Калькулятор статистики

Описова статистика згортає набір даних у значущі підсумкові числа.

• Показники центральної тенденції (середнє, медіана, мода) показують, де знаходиться центр даних.
• Показники дисперсії (розмах, дисперсія, стандартне відхилення, IQR) показують, наскільки широко розкидані значення.
• Показники форми (асиметрія та ексцес) описують симетрію розподілу та поведінку хвостів.

Разом ці статистичні дані дають повну картину ваших даних без необхідності переглядати кожне окреме значення.

Коли ваші дані представляють усю сукупність, ви ділите на N, щоб отримати дисперсію та стандартне відхилення сукупності. Коли ваші дані є вибіркою, взятою з більшої сукупності, ви ділите на N-1 (поправка Бесселя), щоб отримати незміщену оцінку.

Вибіркове стандартне відхилення завжди трохи більше за стандартне відхилення сукупності для того самого набору даних.

Для великих N різниця незначна, але для невеликих вибірок поправка має суттєве значення.

• Середнє — це сума всіх значень, поділена на їх кількість;
• медіана — це середнє значення впорядкованих даних;
• мода — це значення, яке зустрічається найчастіше.

Для набору даних {68, 72, 76, 78, 82, 85, 88, 90, 91, 95} знання того, як обчислити середнє, дає 825, поділене на 10, тобто 82.5. При парній кількості з 10 значень медіана вираховується як середнє двох центральних чисел: (82 + 85) / 2 = 83.5. Жодне значення не повторюється, тому в цьому наборі немає моди.

Як пояснює Khan Academy, ці три міри центральної тенденції відповідають на різні запитання, тому відображення всіх трьох дає повнішу картину, ніж будь-яка з них окремо.

Дисперсія — це середнє значення квадратичних відхилень від середнього, а стандартне відхилення — це квадратний корінь з дисперсії.

Спершу вам потрібно:

• відняти середнє значення від кожного числа;
• піднести кожен результат до квадрата;
• скласти їх.

Дисперсія сукупності ділить цю суму на N; вибіркова дисперсія ділить на N-1. Для 10 результатів тестів із середнім значенням 82.5 вибіркова дисперсія становить близько 78.28, а вибіркове стандартне відхилення — близько 8.85.

Wolfram MathWorld зазначає, що піднесення відхилень до квадрата і прибирає мінуси, і сильніше зважує більші відхилення від середнього, тому стандартне відхилення є домінуючою мірою розкиду в статистиці.

Квартилі поділяють відсортовані дані на чотири рівні частини:

• Q1 — це 25-й перцентиль;
• Q2 — це медіана;
• Q3 — це 75-й перцентиль.

Міжквартильний розмах (IQR) дорівнює Q3 мінус Q1 і охоплює розброс середніх 50% даних. Для {68, 72, 76, 78, 82, 85, 88, 90, 91, 95} Q1 дорівнює 76, Q3 дорівнює 90, тому IQR = 90 - 76 = 14.

П'ятизначне зведення — мінімум, Q1, медіана, Q3, максимум — це 68, 76, 83.5, 90, 95. Електронний довідник зі статистичних методів NIST/SEMATECH описує це зведення як основу для коробкової діаграми.

Асиметрія вимірює несиметрію розподілу, а ексцес вимірює важкість його хвостів.

Нульова асиметрія вказує на симетричний розподіл; додатне значення свідчить про довший правий хвіст, а від'ємне — про довший лівий хвіст.

Ексцес порівнює вагу хвостів із нормальним розподілом, який має ексцес 3 (або надлишковий ексцес 0). Вищий ексцес означає важчі хвости та більшу кількість екстремальних викидів.

Згідно з Wolfram MathWorld, ці третій і четвертий стандартизовані моменти розширюють опис набору даних за межі центру та розкиду, виявляючи особливості форми, які середнє значення та стандартне відхилення не можуть зафіксувати самостійно.

Коефіцієнт варіації (CV) — це стандартне відхилення, поділене на середнє значення, виражене у відсотках: CV = (SD / mean) x 100%.

Оскільки він не має одиниць виміру, CV дозволяє порівнювати мінливість у наборах даних, виміряних у різних одиницях або в різних шкалах. Для 10 тестових балів CV становить приблизно 8.85 / 82.5 x 100%, або близько 10.7%, що вказує на відносно низьку варіацію.

Енциклопедія Британніка описує CV як стандартизовану міру дисперсії. Загальне правило вважає CV нижче 15% низьким, а вище 30% — високим, хоча ідеальні порогові значення залежать від вашої сфери та контексту.

Перцентильний ранг показує відсоток значень у наборі даних, які лежать нижче певного значення, тому це базується безпосередньо на знанні того, як виконувати розрахунок віку. Проста формула: перцентильний ранг = (кількість значень нижче x / загальна кількість) x 100.

Якщо 7 з 10 екзаменаційних балів нижчі за ваш, ваш перцентильний ранг дорівнює 70, що означає, що ви набрали більше балів, ніж 70% групи. Перцентилі є основою багатьох стандартизованих звітних систем, від результатів тестів до графіків педіатричного росту.

Академія Хана наголошує, що перцентилі описують відносну позицію, а не абсолютне значення, тому «швидкий» калькулятор років стає набагато кориснішим, коли ви знаєте перцентиль, якому він відповідає.

Описова статистика з'являється майже в кожній кількісній галузі.

• У виробництві програми Six Sigma використовують стандартні відхилення для кількісної оцінки рівня дефектів і здатності процесу.
• У фінансах стандартне відхилення вимірює волатильність прибутковості, тоді як середнє значення оцінює очікувану прибутковість.
• Державні органи охорони здоров'я покладаються на медіани та перцентилі, щоб узагальнити результати в різних групах населення, а педагоги використовують їх для інтерпретації успішності тестів.

Електронний довідник зі статистичних методів NIST/SEMATECH показує, як зведена статистика підтримує контроль якості та експериментальний аналіз. Незалежно від того, чи виставляєте ви оцінки за іспити, чи використовуєте калькулятор віку, чи порівнюєте інвестиційні портфелі, ці показники перетворюють сирі цифри на рішення, які можна захистити.

Емпіричне правило, або правило 68-95-99.7, описує, як дані розподіляються за нормальним розподілом:

• Приблизно 68% значень потрапляють у межі одного стандартного відхилення від середнього
• близько 95% потрапляють у межі двох стандартних відхилень
• і близько 99.7% потрапляють у межі трьох

Наприклад, якщо тест має середнє значення 82.5 і стандартне відхилення близько 8.85, приблизно 95% балів лежатимуть між 64.8 і 100.2, якщо дані розподілені нормально.

Енциклопедія Британніка зазначає, що це правило є причиною того, чому стандартне відхилення так широко використовується: воно перетворює абстрактний розмах на конкретні діапазони ймовірностей, якими ви можете оперувати, щоб порахувати скільки років чи визначити скільки мені років.

• Найчастішою помилкою є плутанина між формулами вибірки та сукупності: ділення на N, коли ваші дані є лише вибіркою, занижує справжню мінливість, тому використовуйте N-1 (поправку Бесселя) для вибірок.
• Інша помилка — невідсортування даних перед знаходженням медіани чи квартилів, що дає беззмістовні результати.
• Люди також плутають моду (найчастіше значення) із середнім значенням або повідомляють про моду для даних, де кожне значення є унікальним.
• Нарешті, пам'ятайте, що середнє значення є чутливим до викидів, тоді як медіана є стійкою, тому одне екстремальне значення може спотворити вік за датою народження або ваші розрахунки.

Завжди підтверджуйте, яка статистика найкраще відповідає на ваше конкретне питання, перш ніж робити висновки за допомогою інструментів на кшталт скільки років людини по даті народження.