Наш безкоштовний калькулятор Z-оцінки обчислює стандартизований показник (Z-оцінку) на основі початкового значення, середнього значення генеральної сукупності та стандартного відхилення. Він також перетворює Z-оцінки на процентилі та ймовірності за допомогою стандартного нормального розподілу. Використовуйте його для статистики, оцінювання іспитів, контролю якості та перевірки гіпотез.
Введіть ваше початкове значення або спостереження (x).
Введіть середнє значення генеральної сукупності (μ) та стандартне відхилення (σ).
Дізнайтеся свою Z-оцінку, процентиль та ймовірність.
Дізнайтеся, що означає ваш z-показник відносно розподілу.
Z-показник вимірює, на скільки стандартних відхилень значення відрізняється від середнього. Z-показник, що дорівнює 0, означає, що значення збігається із середнім. Позитивні z-показники знаходяться вище середнього значення, а негативні — нижче. Процентиль — це кумулятивна ймовірність P(Z < z) для стандартного нормального розподілу.
z = (x − μ) / σ
z = 0 означає, що ви перебуваєте точно на рівні середнього значення
z = ±1 охоплює ~68% нормального розподілу
z = ±2 охоплює ~95% нормального розподілу
z = ±3 охоплює ~99,7% нормального розподілу (правило 68-95-99,7)
Z-оцінка вище 2,0 означає, що ви перебуваєте в найкращих ~2,3% розподілу
Використовуйте від’ємні Z-оцінки, якщо значення нижче середнього
Розраховуйте z-показники, конвертуйте їх у процентилі та знаходьте значення ймовірності за допомогою нашого безкоштовного калькулятора z-показників. Підходить для оцінок за іспити, даних контролю якості, наукових вимірювань та будь-яких наборів даних із нормальним розподілом.
Формула z-показника: z = (x − μ) / σ, де x — ваше початкове значення, μ — середнє значення, а σ — стандартне відхилення.
Введіть ці три значення в калькулятор, щоб миттєво отримати z-показник, а також відповідні процентиль та ймовірність.
Перетворіть будь-яку Z-оцінку на процентильний ранг за допомогою інтегральної функції стандартного нормального розподілу.
Z-оцінки підпорядковуються стандартному нормальному розподілу (середнє значення = 0, стандартне відхилення = 1).
Правило 68-95-99.7 стверджує, що:
Наш калькулятор візуалізує вашу Z-оцінку на кривій нормального розподілу.
Z-оцінка (або стандартизована оцінка) показує, на скільки стандартних відхилень конкретне значення відрізняється від середнього значення у розподілі.
Z-оцінка 0 знаходиться точно на рівні середнього значення, +1.5 — на півтора стандартних відхилення вище за нього, а −2 — на два стандартних відхилення нижче.
Оскільки вона приводить будь-яку змінну до спільної одиниці виміру, Z-оцінка дозволяє порівнювати значення з абсолютно різних шкалових систем — наприклад, результати тесту зі зростом людини.
Як зазначає Wolfram MathWorld, стандартизована оцінка зводить нормальну змінну до розподілу із середнім значенням 0 і стандартним відхиленням 1, що є основою майже для кожного параметричного статистичного тесту.
Z-оцінка обчислюється за формулою z = (x − μ) / σ, де x — це фактичне спостереження, μ — середнє значення генеральної сукупності, а σ — її стандартне відхилення.
Ви віднімаєте середнє значення, щоб центрувати дані навколо нуля, а потім ділите на стандартне відхилення, щоб виразити відстань у стандартизованих одиницях. Якщо у вас є лише вибірка, замініть їх на вибіркове середнє x̄ та вибіркове стандартне відхилення s.
Для результату 85 при середньому значенні 70 і стандартному відхиленні 10: z = (85 − 70) / 10 = 1.5.
Khan Academy зазначає, що таке перетворення зберігає форму розподілу, водночас стандартизуючи його центр і розкид.
Щоб перетворити Z-оцінку на ймовірність, використовують інтегральну функцію розподілу (CDF) стандартного нормального розподілу Φ(z), яка дає значення P(Z < z).
Для z = 1.5, Φ(1.5) ≈ 0.9332, тобто близько 93.32% значень лежать нижче, а 6.68% — вище.
Інтегральна функція розподілу визначається через функцію помилок (erf), як описано в Цифровій бібліотеці математичних функцій NIST (DLMF §7). Оскільки нормальна крива симетрична, Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Наш онлайн-калькулятор виконує це інтегрування автоматично, тому вам більше не доведеться шукати значення в паперових Z-таблицях.
Деякі Z-оцінки постійно повторюються в статистичному аналізі.
Згідно з правилом 68-95-99.7, описаним в Encyclopaedia Britannica, приблизно 68% даних лежать у межах ±1, 95% — у межах ±2, і 99.7% — у межах ±3 стандартних відхилень від середнього. Запам'ятовування цих опорних точок значно прискорює інтерпретацію результатів.
Z-оцінки застосовуються далеко за межами навчальних аудиторій.
Щоразу, коли вам потрібно порівняти дані з різних шкал чи вибірок, їх стандартизація через Z-оцінки (як це ілюструє Khan Academy) робить таке порівняння коректним.
Наш портал також пропонує інші корисні інструменти для повсякденних обчислень. Якщо вам потрібен швидкий розрахунок віку, наш калькулятор віку допоможе миттєво дізнатися, скільки мені років або визначити вік за датою народження. Також у нас є калькулятор років, який дозволяє легко порахувати скільки років минуло між датами, дізнатися скільки років виповнилося вашому другу, визначити точний вік та скільки років людини по даті народження чи запустити зворотний відлік до важливої події. Окрім цього, для планування часу вам знадобляться калькулятор годин та точний підрахунок годин, а для навчання та роботи — наш практичний калькулятор дробів.
Щоб виконати зворотну процедуру та знайти Z-оцінку за процентилем, застосуйте обернену функцію нормального розподілу (пробіт-функцію), Φ⁻¹(p).
Введіть процентиль як частку від 0 до 1:
Значення нижче 50-го процентиля дають від'ємні Z-оцінки, що вказує на позицію нижче середнього.
Електронний довідник статистичних методів NIST/SEMATECH містить таблиці цих квантилів стандартного нормального розподілу, а зворотний режим цього калькулятора обчислює їх безпосередньо для будь-го введеного вами процентиля.
У Z-критерії (z-test) тестова статистика — це Z-оцінка, яка вимірює, наскільки вибіркове середнє відхиляється від гіпотетичного значення за нульовою гіпотезою.
Ви порівнюєте її з критичними значеннями:
Або ж ви можете перетворити Z-оцінку на p-значення за допомогою інтегральної функції стандартного нормального розподілу та відхилити нульову гіпотезу, якщо p є меншим за ваш поріг значущості α.
Britannica зазначає, що Z-критерій передбачає відоме стандартне відхилення генеральної сукупності та приблизно нормальний розподіл вибірки — умови, які часто виконуються завдяки Центральній граничній теоремі для великих вибірок.
Як застерігає Wolfram MathWorld, застосування ймовірностей нормальної кривої до сильно скошених даних призводить до хибних значень процентилів.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.