтів перерахунку.

Перетворення формули PE = mgh дозволяє знайти будь-яку окрему невідому величину.

• Щоб знайти висоту, розділіть енергію на добуток маси та прискорення вільного падіння: h = PE / (m × g). Наприклад, об'єкт масою 3 кг із запасом енергії 147,15 Дж на Землі знаходиться на висоті h = 147,15 / (3 × 9,81) = 5 м.
• Щоб знайти масу, використовуйте m = PE / (g × h).
• Щоб знайти місцеве прискорення вільного падіння, використовуйте g = PE / (m × h).

Оскільки кожна змінна піднесена до першого степеня, ці перетворення зводяться до простого ділення. Академія Хана рекомендує перевіряти одиниці вимірювання після перетворення — відповідь для висоти повинна мати метри, а для маси — кілограми, щоб виявити алгебраїчні помилки до того, як довіряти числу.

Коли об'єкт вільно падає, гравітаційна потенціальна енергія перетворюється на кінетичну, тоді як загальна механічна енергія залишається незмінною. Прирівнявши енергії, mgh = ½mv², маса скорочується, і швидкість удару стає рівною v = √(2gh) — незалежно від маси.

Камінь, кинутий з висоти 20 м на Землі, досягає швидкості v = √(2 × 9,81 × 20) = √392,4 ≈ 19,81 м/с (близько 71 км/год) біля землі, якщо не зважати на опір повітря.

Encyclopaedia Britannica визначає це як збереження механічної енергії: енергія переноситься між формами, а не створюється чи знищується. Насправді аеродинамічний опір та тертя розсіюють частину енергії у вигляді тепла та звуку, тому виміряні швидкості виявляються дещо нижчими за ідеальне значення.

Гравітаційна потенціальна енергія прямо пропорційна місцевому прискоренню вільного падіння g, тому однакова маса на тій самій висоті зберігає різну енергію на різних небесних тілах. NIST та планетарні довідники вказують g ≈ 1,62 м/с² на Місяці, 3,72 м/с² на Марсі, 9,81 м/с² на Землі та 24,79 м/с² на Юпітері.

Об'єкт масою 5 кг, піднятий на висоту 10 м, тому зберігає:

• 81 Дж на Місяці
• 186 Дж на Марсі
• 490,5 Дж на Землі
• 1 239,5 Дж на Юпітері

Значення для Місяця становить приблизно 16,5% від земного, оскільки 1,62 / 9,81 ≈ 0,165. Саме тому астронавти можуть підіймати важкі вантажі на велику висоту на Місяці, витрачаючи значно менше енергії, і чому таке ж падіння спричиняє м'якші удари.

Пружна потенціальна енергія розраховується за формулою PE = ½ × k × x², де k — жорсткість пружини в ньютонах на метр (Н/м), а x — зміщення від положення рівноваги в метрах. Оскільки енергія залежить від x², розтягування або стискання пружини вдвічі далі зберігає вчетверо більше енергії.

Пружина з жорсткістю k = 800 Н/м, стиснена на 0,05 м, зберігає PE = ½ × 800 × (0,05)² = ½ × 800 × 0,0025 = 1,0 Дж. Пов'язана відновлювальна сила підпорядковується закону Гука, F = kx, як описано в HyperPhysics.

Пружна ПЕ завжди є додатною, незалежно від того, розтягнута пружина чи стиснена, оскільки x² ніколи не буває від'ємним — на цьому наголошує Академія Хана для початківців.

Аналіз потенціальної енергії лежить в основі багатьох інженерних систем:

• Гідроакумулюючі електростанції зберігають гравітаційну ПЕ, перекачуючи воду вгору в періоди низького попиту та випускаючи її через турбіни в години пікового навантаження — перепад висот у 300 м забезпечує кожному кубічному метру енергію PE = 1 000 × 9,81 × 300 = 2 943 000 Дж.
• Проєктанти американських гірок використовують підйомний механізм із ланцюгом як резервуар ПЕ, який живить кожен спуск і петлю.
• Системи на основі пружин зберігають пружну ПЕ в автомобільних підвісках, годинникових пружинах, луках для стрільби та механічних затискачах.
• Амортизаційні бар'єри та пакувальні піноматеріали розроблені для поглинання кінетичної енергії шляхом перетворення її на деформацію.

Ресурси Britannica та IEEE зазначають, що акумуляторні та конденсаторні системи зберігають енергію електричним шляхом, доповнюючи ці механічні сховища потенціальної енергії в сучасних електромережах.

• Найчастішою помилкою є змішування одиниць — використання грамів замість кілограмів або сантиметрів замість метрів, що спотворює результат у джоулях у тисячі разів. Переводьте величини в кілограми та метри перед застосуванням формули PE = mgh.

• Друга помилка полягає у використанні g = 9,81 м/с² для розрахунків не для Землі; для Місяця та Марса потрібні власні значення.

• Для пружної ПЕ поширеною помилкою є забуття піднести зміщення до квадрата або піднесення до квадрата лише частини значення: формула PE = ½kx² вимагає використання x² у метрах у квадраті.

• Ще одна прогалина полягає в тому, щоб вважати опорну висоту фіксованою, а не обраною нульовою точкою — значення має лише зміна висоти.

• Нарешті, формула швидкості удару v = √(2gh) не враховує опір повітря, тому реальні виміряні швидкості є нижчими.