Калькулятор стандартного відхилення

Основна відмінність полягає у знаменнику: стандартне відхилення вибірки ділиться на (n-1), тоді як стандартне відхилення генеральної сукупності ділиться на n.

Використовуйте стандартне відхилення вибірки, коли ваші дані є підмножиною більшої сукупності (що є найпоширенішим у реальних сценаріях).

Використовуйте стандартне відхилення генеральної сукупності лише тоді, коли у вас є дані для кожного члена всієї сукупності, яку вивчаєте.

Для генеральної сукупності: σ = √[Σ(xi - μ)² / N], де μ — середнє значення сукупності, а N — розмір сукупності.

Для вибірки: s = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)], де x̄ — середнє значення вибірки, а n — розмір вибірки.

Ділення на (n-1) у формулі вибірки називається поправкою Бесселя і забезпечує незміщену оцінку стандартного відхилення генеральної сукупності.

Стандартне відхилення допомагає зрозуміти мінливість даних.

При нормальному розподілі приблизно 68% значень знаходяться в межах одного стандартного відхилення від середнього, 95% — в межах двох стандартних відхилень, а 99.7% — в межах трьох стандартних відхилень (правило 68-95-99.7).

Порівнюйте стандартні відхилення для різних наборів даних, щоб зрозуміти, який із них має більшу мінливість.

Стандартне відхилення — це міра того, наскільки набір чисел розкиданий навколо свого середнього значення (середнього арифметичного). Воно відповідає на запитання: наскільки далеко в середньому кожна точка даних знаходиться від центру?

Маленьке стандартне відхилення означає, що значення тісно групуються навколо середнього, тоді як велике показує, що вони широко розсіяні.

Згідно з Британською енциклопедією, стандартне відхилення є найпопулярнішою мірою дисперсії в статистиці, оскільки воно виражається в тих самих одиницях, що й вихідні дані, на відміну від дисперсії. Воно лежить в основі всього — від контролю якості до фінансів, дозволяючи одним поглядом порівнювати стабільність різних наборів даних.

Щоб обчислити стандартне відхилення вручну, виконайте п'ять кроків:

• Спочатку знайдіть середнє значення, додавши всі числа і розділивши їхню суму на їхню кількість. Саме це робить наш калькулятор середнього в один клік, якщо ви хочете спочатку перевірити це число.
• Друге: відніміть середнє значення від кожного числа, щоб отримати відхилення.
• Третє: піднесіть кожне відхилення до квадрата, щоб мінуси не скасовували плюси.
• Четверте: додайте квадрати відхилень і розділіть на n для генеральної сукупності або на n-1 для вибірки, щоб отримати дисперсію.
• П'яте: добудьте квадратний корінь з дисперсії.

Академія Хана розбирає цю саму процедуру на практичних прикладах. Цей калькулятор автоматизує кожен крок і показує проміжні значення, щоб ви могли перевірити власну роботу.

Візьміть класичний набір даних 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Сума дорівнює 40 для 8 значень, отже, середнє значення дорівнює 5.

Відхилення від середнього складають -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, а їхні квадрати — 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, у сумі даючи 32.

Для генеральної сукупності розділіть на N = 8, щоб отримати дисперсію 4, а квадратний корінь дасть стандартне відхилення генеральної сукупності рівно 2. Цей приклад наведено у статті Wolfram MathWorld про стандартне відхилення.

Для вибірки ви повинні розділити 32 на n-1 = 7, отримавши дисперсію близько 4.571 та стандартне відхилення вибірки близько 2.138.

Формула стандартного відхилення генеральної сукупності виглядає як sigma = sqrt(sum of (xi - mu)^2 / N), де mu — середнє значення генеральної сукупності, а N — кількість значень.

Формула для вибірки це s = sqrt(sum of (xi - xbar)^2 / (n-1)), де xbar — середнє значення вибірки. Єдина різниця полягає у знаменнику.

Довідник зі статистичних методів NIST/SEMATECH визначає обидві формули та пояснює, що ділення на n-1, відоме як поправка Бесселя, дає незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності за вибіркою.

Дисперсія — це просто значення під знаком квадратного кореня, тому стандартне відхилення завжди є квадратним коренем з дисперсії та має ті самі одиниці виміру, що й вихідні дані.

У вибірковому стандартному відхиленні сума квадратів відхилень ділиться на n-1, а не на n, оскільки вибірка зазвичай занижує реальний розмах всієї генеральної сукупності.

Коли ви обчислюєте відхилення від середнього значення вибірки, а не від невідомого середнього генеральної сукупності, ви втрачаєте один ступінь свободи, тому дільник зменшується на одиницю для компенсації. Це коригування, яке називається поправкою Бесселя, забезпечує незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності.

Довідник NIST підтверджує, що n-1 є стандартним вибором для даних вибірки. Використовуйте n-1 щоразу, коли ваші числа є підмножиною, витягнутою з більшої групи, що охоплює більшість опитувань, експериментів та збору реальних даних.

Стандартне відхилення зустрічається в багатьох сферах:

• У фінансах воно вимірює волатильність прибутковості інвестицій, тому вище стандартне відхилення сигналізує про більший ризик.
• У виробництві та контролі якості воно керує процесами Six Sigma, які утримують продукцію в межах допустимих норм.
• В освіті воно описує, наскільки тісно результати тестів групуються навколо середнього бала класу.
• У метеорології та кліматології воно фіксує мінливість температури в різні сезони.

Британська енциклопедія зазначає, що стандартне відхилення є центральним поняттям нормального розподілу, який моделює незліченні природні явища. Оскільки воно виражається в тих самих одиницях, що й дані, професіонали використовують його для порівняння стабільності, встановлення порогових значень та виявлення незвичних спостережень.

Для даних, які підпорядковуються нормальному (дзвоноподібному) розподілу, емпіричне правило стверджує, що близько 68% значень лежать в межах одного стандартного відхилення від середнього, приблизно 95% — в межах двох, і близько 99.7% — в межах трьох.

Отже, якщо результати тестів мають середнє значення 70 і стандартне відхилення 10, приблизно 68% учнів набирають від 60 до 80 балів.

Wolfram MathWorld описує цю закономірність як визначальну властивість нормального розподілу. Це правило перетворює абстрактне число розкиду на конкретну ймовірність, допомагаючи оцінити, наскільки звичайним чи рідкісним є певне значення у вашому наборі даних.

• Найчастіша помилка — плутати формули для вибірки та генеральної сукупності через використання неправильного знаменника; ділення на n замість n-1 занижує показник розкиду для вибіркових даних.
• Інша помилка — забути піднести відхилення до квадрата, через що додатні та від'ємні різниці скасовують одна одну до нуля.
• Люди також плутають дисперсію зі стандартним відхиленням, вказуючи значення в квадраті замість його квадратного кореня.
• Округлення середнього значення занадто рано призводить до накопичення помилок на кожному наступному кроці, тому зберігайте повну точність до самого кінця.
• Нарешті, стандартне відхилення добре описує лише симетричні, приблизно нормальні дані; для сильно асиметричних даних воно може ввести в оману, як застерігає Академія Хана.