Калькулятор руху тіла, кинутого під кутом

Чотири основні рівняння (за умови запуску з рівня землі та відсутності опору повітря):

• Дальність R = v₀²sin(2θ)/g — максимальна при θ = 45°.
• Максимальна висота H = v₀²sin²(θ)/(2g).
• Час польоту T = 2v₀sin(θ)/g.

Вони розкладають початкову швидкість на складові: v_x = v₀cos(θ) залишається сталою протягом усього польоту; v_y = v₀sin(θ) - gt зменшується до нуля у найвищій точці, а потім зростає у напрямку до землі.

У будь-який момент часу t: горизонтальне положення x = v₀cos(θ)t, вертикальне положення y = v₀sin(θ)t - ½gt².

Приклад: гарматне ядро, випущене зі швидкістю 100 м/с під кутом 45°: R = 100²×sin(90°)/9.81 = 1 019 м, H = 100²×sin²(45°)/(2×9.81) = 255 м, T = 2×100×sin(45°)/9.81 = 14.4 секунди.

У вакуумі максимальна дальність досягається при 45° для будь-якої початкової швидкості. Доповняльні кути (наприклад, 30° і 60°) дають однакову дальність: кут 30° забезпечує пологу та швидку траєкторію, тоді як 60° — високу та повільну.

При запуску з підвищення (кручі, пагорба) оптимальний кут стає меншим за 45°, оскільки тіло долає додаткову вертикальну відстань. Для висоти h оптимальний кут ≈ arctan(v₀/√(v₀² + 2gh)), який наближається до 45° зі зростанням v₀ відносно h.

З урахуванням опору повітря оптимальний кут знижується до 30-40° для більшості реальних об'єктів, оскільки при високих траєкторіях тіло довше перебуває на значній висоті, де опір повітря має накопичувальний ефект.

Розрахунки в артилерії також повинні враховувати:

• вітер,
• ефект Коріоліса (обертання Землі),
• та аеродинамічні властивості снаряда.

Застосування у спорті: штрафний кидок у баскетболі (початкова швидкість ~7 м/с, кут ~52°, висота випуску ~2.4 м, кільце на висоті 3.05 м, відстань 4.6 м) має вузький діапазон допустимих кутів і швидкостей. У гольфі удар драйвером (початкова швидкість 70 м/с, кут 10-12° із зворотним обертанням) використовує ефект Магнуса (підйомну силу від обертання) для досягнення дальності понад 250 метрів, що значно перевищує розрахунки для вакууму при такому куті.

Опір повітря (сила лобового опору Fd = ½ρv²CdA) суттєво впливає на траєкторію: бейсбольний м'яч, вибитий зі швидкістю 45 м/с під кутом 35°, у вакуумі долав би близько 120 метрів, але з урахуванням опору повітря — лише 95-100 метрів (зменшення на 20%). Сила опору зростає пропорційно квадрату швидкості, тому швидші об'єкти зазнають більшого впливу.

Гранична швидкість досягається, коли сила опору дорівнює силі тяжіння:

• приблизно 30 м/с для бейсбольного м'яча,
• 55 м/с для парашутиста (у позі плашмя),
• та 90 м/с для парашутиста (головою вниз).

Щоб розрахувати горизонтальну дальність на плоскій поверхні, використовуйте формулу R = v₀²·sin(2θ)/g, де v₀ — початкова швидкість, θ — кут кидання, а g — прискорення вільного падіння (9.81 м/с² на Землі).

• Спочатку піднесіть початкову швидкість до квадрата,
• потім помножте на синус подвоєного кута кидання,
• і поділіть на g.

Наприклад, м'яч, запущений зі швидкістю 25 м/с під кутом 30°: R = 25² × sin(60°) / 9.81 = 625 × 0.8660 / 9.81 ≈ 55.2 метра. Множник подвійного кута пояснює, чому кути 30° і 60° дають однакову дальність.

Проєкт HyperPhysics (Державний університет Джорджії) виводить цей результат із незалежних рівнянь горизонтального та вертикального руху.

Для розрахунку руху тіла, кинутого під кутом, використовуються основні та похідні одиниці SI, визначені BIPM та NIST.

• Швидкість (v₀) вимірюється в метрах за секунду (м/с),
• кут кидання (θ) — у градусах або радіанах,
• відстань і висота (R, H) — у метрах (м),
• а час польоту (T) — у секундах (с).

Прискорення вільного падіння g вимірюється в метрах за секунду в квадраті (м/с²), зі стандартним значенням 9.80665 м/с² за даними NIST.

Використання узгоджених одиниць SI гарантує, що формули даватимуть результат безпосередньо в метрах і секундах. Якщо ви вводите швидкість у км/год або футах, спочатку виконайте переведення: 1 км/год = 0.2778 м/с, а 1 фут = 0.3048 м, інакше результати будуть розмірнісно некоректними.

Швидкість приземлення — це повна швидкість об'єкта в момент падіння, яка обчислюється шляхом об'єднання горизонтальної та вертикальної складових швидкості за теоремою Піфагора: v = √(vₓ² + v_y²).

Горизонтальна складова залишається сталою vₓ = v₀·cos(θ), тоді як вертикальна складова під час приземлення дорівнює v_y = v₀·sin(θ) − g·t.

Для об'єкта, що просто падає з висоти h (θ = 0, v₀ = 0), швидкість приземлення спрощується до v = √(2gh): при падінні з 45 м, v = √(2 × 9.81 × 45) = √882.9 ≈ 29.7 м/с.

Khan Academy пояснює, що у вакуумі швидкість запуску дорівнює швидкості приземлення, якщо висота запуску та приземлення однакова, оскільки закон збереження енергії виконується.

У русі тіла, кинутого під кутом, горизонтальний і вертикальний напрямки аналізуються окремо, оскільки сила тяжіння діє лише вертикально.

Горизонтальна швидкість vₓ = v₀·cos(θ) є сталою (у вакуумі відсутня горизонтальна сила), тому горизонтальна координата зростає лінійно: x = v₀·cos(θ)·t. У вертикальному напрямку сила тяжіння створює постійне прискорення g, спрямоване вниз: y = v₀·sin(θ)·t − ½g·t².

Ця незалежність, уперше сформульована Галілеєм і детально описана в Encyclopaedia Britannica, означає, що куля, випущена горизонтально, і куля, просто скинута з тієї ж висоти, впадуть на землю одночасно.

HyperPhysics розглядає ці дві складові як дві одновимірні задачі кінематики, єдиною спільною змінною для яких є час t.

Коли тіло запускається з підвищення, час польоту визначається розв'язанням рівняння вертикального положення 0 = h + v₀·sin(θ)·t − ½g·t² за допомогою квадратного рівняння: t = [v₀·sin(θ) + √((v₀·sin(θ))² + 2gh)] / g. Тут h — висота запуску над поверхнею приземлення.

При запуску з рівня землі (h = 0) ця формула спрощується до стандартної T = 2·v₀·sin(θ)/g.

Оскільки дискримінант зростає зі збільшенням h, додаткова висота завжди збільшує як час польоту, так і горизонтальну дальність. Фізичний зміст має лише додатний корінь, оскільки тіло приземляється після запуску.

Khan Academy демонструє цей квадратний підхід для задач із запуском з кручі або даху.

Рівняння руху тіла, кинутого під кутом, моделюють багато процесів у реальному житті.

• У баскетболі штрафний кидок, виконаний зі швидкістю близько 7 м/с під кутом майже 52°, рухається параболою в кошик на висоті 3.05 м.
• У балістиці та артилерії гарматники виставляють кути підйому за таблицями стрільби, складеними на основі R = v₀²·sin(2θ)/g, з урахуванням опору повітря, вітру та обертання Землі (ефекту Коріоліса).
• Інженери в цивільному та машинобудуванні застосовують цю ж кінематику для проєктування струменів фонтанів, дальності пожежних рукавів і сходження вантажів з конвеєрних стрічок.
• Аерокосмічні інженери використовують основи цього руху як базову модель у вакуумі перед додаванням аеродинамічного опору та підйомної сили.

Encyclopaedia Britannica зазначає, що ці ідеалізовані параболічні результати залишаються важливим першим наближенням у спортивній науці та інженерії.

Найпоширеніші помилки пов'язані з плутаниною режимів кутів і одиниць вимірювання.

• За замовчуванням у калькуляторах використовуються радіани, тому для sin(45°) потрібно вмикати режим градусів або використовувати значення в радіанах 0.7854, а не 45.
• Інша помилка — забувати, що сила тяжіння діє лише на вертикальну складникову: горизонтальна швидкість vₓ = v₀·cos(θ) у вакуумі залишається незмінною.
• Студенти також неправильно застосовують формулу T = 2v₀sin(θ)/g, коли висота запуску та приземлення відрізняються; ця спрощена формула працює лише для плоскої поверхні.
• Знаки також мають значення: послідовно вважайте прискорення, спрямоване вниз, рівним −g.
• Нарешті, не прирівнюйте максимальну висоту до половини дальності польоту і пам'ятайте, що ця модель ігнорує опір повітря відповідно до припущень NIST та HyperPhysics щодо ідеалізованого руху.

Оскільки g міститься в знаменнику кожної формули руху кинутого тіла, слабша гравітація забезпечує довший, вищий і повільніший політ. Дальність польоту обернено пропорційна g: R = v₀²·sin(2θ)/g.

Якщо використовувати стандартні значення за типом NIST:

• g на Землі становить 9.81 м/с²,
• на Місяці — близько 1.62 м/с²,
• а на Марсі — близько 3.72 м/с².

Тіло, запущене зі швидкістю 20 м/с під кутом 45°, долає приблизно 40.8 м на Землі, але близько 246.9 м на Місяці (40.8 × 9.81 / 1.62) — орієнтовно в шість разів далі. Час польоту та максимальна висота зростають у таку ж кількість разів.

Ось чому калькулятор дозволяє змінювати g для моделювання умов Місяця, Марса або лабораторних параметрів.