تتعامل حاسبة الجبر البوليني الخاصة بنا مع جميع عمليات المنطق الرقمي والجبر البوليني في مكان واحد. أدخل أي تعبير بوليني باستخدام العوامل القياسية — AND و OR و NOT و XOR و NAND و NOR و XNOR — واحصل على الفور على جدول الصدق، والحدود الصغرى، والحدود الكبرى، وصيغ SOP و POS القياسية، والتعبير المصغر باستخدام خوارزمية Quine-McCluskey. يبرز مُصوِّر خريطة كارنو الخلايا التي تمثل الحدود الصغرى، مما يسهل تحديد التجميعات والتبسيطات.
Operators: * or AND = AND | + or OR = OR | ' or ! = NOT | ^ or XOR = XOR | NAND, NOR, XNOR
Click to toggle minterms
Minimal SOP (Simplified)
—
Minterms Σm(…)
—
Maxterms ΠM(…)
—
Canonical SOP
—
Canonical POS
—
format_list_numbered Steps
Truth Table
Karnaugh Map
اكتب تعبيرك البوليني باستخدام * (AND)، و + (OR)، و ' أو ! (NOT)، و ^ (XOR). المتغيرات هي أحرف فردية من A إلى Z.
يتم إنشاء جدول الصدق تلقائياً لجميع تركيبات المتغيرات (حتى 4 متغيرات = 16 سطراً)
تحدد خريطة كارنوف الحدود الصغرى (1s) مما يسهل رصد التجميعات لتبسيطها
شاهد تعبير SOP الأدنى من خوارزمية Quine-McCluskey إلى جانب صيغ SOP/POS القياسية
الدالة البولينية محددة بالكامل بواسطة جدول الحقيقة الخاص بها. صيغة SOP القياسية: OR لجميع الحدود الصغرى (الصفوف حيث الخرج = 1). صيغة POS القياسية: AND لجميع الحدود الكبرى (الصفوف حيث الخرج = 0). تقوم خوارزمية Quine-McCluskey بتقليل SOP عن طريق تجميع الحدود الصغرى التي تختلف في متغير واحد.
F = Σm(minterms) = Πm(maxterms)
استخدم * أو · لـ AND، و + لـ OR، و ' أو ! لـ NOT، و ^ لـ XOR
قانون المتمم: A + A' = 1 و A · A' = 0 — استخدم هذا للتخلص من المتغيرات
قانون دي مورغان: (A·B)' = A'+B' و (A+B)' = A'·B'
قانون الامتصاص: A + A·B = A و A·(A+B) = A
قم بتجمعي الحدود الصغرى بقوى العدد 2 (1، 2، 4، 8) على خريطة كارنو للحصول على الحد الأدنى من صيغة SOP
بوابتا NAND و NOR هما بوابتان عالميتان — يمكن بناء أي دالة بولينية من بوابة NAND وحدها
الجبر البوليني هو الأساس الرياضي للإلكترونيات الرقمية وعلوم الكمبيوتر وتصميم الدوائر المنطقية. يعتمد كل معالج، وشريحة ذاكرة، وجهاز منطقي قابل للبرمجة على العمليات البولينية — AND، وOR، وNOT، وXOR، وNAND، وNOR — لمعالجة البيانات الثنائية. يحتاج المهندسون وطلاب علوم الكمبيوتر بانتظام إلى تبسيط التعبيرات البولينية لتقليل عدد البوابات، وتقليل تعقيد الدوائر، وتحسين استهلاك الطاقة. يمكن أن تحتوى الدالة المكونة من 4 متغيرات على ما يصل إلى 16 صفاً في جدول الحقيقة الخاص بها وعشرات التبسيطات المحتملة. يُعد التبسيط اليدوي باستخدام نظريات دي مورجان، والإجماع، وقوانين الامتصاص أمراً مُملاً وعرضة للأخطاء، خاصة في ظروف الامتحانات. تعمل حاسبة الجبر البوليني هذه على أتمتة سير العمل بالكامل: أدخل أي تعبير بما يصل إلى أربعة متغيرات، وستقوم فوراً بإنشاء جدول الحقيقة الكامل، وتحديد جميع الحدود الصغرى والكبرى، وتوليد صيغ مجموع النواتج (SOP) وناتج المجاميع (POS) القياسية، وتطبيق خوارزمية Quine-McCluskey للحصول على تعبيرات مبسطة مضمونة، وعرض خريطة كارنوف ملونة للتحقق البصري. وسواء كنت تقوم بتصميم منطق تواقيتي لـ FPGA، أو تتحقق من مسائل الواجب المنزلي، أو تستعد لامتحان المنطق الرقمي، فإن هذه الأداة تحل محل ساعات من العمل اليدوي بنتائج دقيقة خطوة بخطوة.
تقوم حاسبة الجبر البوليني بتقييم وتبسيط التعبيرات المنطقية باستخدام قواعد الجبر البوليني.
فهي تنشئ جداول حقيقة توضح كل مجموعة إدخال/إخراج، وتحدد الحدود الصغرى والكبرى، وتطبيق خوارزميات التقليل مثل Quine-McCluskey لإيجاد أبسط تعبير مكافئ.
تقبل هذه الحاسبة أنماط ترميز متعددة:
المتغيرات هي حروف فردية من A إلى D. الأقواس مدعومة للتجميع.
أمثلة: A*B+C' أو (A OR B) AND NOT C أو A NAND B.
لتبسيط التعبير البوليني، قم بتطبيق القوانين الجبرية التي تحكم المنطق الثنائي حتى يصبح أي اختزال إضافي مستحيلاً.
ابدأ بقوانين الهوية والمتمم (A + A' = 1, A · A' = 0)، ثم استخدم الامتصاص (A + A·B = A) والتوزيع لتحليل المتغيرات المشتركة. تحول نظريات دي مورجان المجموعات المتممة، بينما يزيل نظرية الإجماع الحدود الزائدة. للحصول على نتيجة منهجية، ادرج الحدود الصغرى واجمع تلك التي تختلف في بت واحد.
كما قدم جورج بول في عمله عام 1854، وفقاً للموسوعة البريطانية، تشكل هذه القوانين جبراً مغلقاً حيث يمكن اختزال كل تعبير إلى شكل أدنى (ليس فريداً دائماً). تعرض هذه الحاسبة كل قانون تم تطبيقه بالترتيب.
يسرد جدول الحقيقة كل تركيبة ممكنة لمتغيرات الإدخال والخرج الناتج، مما يعطي تعريفاً كاملاً للدالة البولينية.
بالنسبة لـ n من المتغيرات، يوجد 2^n من الصفوف، لذا ينتج عن متغيرين 4 صفوف بينما ينتج عن أربعة متغيرات 16 صفاً؛ وعلى العكس من ذلك، فإن عدد المتغيرات يساوي لوغاريتم الأساس 2 لعدد الصفوف، وهو ما يمكن لحاسبة اللوغاريتمات الخاصة بنا تقييمه للدوال الأكبر. قم بترتيب المدخلات بتسلسل العد الثنائي القياسي (00, 01, 10, 11) وقيم التعبير لكل صف.
وفقاً لمعيار IEEE للعمليات المنطقية، فإن عمود الخرج يميز الدالة تماماً بغض النظر عن طريقة كتابة التعبير. تقوم هذه الأداة تلقائياً بإنشاء جدول الحقيقة، ثم استخلاص الحدود الصغرى (الصفوف المساوية لـ 1) والحدود الكبرى (الصفوف المساوية لـ 0) مباشرة منه.
مجموع الحدود (SOP) يعبر عن الدالة البنتية كعملية أو (OR) لحدود و (AND)، مع minterm واحد لكل صف يكون فيه الناتج مساوياً لـ 1. مجموع الضرب (POS) هو المقابل: عملية و (OR) لحدود أو (AND)، مع maxterm واحد لكل صف يكون فيه الناتج مساوياً لـ 0.
كلاهما صيغتان أساسيتان تصفان نفس الدالة، ويمكن تقليص أي منهما. تشير كتب التصميم الرقمي مثل تلك التي تشير إليها All About Circuits إلى أن SOP يتطابق بشكل طبيعي مع شبكات بوابات AND-OR ثنائية المستويات، بينما يتطابق POS مع شبكات OR-AND.
اختر أيهما يعطي بوابات أقل لدائرتك. تُخرج الحاسبة كلا الصيغتين الأساسيتين بالإضافة إلى صيغة SOP المبسطة للمقارنة.
خريطة كارنوف هي شبكة ترتب نتائج جدول الحقيقة بحيث تختلف الخلايا المتجاورة مادياً في متغير واحد بالضبط، باستخدام ترتيب كود جراي (00، 01، 11، 10).
يتيح لك هذا التجاوز تجميع 1 بصرياً في كتل مستطيلة من قوى العدد اثنين (1، 2، 4، 8) لإزالة المتغيرات وقراءة SOP أدنى.
سُميت نسبة إلى موريس كارنوف الذي نشر التقنية في عام 1953، وتُعد خرائط كارنوف عملية لعدد يصل إلى أربعة أو خمسة متغيرات قبل أن يصبح التجاوز صعبة التتبع. تعرض هذه الحاسبة خريطة ملونة تسلط الضوء على كل minterm حتى تتمكن من تأكيد النتيجة الخوارزمية بالعين.
طريقة كوين-ماكلاسكي هي إجراء جدولي يضمن الحد الأدنى من مجموع الحدود، مما يجعلها أكثر موثوقية من خرائط كارنوف للدوال ذات المتغيرات الكثيرة.
تُدرج كل minterm ثنائياً، وتجمعهم حسب عدد بتات 1، ثم تجمع مراراً وتكراراً الحدود التي تختلف في بت واحد، مع تمييز الموضع المحذوف بشرطة. الحدود التي لا يمكن دمجها أكثر هي المعرفات الأولية. يحدد مخطط المعرفات الأولية بعد ذلك أصغر مجموعة من المعرفات الأولية الأساسية التي تغطي جميع minterms.
لأنها خوارزمية، فهي تتوسع حيث تفشل الطرق البصرية، ولهذا فهي تدعم العديد من أدوات التوليف المنطقي الآلي المستخدمة في تدفقات EDA الحديثة.
نظريات دي مورجان تنص على أن (A·B)' = A' + B' و (A+B)' = A'·B' — تكميم مجموعة يقلب العامل ويعكس كل متغير. هذه القواعد هي أساس تحويل أي دائرة إلى صيغة NAND فقط أو NOR فقط.
تُسمى NAND و NOR البوابات الشاملة لأنه يمكن بناء أي دالة بنتية بالكامل من أي منهما، وهي خاصية تُستخدم على نطاق واسع في تصنيع الرقاقات لتقليل عدد أنواع الترانزستور. وكما تشير مراجع المنطق الرقمي القياسية، فإن هذا الشمول يسهل التصنيع والاختبار.
تطبق الحاسبة قوانين دي مورجان تلقائياً عند إدخال عوامل NAND أو NOR أو XNOR، مع إظهار التوسعة المكافئة لـ AND/OR/NOT.
يُستخدم الجبر البنتي أبعد بكثير من الكتب المدرسية. يطبقه مهندسو الأجهزة لتقليل عدد البوابات في المنطق التوافقي لوحدات المعالجة المركزية (CPUs) و FPGAs و ASICs، مما يقلل بشكل مباشر من سحب الطاقة ومساحة الرقاقة.
يستخدم مطورو البرمجيات نفس القواعد تبسيط الجمل الشرطية، وتحسين منطق فروع المترجم، وكتابة شروط if أوضح. يترجم مهندسو قواعد البيانات مرشحات الاستعلام إلى محددات بنتية، وتقيم محركات البحث عوامل AND/OR/NOT بنفس الطريقة.
وفقاً لمناهج علوم الكمبيوتر التي لخصتها أكاديمية خان، فإن المنطق البنتي أساسي لكيفية معالجة جميع المعلومات الرقمية. تدعم هذه الحاسبة ما يصل إلى أربعة متغيرات، وتغطي الغالبية العظمى من مشاكل امتحان المنطق التوافقي ومهام التبسيط اليومية.
يبسط التعبيرات البنتية يدعو إلى العديد من الأخطاء الشائعة:
تحقق دائماً من النتيجة المبسطة مقابل جدول الحقيقة الأصلي، وهو ما تفعله هذه الحاسبة تلقائياً لالتقاط هذه الأخطاء.
عندما يمزج التعبير بين العوامل بدون أقواس كاملة، يقوم الجبر البنتي بتقييم NOT أولاً، ثم AND، ثم OR، مما يعكس كيف تسبق الضرب الجمع في الحساب العادي.
إذن A + B·C يعني A OR (B AND C)، و A·B' يعني A AND (NOT B)، وليس (A AND B)'. عادةً ما يُعامل XOR بنفس مستوى AND أو أدنى، لذا يوصى باستخدام الأقواس كلما تم دمج XOR مع عوامل أخرى لتجنب الغموض.
تتبع هذه الأسبقية الاتفاقيات المستخدمة عبر مراجع المنطق الرقمي وتدوين IEEE. للبقاء بأمان، ضع أي تعبير فرعي تهتم بتجميعه في أقواس؛ تحترم الحاسبة الأقواس الصريحة على الأسبقية الافتراضية في كل مرة.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.