Калькулятор квадратного рівняння
Застосуйте формулу коренів квадратного рівняння x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, щоб знайти точні розв'язки.
Працює для будь-яких коефіцієнтів із повним покроковим поясненням.
Розв'язувач квадратних рівнянь
Наш безкоштовний розв'язувач квадратних рівнянь допоможе вам знайти корені будь-якого квадратного рівняння за допомогою формули коренів. Отримайте дискримінант, вершинну форму, вісь симетрії, розкладений на множники вигляд та повні покрокові розв'язання. Працює з дійсними та комплексними коренями.
star
4.9
calendar_today
Updated: September 2026
auto_awesome
AI Insights
AI
Квадратний калькулятор calculator
Equation
1x² - 5x + 6 = 0
Discriminant (Δ)
1
2 Real Roots
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
Quadratic Formula
x = (-b ± √Δ) / 2a
Solutions
x₁
3
x₂
2
Properties
Vertex (h, k)
(2.5, -0.25)
Axis of Symmetry
x = 2.5
Sum of Roots
5
Product of Roots
6
Forms
Factored:
(x - 3)(x - 2)
Vertex:
(x - 2.5)² - 0.25
Solution Steps
1. Δ = b² - 4ac = 25 - 24 = 1
2. x = (-(-5) ± √1) / 2(1)
3. x = (5 ± 1) / 2
4. x₁ = 3, x₂ = 2
lightbulb Tips
- •x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
- •Δ > 0: two real roots
- •Δ = 0: one repeated root
- •Δ < 0: complex roots
functions Reference
Discriminant (Δ = b²-4ac)
Δ > 0
Two real roots
Δ = 0
One repeated root
Δ < 0
Complex roots
Formulas
Vertex: (-b/2a, f(-b/2a))
Sum of roots: -b/a
Product of roots: c/a
How to Use the Квадратний калькулятор
edit
Введіть коефіцієнти
Введіть значення для a, b та c у виразі ax² + bx + c = 0.
functions
Переглянути корені
Дивіться розв'язки x₁ та x₂ (дійсні або комплексні).
analytics
Аналізувати рівняння
Отримайте дискримінант, вершину, вісь симетрії та форми.
format_list_numbered
Дотримуйтесь кроків
Вивчіть повний процес розв'язання крок за кроком.
The Formula
Формула коренів квадратного рівняння дає розв'язок для будь-якого квадратного рівняння. Дискримінант (Δ) визначає, чи є корені дійсними (Δ ≥ 0), чи комплексними (Δ < 0).
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
lightbulb Variables Explained
- a, b, c Коефіцієнти в ax² + bx + c = 0
- Δ = b² - 4ac Дискримінант (визначає характер коренів)
- x₁, x₂ Два корені (розв'язки)
tips_and_updates Pro Tips
1
Якщо Δ > 0: два різні дійсні корені
2
Якщо Δ = 0: один кратний дійсний корінь (повний квадрат)
3
Если Δ < 0: два комплексні спряжені корені
4
Вершинна форма: a(x - h)² + k, де h = -b/2a
5
Сума коренів = -b/a, добуток коренів = c/a
6
Парабола відкрита вгору, якщо a > 0, і вниз, якщо a < 0
Розв'язуйте будь-яке квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 за допомогою формули коренів. Отримуйте дійсні або комплексні корені, дискримінант, вершину, вісь симетрії та докладний покроковий розв'язок.
Калькулятор дискримінанта
Обчисліть дискримінант Δ = b² - 4ac, щоб визначити характер коренів перед їх пошуком.
- Додатне значення означає два дійсні корені
- нуль означає один корінь
- від'ємне значення означає комплексні корені
Калькулятор форми вершини
Перетворіть стандартну форму у форму вершини a(x - h)² + k.
Знайдіть координати вершини та зрозумійте положення і напрямок параболи.
Калькулятор розкладання квадратного рівняння на множники
Отримайте розкладену форму a(x - r₁)(x - r₂), коли знайдено корені.
Оскільки корені часто виявляються дробами, а не цілими числами, калькулятор дробів дозволяє легко їх спростити, а розкладена форма корисна для розуміння структури рівняння та розв'язування нерівностей.
Розв'язувач комплексних коренів
Коли дискримінант від'ємний, знайдіть комплексно спряжені корені у вигляді a ± bi.
Наш розв'язувач працює як з дійсними, так і з уявними розв'язками.
Покрокові розв'язки
Дізнайтеся, як розв'язувати квадратні рівняння за допомогою детальних пояснень.
Ідеально для студентів, які вивчають алгебру та готуються до іспитів.
Що таке квадратне рівняння?
Квадратне рівняння — це поліноміальне рівняння другого ступеня, записане в стандартному вигляді ax² + bx + c = 0, де a, b і c є сталими, а a ≠ 0.
Оскільки найвищий степінь невідомого x дорівнює двом, рівняння має щонайбільше два розв'язки, які називаються коренями. Геометрично його графіком є парабола, яка відкрита вгору, коли a > 0, і вниз, коли a < 0.
Згідно з Wolfram MathWorld, термін "квадратний" походить від латинського quadratus, що означає квадрат. Квадратні рівняння зустрічаються в алгебрі, фізиці та фінансах, що робить їх одним із найбільш досліджуваних типів рівнянь в елементарній математиці.
Як розв'язати квадратне рівняння за допомогою формули коренів
Щоб розв'язати квадратне рівняння, застосуйте формулу коренів x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a після запису рівняння в стандартному вигляді та визначення a, b і c.
Спочатку обчисліть дискримінант b² - 4ac, потім підставте його у формулу та обчисліть значення як для плюса, так і для мінуса. Наприклад, 2x² - 4x - 6 = 0 дає дискримінант 16 + 48 = 64, тому x = (4 ± 8) / 4, що дає x = 3 та x = -1.
Khan Academy зазначає, що ця формула працює для кожного квадратного рівняння, на відміну від розкладання на множники чи виділення повного квадрата, які залежать від ситуації. Формула виводиться шляхом виділення повного квадрата із загального вигляду.
Пояснення методу виділення повного квадрата
Виділення повного квадрата перетворює квадратне рівняння на тричлен із повним квадратом плюс константа, перетворюючи ax² + bx + c = 0 на форму вершини a(x - h)² + k = 0.
Для x² + 6x + 5 = 0 додайте і відніміть (6/2)² = 9, щоб отримати (x + 3)² - 4 = 0, отже (x + 3)² = 4 і x = -1 або x = -5.
Encyclopaedia Britannica описує цей класичний метод як основу для виведення самої формули коренів квадратного рівняння. Окрім розв'язування, виділення повного квадрата безпосередньо розкриває вершину параболи, що робить його цінним для побудови графіків та інтегрування раціональних функцій у математичному аналізі.
Практичне застосування квадратних рівнянь
Квадратні рівняння моделюють багато життєвих ситуацій, пов'язаних із площею, рухом та оптимізацією.
- У фізиці висота тіла, що кинуте під кутом до горизонту, підпорядковується закону h = -½gt² + v₀t + h₀, який є квадратним рівнянням від часу, корені якого показують, коли об'єкт впаде на землю.
- Інженери використовують їх для визначення розмірів прямокутних площ.
- Економісти використовують їх для пошуку цін, що максимізують прибуток, де дохід описується параболою.
Згідно з Цифровою бібліотекою математичних функцій NIST, корені поліномів лежать в основі чисельного аналізу та обробки сигналів. Wolfram MathWorld підкреслює, що симетрія параболи, яку описує вісь x = -b/(2a), робить квадратні рівняння ідеальними для опису відбиваючих тарілок, фар і супутникових антен.
Поширені помилки при розв'язуванні квадратних рівнянь
Найпоширеніша помилка — застосування формули коренів до того, як рівняння буде переписане в стандартному вигляді ax² + bx + c = 0, так щоб усі члени знаходилися з одного боку і дорівнювали нулю.
- Інша часта помилка — плутанина зі знаками: b в x² - 5x + 6 дорівнює -5, а не 5, що змінює -b на +5.
- Студенти також забувають символ ± і вказують лише один корінь або втрачають знаменник 2a під обома членами.
- Коли дискримінант від'ємний, не робіть висновок "немає розв'язків" — корені є комплексно спряженими, як пояснює Khan Academy.
Нарешті, завжди перевіряйте корені, підставляючи їх назад у початкове рівняння.
Frequently Asked Questions
sell
Tags
verified
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.