تغطي حاسبة الاحتمالات لدينا كل أنواع مسائل الاحتمالات التي قد تواجهها في الإحصاء، أو حصص الرياضيات (حيث تُستخدم الحاسبة العلمية عادةً)، أو في الحياة اليومية. احسب الاحتمال الأساسي من النتائج المواتية، واعثر على الاحتمال الشرطي باستخدام صيغة P(A|B)، واحسب الاحتمال ثنائي الحدين للتجارب المتكررة، وحدد احتمالات رمي النرد، واحسب احتمالات سحب أوراق اللعب. يأتي كل حساب مع شرح واضح خطوة بخطوة حتى تتمكن من تعلم الطريقة، وليس فقط الحصول على الإجابة. وإذا كنت بحاجة إلى تنظيم وقت دراستك، يمكنك استخدام حاسبة الوقت المتاحة لدينا، تماماً مثل برنامج حساب الوقت الذي يساعدك في حساب الوقت بالدقائق أو عمل عد تنازلي لمهامك.
اختر من بين الاحتمال الأساسي، الأحداث المتعددة، الشرطي، ثنائي الحدين، النرد، أو أوراق اللعب. (إذا كنت تبحث عن أدوات أخرى مثل حساب ساعات العمل أو حساب الساعات لتنظيم يومك، فنحن نوفرها أيضاً).
أدخل الأرقام المطلوبة لنوع الحساب الذي اخترته
شاهد الاحتمال على شكل كسر، وعدد عشري، ونسبة مئوية
اتبع الشرح خطوة بخطوة لفهم طريقة الحل
الاحتمال الأساسي هو نسبة النتائج المواتية إلى إجمالي النتائج. بالنسبة للأحداث المستقلة المتعددة: P(A and B) = P(A) × P(B). لأي حدثين: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B). الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A and B) / P(B). الحدث المكمل: P(A') = 1 - P(A).
P(A) = Favorable Outcomes / Total Outcomes
يكون الاحتمال دائماً بين 0 (مستحيل) و1 (مؤكد) — أو من 0% إلى 100%
للأحداث المستقلة: P(A AND B) = P(A) × P(B)
للأحداث المتنافية: P(A OR B) = P(A) + P(B)
لأي حدثين: P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B)
قاعدة المكمل: P(NOT A) = 1 − P(A) — من الأسهل دائماً حساب احتمال عدم حدوث ما لا تريده
الاحتمال ثنائي الحدين: يُسخدم عندما يكون لديك n من التجارب المستقلة، ولكل منها احتمال p
الاحتمالات هي اللغة الرياضية لعدم اليقين، حيث تقيس مدى ترجيح وقوع الأحداث على مقياس من 0 (مستحيل) إلى 1 (مؤكد). وهي تشكل الأساس لمجالات متنوعة مثل تسعير التأمين، والتأخيص الطبي، والتنبؤ بالطقس، ومراقبة الجودة، والمقامرة، والذكاء الاصطناعي. يُحسب الاحتمال البسيط بقسمة عدد النتائج المواتية على إجمالي النتائج الممكنة؛ فنرد ستّي السطوح العادل لديه احتمال 1/6 (16.67%) للاستقرار على أي رقم محدد. يضيق الاحتمال الشرطي فضاء العينة: فاحتمال سحب ملك بشرط أنك سحبت بطاقة وجه هو 4/12 أو 33.3%، وليس 4/52. يُمذَج التوزيع ذو الحدين التجارب المستقلة المتكررة — مثل احتمال الحصول على 7 أوجه بالضبط في 10 رميات لعملة نقدية (حوالي 11.7%). تشكل مبرهنة بايز، التي تجمع بين الاحتمال المسبق والأدلة الجديدة، أساس الاستدلال الإحصائي الحديث وتصنيف التعلم الآلي. كما أن فهم الاحتمالات يمنع أخطاء التفكير الشائعة: مغالطة المقامر (الاعتقاد بأن العملة النقدية "حين دورها" لتسقط على الوجه بعد عدة مرات من الظهر)، وإهمال المعدل الأساسي (تجاهل مدى ندرة الحالة عند تفسير نتائج الاختبارات)، ومفارقة عيد الميلاد (في مجموعة من 23 شخصاً فقط، هناك احتمال 50.7% أن يتشارك اثنان في نفس عيد الميلاد). سواء كنت تقيم المخاطر، أو تتخذ قرارات تجارية في ظل عدم اليقين، أو تحل واجبات الإحصاء المنزلية، فإن الاحتمالات توفر الإطار الدقيق لذلك.
يقيس الاحتمال مدى ترجيح حدوث حدث ما، ويتراوح من 0 (مستحيل) إلى 1 (مؤكد).
وبالمصطلحات اليومية، يعني الاحتمال 0.5 فرصة متساوية (50-50).
تتعامل حاسبتنا مع جميع أنواع الاحتمالات القياسية المستخدمة في الإحصاء والرياضيات وتحليل الألعاب والعلوم.
لحساب احتمال حدث واحد، اقسم عدد النتائج المواتية على إجمالي عدد النتائج المتساوية الاحتمال: P(A) = favorable / total.
على سبيل المثال، سحب بطاقة حمراء من مجموعة بطاقات قياسية مكونة من 52 بطاقة يعطي P = 26/52 = 1/2 = 50%. يفترض هذا التعريف الكلاسيكي أن كل نتيجة متساوية الاحتمال، وهي فكرة صاغها بيير سيمون لابلاس ووصفها موسوعة بريتانيكا بأنها أساس نظرية الاحتمالات.
تكون النتيجة دائماً بين 0 و1، أو 0% و100%. عندما لا تكون النتائج متساوية الاحتمال، يتم تقدير الاحتمال بدلاً من ذلك من التكرارات النسبية طويلة الأجل الملاحظة عبر العديد من التجارب المتكررة.
تغطي ثلاث قواعد معظم مسائل الاحتمالات.
كما يذكر Wolfram MathWorld، عندما تكون الأحداث متنافية يكون التقاطع صفراً، فتتبسط الصيغة إلى P(A) + P(B). تجتمع هذه القواعد لحل السيناريوهات المركبة مثل السحب متعدد المراحل أو التجارب المتكررة.
الاحتمال الشرطي، ويكتب P(A|B)، هو احتمال حدوث A بشرط وقوع B بالفعل: P(A|B) = P(A and B) / P(B).
تعكس مبرهنة بايز هذه العلاقة، معبرة عنها بـ P(A|B) = [P(B|A) x P(A)] / P(B). وهي تتيح لك تحديث الاعتقاد المسبق بأدلة جديدة، وتبرز أكاديمية خان هذه المبرهنة كالمحرك الأساسي وراء تفسير الفحوصات الطبية وتصفية البريد العشوائي.
إحدى النتائج الكلاسيكية هي إهمال المعدل الأساسي: فحتى الاختبار الذي تبلغ دقته 99% لمرض نادر يصيب شخصاً واحداً من كل 1,000 شخص يعطي في الغالب نتائج إيجابية كاذبة، لأن الاحتمال المسبق الصغير هو الذي يهيمن. يصحح التفكير البايزي ذلك عن طريق ترجيح الأدلة مقابل مدى شيوع الحالة بالفعل.
تعطي صيغة ذي الحدين احتمال نجاح k بالضبط في n من التجارب المستقلة، مع احتمال نجاح p لكل منها: P(X=k) = C(n,k) x p^k x (1-p)^(n-k)، حيث C(n,k) هي عدد التوافيق.
على سبيل المثال، فإن فرصة الحصول على 3 أوجه بالضبط في 5 رميات لعملة نقدية عادلة هي C(5,3) x 0.5^3 x 0.5^2 = 10 x 0.125 x 0.25 = 0.3125، أو 31.25%. يوثق الكتيب الإلكتروني NIST/SEMATECH للطرق الإحصائية متوسط التوزيع ذي الحدين، np، والتباين، np(1-p).
ينطبق نموذج ذي الحدين كلما:
بالنسبة لنرد عادل واحد، فإن لكل وجه احتمالاً قدره 1/6. مع وجود حجرَي نرد، هناك 36 نتيجة مرتبة متساوية الاحتمال، لذا فإن المجموع الأكثر شيوعاً، 7، يحدث بـ 6 طرق (1+6، 2+5، 3+4، 4+3، 5+2، 6+1)، مما يعطي P(sum=7) = 6/36 = 1/6.
تحتوي مجموعة البطاقات القياسية (52 بطاقة) على 4 مجموعات و13 رتبة: P(any Ace) = 4/52 = 1/13، وP(a Heart) = 13/52 = 1/4.
تستخدم عمليات السحب متعددة الخطوات قاعدة الضرب؛ على سبيل المثال، سحب بطاقتي آص دون إرجاع هو 4/52 x 3/51 = 12/2652، أي حوالي 0.45%. ترجع بريتانيكا طرق العد هذه إلى المراسلات بين فيرما وباسكال حول ألعاب المصادفة.
يكون الحدثان مستقلين عندما لا يغير حدوث أحدهما من احتمال حدوث الآخر؛ ورسمياً P(A|B) = P(A). تُعد رمي العملة النقدية مرتين حدثين مستقلين لأن الرمية الأولى ليس لها أي تأثير على الرمية الثانية.
تكون الأحداث غير مستقلة (معتمدة) عندما تُغير نتيجة أحدها فضاء العينة للحدث التالي، وهو بالضبط ما يحدث عند أخذ العينات دون إرجاع. يؤكد Wolfram MathWorld أنه يجب التحقق من الاستقلالية، لا افتراضها.
من الأخطاء الدراسية الشائعة ضرب الاحتمالات كما لو كانت الأحداث مستقلة بينما هي في الواقع مرتبطة، مثل سحب البطاقات دون إعادتها، مما يضخم أو يقلل من الفرصة الحقيقية للنتيجة المركبة.
تحدد الاحتمالات القرارات عبر العديد من المجالات.
في مجال التمويل، تشكل الاحتمالات أساس نماذج المخاطر وتسعير الخيارات، بينما يستخدم مهندسو مراقبة الجودة نماذج ذي الحدين وبواسون لتحديد نسب العيوب المسموح بها. تصدر مصنفات التعلم الآلي، كما تغطيها أكاديمية خان ودورات الإحصاء الحديثة، احتمالات لكل فئة.
حتى الخيارات اليومية، من حمل المظلة إلى شراء الضمان، هي حسابات احتمالية ضمنية توازن بين الاحتمالية والتكلفة.
تنبع معظم الأخطاء الشائعة من التقييم الخاطئ للاستقلالية والاحتمالات المسبقة.
تظهر مسألة عيد الميلاد غير المتوقعة، والتي يمنح فيها 23 شخصاً فقط احتمالاً بنسبة 50.7% لتشارك عيد الميلاد، كيف أن الحدس غالباً ما يقلل من شأن الاحتمالات المركبة.
القيمة المتوقعة هي متوسط نتيجة عملية عشوائية على المدى الطويل، وتُحسب بضرب كل نتيجة في احتمالها وجمع النتائج: E(X) = Sum of x_i x P(x_i).
بالنسبة لنرد عادل واحد، فإن القيمة المتوقعة هي (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5، على الرغم من أنه لا يمكن الحصول على 3.5 عند الرمي. يعرفها Wolfram MathWorld بأنها العزم الأول للتوزيع، وهي مركزية لاتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين.
اللعبة أو الرهان ذو القيمة المتوقعة السالبة يخسر المال في المتوسط بمرور الوقت، ولهذا السبب تم تصميم ألعاب الكازينو مع ميزة لصالح الصالة. تربط القيمة المتوقعة الاحتمالات الخام بالقرارات العملية القابلة للقياس.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.