Naše kalkulačka integrálů zvládá neurčité integrály (primitivní funkce) i určité integrály (výpočet plochy pod křivkou). Zadejte výraz s proměnnou x a okamžitě získejte primitivní funkci se všemi vysvětlenými kroky. U určitých integrálů zadejte dolní a horní mez pro výpočet přesného numerického výsledku. Podporuje polynomy, goniometrické funkce (sin, cos, tan, sec, csc, cot), exponenciální funkce (e^x), logaritmy (ln x), odmocniny a běžné složené funkce. Pokud symbolická integrace není možná, kalkulačka automaticky použije vysoce přesnou numerickou integraci pomocí Simpsonova pravidla.
Use ^ for powers, * for multiply, sin/cos/exp/ln/sqrt for functions
Quick Examples
Zadejte funkci s proměnnou x. Použijte ^ pro mocniny, * pro násobení a standardní názvy funkcí jako sin, cos, exp, ln, sqrt.
Vyberte Neurčitý pro obecnou primitivní funkci (s +C), nebo Určitý pro výpočet plochy pod křivkou mezi dvěma mezemi.
Pro určité integrály zadejte dolní mez a a horní mez b. Výsledkem bude celková orientovaná plocha F(b) - F(a).
Podívejte se, jaká pravidla integrace byla použita (pravidlo pro mocniny, substituce, per partes), s jasným vysvětlením každého kroku.
Integrace je opačný postup ke derivování. Neurčitý integrál ∫f(x)dx dává množinu funkcí F(x)+C. Určitý integrál ∫[a,b]f(x)dx udává celkovou orientovanou plochu pod křivkou od x=a do x=b, vypočítanou pomocí základní věty diferenciálního a integračního počtu: F(b) - F(a).
∫f(x)dx = F(x) + C | ∫[a to b]f(x)dx = F(b) - F(a)
Pro mocniny použijte ^: x^3 znamená x³. Pro násobení použijte *: 2*x nebo jen 2x
Pravidlo pro mocniny: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (pro n ≠ -1). Speciální případ: ∫x⁻¹dx = ln|x| + C
Goniometrické integrály: ∫sin(x)dx = -cos(x)+C, ∫cos(x)dx = sin(x)+C, ∫sec²(x)dx = tan(x)+C
Exponenciální funkce: ∫eˣdx = eˣ+C, ∫aˣdx = aˣ/ln(a)+C
Logaritmus: ∫ln(x)dx = x·ln(x) - x + C (použijte integraci per partes)
Pro ∫f(ax+b)dx použijte substituci u=ax+b: výsledek je F(ax+b)/a + C
Integrace je vedle derivování jednou ze dvou základních operací v matematické analýze. Zatímco derivace měří okamžitou rychlost změny, integrály veličiny akumulují — provádějí výpočet plochy pod křivkou, určují objemy těles, celkovou dráhu z rychlosti a akumulované množství z rychlostí průběhu. Neurčitý integrál (primitivní funkce) je opačným krokem k derivování: integrál z 2x je x² + C, kde C je integrační konstanta. Určitý integrál vyjadřuje orientovanou plochu mezi funkcí a osou x na daném intervalu. Základní věta integrálního počtu spojuje oba pojmy a říká, že určitý integrál od a do b je roven F(b) mínus F(a), kde F je libovolná primitivní funkce k integrované funkci. Integrační techniky sahají od jednoduchého použití pravidla pro mocniny až po pokročilé metody, jako je substituce, integrace per partes, rozklad na parciální zlomky a goniometrické vzorce. Některé funkce — například e^(-x²), klíčová pro normální rozdělení ve statistice — nemají vůbec vyjádření primitivní funkce v elementárním tvaru, což vyžaduje numerické metody, jako je Simpsonovo pravidlo nebo Gaussova kvadratura. Ať už jste student procházející kurzem matematiky, inženýr počítající práci či tok, nebo fyzik vyhodnocující pravděpodobnostní amplitudy, důkladné porozumění integraci je nezbytné.
Tato kalkulačka integrálů počítá primitivní funkci (neurčitý integrál) nebo určitý integrál matematické funkce.
Pro neurčité integrály nalézá F(x)+C, kde F'(x)=f(x). Pro určité integrály vyhodnocuje celkovou orientovanou plochu pod křivkou f(x) mezi dvěma mezemi pomocí Základní věty integrálního počtu.
Tato kalkulačka podporuje:
Pro násobení používejte symbol *, pro umocňování ^ a pro seskupování standardní závorky.
Integrovat funkci znamená najít novou funkci, jejíž derivace se rovná té původní — jde tedy o opačný postup k derivování.
Výsledek, nazývaný primitivní funkce nebo neurčitý integrál, se zapisuje jako F(x) + C, kde derivace F'(x) odpovídá integrované funkci f(x) a C je libovolná konstanta. Geometricky vyjadřuje určitý integrál čistý obsah plochy mezi křivkou a osou x na daném intervalu.
Podle Wolfram MathWorld je integrál matematický objekt, který může reprezentovat obsah plochy, akumulovanou změnu nebo zobecněný součet. Tento dvojí význam — primitivní funkce a výpočet plochy — je důvodem, proč je integrovaní základem kalkulu i aplikované matematiky.
Chcete-li spočítat integrál, určete strukturu funkce a přiřaďte k ní známé pravidlo.
Nejprve zkuste pravidlo pro mocniny: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C pro n ≠ −1. U součtů integrujte každý člen zvlášť; u násobků konstantou vytkněte konstantu před integrál. Pokud je integrovaná funkce složená a násobená derivací vnitřní složky, použijte substituční metodu; pokud jde o součin, zkuste metodu per partes (integraci po částech).
Pro určitý integrál najděte primitivní funkci F(x) a poté spočítejte F(b) − F(a). Například ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3. Khan Academy vás provede každou z těchto technik pomocí praktických příkladů.
Základní integrační vzorce jsou:
Mezi standardní goniometrické vzorce patří ∫sin(x) dx = −cos(x) + C a ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
Tyto vzorce rozšiřují dvě strukturální metody: substituční metoda je opačným postupem ke řetízkovému pravidlu a integrace per partes, ∫u dv = uv − ∫v du, je opačným postupem k pravidlu pro derivaci součinu. Digitální knihovna matematických funkcí NIST (DLMF) katalogizuje tyto základní výsledky spolu s integrály speciálních funkcí, takže slouží jako spolehlivá reference pro ověření jakéhokoli vzorce.
Neurčitý integrál dává jako výsledek funkci: ∫f(x) dx = F(x) + C, což je celá množina primitivních funkcí lišících se o konstantu C.
Určitý integrál dává jedno konkrétní číslo: ∫[a,b] f(x) dx odpovídá čisté orientované ploše mezi křivkou a osou x od x = a do x = b. Základní věta kalkulu je propojuje a říká, že určitý integrál se rovná F(b) − F(a) pro jakoukoli primitivní funkci F.
Například ∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Encyclopaedia Britannica popisuje tuto větu jako ústřední výsledek sjednocující obě větve kalkulu.
Substituční metoda zjednodušuje integrál v případě, kdy integrovaná funkce obsahuje složenou funkci násobenou derivací její vnitřní složky.
Položte u rovno vnitřnímu výrazu, spočítejte du = u'(x) dx a přepište integrál zcela pomocí u. Například v ∫2x·cos(x²) dx zvolte u = x², takže du = 2x dx; integrál se změní na ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
U určitých integrálů buď převeďte integrační meze na hodnoty u, nebo před vyhodnocením dossaďte zpět původní proměnnou. Khan Academy uvádí, že rozpoznání vzoru „vnitřní funkce a její derivace“ je klíčovou dovedností pro jisté použití substituce.
Integrace akumuluje veličiny, díky čemuž je nezbytná napříč vědou a technikou:
Wolfram MathWorld zdůrazňuje, že integrály se používají také pro výpočet plochy, délky oblouku a objemu rotačních těles. Tato kalkulačka podporuje tyto aplikace tím, že vrací jak symbolické primitivní funkce, tak přesné numerické hodnoty.
Některé funkce, jako například e^(−x²) a sin(x)/x, nemají vyjádření primitivní funkce v uzavřeném tvaru pomocí elementárních funkcí.
V těchto případech numerická integrace aproximuje určitý integrál vzorkováním funkce. Simpsonovo pravidlo prokládá paraboly přes dvojice podintervalů: ∫[a,b] f(x) dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + f(xₙ)], kde h = (b − a)/n a n je sudé číslo.
Její chyba klesá jako O(h⁴), což je výrazně lepší než O(h²) u lichoběžníkového pravidla. Dokumentace NIST DLMF tyto kvadraturní metody popisuje včetně Gaussovy kvadratury, která dosahuje vysoké přesnosti s malým počtem vzorkovacích bodů.
Uvažujme ∫₁^e (1/x) dx. Protože integrovaná funkce je 1/x, primitivní funkcí je ln|x|, nikoli výsledek mocninného pravidla.
Použijte základní větu kalkulu: ∫₁^e (1/x) dx = [ln|x|]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. Přesná hodnota je tedy 1.
Jako druhý příklad: ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1,71828. Tyto postupné kroky odpovídají tomu, co zobrazuje kalkulačka: určete primitivní funkci, dosaďte horní a dolní mez a odečtěte. Ověřování výsledků pomocí tabulek integrálů na Wolfram MathWorld je dobrým zvykem pro potvrzení vzorce i výpočtu.
Britannica zdůrazňuje kontrolu každé primitivní funkce tím, že ji zderivujete zpět na původní integrovanou funkci.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.