Υπολογιστής Πιθανοτήτων

Η πιθανότητα ποσοτικοποιεί πόσο πιθανό είναι να συμβεί ένα γεγονός. Κυμαίνεται από 0 (αδύνατο) έως 1 (βέβαιο).

Σε καθημερινούς όρους, μια πιθανότητα 0,5 σημαίνει 50-50 πιθανότητες.

Ο υπολογιστής μας χειρίζεται όλους τους τυπικούς τύπους πιθανοτήτων που χρησιμοποιούνται στη στατιστική, τα μαθηματικά, την ανάλυση τυχερών παιχνιδιών και την επιστήμη. Αν χρειάζεστε άλλα πρακτικά εργαλεία, μπορείτε να δοκιμάσετε τον υπολογιστή ηλικίας για να μάθετε ακριβώς το «πόσο χρονών είμαι», ή να κάνετε υπολογισμό ημερών για τις ανάγκες σας.

• Η βασική πιθανότητα διαιρεί τα ευνοϊκά αποτελέσματα με τα συνολικά αποτελέσματα.
• Για πολλαπλά ανεξάρτητα γεγονότα, πολλαπλασιάστε τις πιθανότητες (ΚΑΙ) ή χρησιμοποιήστε τον τύπο της ένωσης (Ή).
• Η δεσμευμένη πιθανότητα ρωτά «τι γίνεται αν γνωρίζουμε ήδη ότι συνέβη το Β;»
• Η διωνυμική πιθανότητα διαχειρίζεται επαναλαμβανόμενες ανεξάρτητες δοκιμές, όπως η ρίψη ενός νομίσματος n φορές.

Για να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός μεμονωμένου γεγονότος, διαιρέστε τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων με τον συνολικό αριθμό των εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων: P(A) = ευνοϊκά / συνολικά.

Για παράδειγμα, το τράβηγμα ενός κόκκινου φύλλου από μια τυπική τράπουλα 52 φύλλων δίνει P = 26/52 = 1/2 = 50%. Αυτός ο κλασικός ορισμός προϋποθέτει ότι κάθε αποτέλεσμα είναι εξίσου πιθανό, μια ιδέα που διατυπώθηκε επίσημα από τον Pierre-Simon Laplace και περιγράφεται από την Encyclopaedia Britannica ως το θεμέλιο της θεωρίας των πιθανοτήτων.

Το αποτέλεσμα βρίσκεται πάντα μεταξύ 0 και 1, ή 0% και 100%. Όταν τα αποτελέσματα δεν είναι εξίσου πιθανά, η πιθανότητα εκτιμάται αντίθετα από τις μακροπρόθεσμες σχετικές συχνότητες που παρατηρούνται σε πολλές επαναλαμβανόμενες δοκιμές.

Τρεις κανόνες καλύπτουν τα περισσότερα προβλήματα πιθανοτήτων.

• Ο κανόνας του συμπληρώματος ορίζει ότι P(όχι A) = 1 - P(A).
• Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα γεγονότα δίνει P(A και B) = P(A) x P(B), ενώ για εξαρτημένα γεγονότα χρησιμοποιεί τη δεσμευμένη πιθανότητα, P(A και B) = P(A) x P(B|A).
• Ο γενικός κανόνας της πρόσθεσης είναι P(A ή B) = P(A) + P(B) - P(A και B), ο οποίος αφαιρεί την επικάλυψη που μετρήθηκε δύο φορές.

Όπως σημειώνει το Wolfram MathWorld, όταν τα γεγονότα είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα, η τομή είναι μηδέν, οπότε ο τύπος απλοποιείται σε P(A) + P(B). Αυτοί οι κανόνες συνδυάζονται για την επίλυση σύνθετων σεναρίων, όπως οι κληρώσεις πολλαπλών σταδίων ή οι επαναλαμβανόμενες δοκιμές. Αυτές οι μαθηματικές πράξεις μοιάζουν με άλλους υπολογισμούς ακριβείας, όπως η αφαίρεση ημερομηνίας για να βρεθεί η διαφορά ημερομηνιών.

Η δεσμευμένη πιθανότητα, η οποία γράφεται ως P(A|B), είναι η πιθανότητα να συμβεί το Α δεδομένου ότι το Β έχει ήδη συμβεί: P(A|B) = P(A και B) / P(B).

Το θεώρημα του Bayes αντιστρέφει αυτή τη σχέση, εκφράζοντας το P(A|B) = [P(B|A) x P(A)] / P(B). Σας επιτρέπει να ενημερώσετε μια εκ των προτέρων πεποίθηση με νέα στοιχεία, και το Khan Academy το επισημαίνει ως την κινητήρια δύναμη πίσω από την ερμηνεία των ιατρικών εξετάσεων και το φιλτράρισμα των ανεπιθύμητων μηνυμάτων.

Ένα κλασικό αποτέλεσμα είναι η παράβλεψη του βασικού ποσοστού: ακόμη και ένα τεστ με ακρίβεια 99% για μια σπάνια ασθένεια που επηρεάζει 1 στους 1.000 ανθρώπους παράγει κυρίως ψευδώς θετικά αποτελέσματα, επειδή κυριαρχεί η μικρή εκ των προτέρων πιθανότητα. Ο μπεϋζιανός συλλογισμός το διορθώνει αυτό σταθμίζοντας τα στοιχεία σε σχέση με το πόσο συχνή είναι πραγματικά η πάθηση.

Ο διωνυμικός τύπος δίνει την πιθανότητα ακριβώς k επιτυχιών σε n ανεξάρτητες δοκιμές, καθεμία με πιθανότητα επιτυχίας p: P(X=k) = C(n,k) x p^k x (1-p)^(n-k), όπου C(n,k) είναι ο αριθμός των συνδυασμών.

Για παράδειγμα, η πιθανότητα για ακριβώς 3 κορώνες σε 5 ρίψεις ενός δίκαιου νομίσματος είναι C(5,3) x 0,5^3 x 0,5^2 = 10 x 0,125 x 0,25 = 0,3125, δηλαδή 31,25%. Το NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods τεκμηριώνει τη μέση τιμή, np, και τη διακύμανση, np(1-p), της διωνυμικής κατανομής.

Το διωνυμικό μοντέλο εφαρμόζεται κάθε φορά που:

• οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες,
• ο αριθμός των δοκιμών είναι σταθερός,
• και κάθε δοκιμή έχει μόνο δύο αποτελέσματα, επιτυχία ή αποτυχία.

Αυτή η σταθερή δομή θυμίζει τον τρόπο που γίνεται ο υπολογισμός χρόνου ή ο υπολογισμός ωρών εργασίας, όπου κάθε μονάδα μετράται με ακρίβεια.

Για ένα μεμονωμένο δίκαιο ζάρι, κάθε πλευρά έχει πιθανότητα 1/6. Με δύο ζάρια υπάρχουν 36 εξίσου πιθανά διατεταγμένα αποτελέσματα, οπότε το πιο συνηθισμένο άθροισμα, το 7, προκύπτει με 6 τρόπους (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), δίνοντας P(άθροισμα=7) = 6/36 = 1/6.

Μια τυπική τράπουλα 52 φύλλων έχει 4 χρώματα και 13 αξίες: P(οποιοσδήποτε Άσος) = 4/52 = 1/13, και P(Κούπα) = 13/52 = 1/4.

Το τράβηγμα φύλλων σε πολλαπλά στάδια χρησιμοποιεί τον κανόνα του πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, η πιθανότητα να τραβήξετε δύο Άσους χωρίς επανατοποθέτηση είναι 4/52 x 3/51 = 12/2652, δηλαδή περίπου 0,45%. Η Britannica αναζητά τις ρίζες αυτών των μεθόδων καταμέτρησης στην αλληλογραφία μεταξύ του Fermat και του Pascal σχετικά με τα τυχερά παιχνίδια.

Δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα όταν η εμφάνιση του ενός δεν αλλάζει την πιθανότητα του άλλου. Τυπικά, P(A|B) = P(A). Η ρίψη ενός νομίσματος δύο φορές είναι ανεξάρτητο γεγονός, επειδή η πρώτη ρίψη δεν «θυμάται» τη δεύτερη.

Τα γεγονότα είναι εξαρτημένα όταν το αποτέλεσμα του ενός μεταβάλλει τον δειγματικό χώρο για το επόμενο, κάτι που συμβαίνει ακριβώς στη δειγματοληψία χωρίς επανατοποθέτηση. Το Wolfram MathWorld τονίζει ότι η ανεξαρτησία πρέπει να επαληθεύεται και όχι να θεωρείται δεδομένη.

Ένα συχνό λάθος στην τάξη είναι ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων σαν τα γεγονότα να ήταν ανεξάρτητα ενώ στην πραγματικότητα συνδέονται μεταξύ τους, όπως το τράβηγμα φύλλων χωρίς επιστροφή, γεγονός που διογκώνει ή συρρικνώνει την πραγματική πιθανότητα ενός σύνθετου αποτελέσματος. Σε αντίθεση με τη μέτρηση ημερών για τον υπολογισμό ηλικίας, όπου ο χρόνος κυλά πάντα σταθερά και ανεξάρτητα, στις πιθανότητες η εξάρτηση των γεγονότων αλλάζει δραστικά τα αποτελέσματα.

Η πιθανότητα καθοδηγεί τις αποφάσεις σε πολλούς τομείς.

• Οι ασφαλιστικές εταιρείες τιμολογούν τα συμβόλαια χρησιμοποιώντας την αναμενόμενη συχνότητα και σοβαρότητα των απαιτήσεων.
• Οι ιατρικοί ερευνητές αναφέρουν τα αποτελέσματα των θεραπειών και την ακρίβεια των διαγνώσεων ως δεσμευμένες πιθανότητες.
• Οι μετεωρολόγοι εκφράζουν μια πιθανότητα βροχής 30% ως το ποσοστό των παρόμοιων παρελθουσών συνθηκών που παρήγαγαν βροχή.

Στα χρηματοοικονομικά, η πιθανότητα στηρίζει τα μοντέλα κινδύνου και την τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης, ενώ οι μηχανικοί ποιοτικού ελέγχου χρησιμοποιούν διωνυμικά μοντέλα και μοντέλα Poisson για να καθορίσουν τα όρια ανοχής ελαττωμάτων. Οι ταξινομητές μηχανικής μάθησης, όπως καλύπτονται από το Khan Academy και τα σύγχρονα μαθήματα στατιστικής, παράγουν πιθανότητες για κάθε ετικέτα.

Ακόμη και οι καθημερινές επιλογές, από το να πάρουμε μια ομπρέλα μέχρι τον προγραμματισμό που απαιτεί υπολογισμός ταξιδιού και κόστος ταξιδιού, ή ο υπολογισμός ρυθμού τρεξίματος για την προπόνησή μας, αποτελούν έμμεσους υπολογισμούς πιθανοτήτων που σταθμίζουν την πιθανότητα έναντι του κόστους.

Τα πιο συνηθισμένα λάθη προκύπτουν από τη λανθασμένη εκτίμηση της ανεξαρτησίας και των αρχικών πιθανοτήτων.

• Η πλάνη του τζογαδόρου προϋποθέτει ότι τα παρελθόντα αποτελέσματα επηρεάζουν τις ανεξάρτητες μελλοντικές δοκιμές, έτσι οι άνθρωποι περιμένουν κορώνα μετά από μια σειρά από γράμματα, παρόλο που κάθε ρίψη παραμένει στο 50%.
• Η παράβλεψη του βασικού ποσοστού αγνοεί το πόσο σπάνιο είναι ένα γεγονός κατά την ερμηνεία των στοιχείων, στρεβλώνοντας τον συλλογισμό για τα αποτελέσματα των εξετάσεων.
• Η σύγχυση του P(A|B) με το P(B|A), το σφάλμα της αντίστροφης πιθανότητας, αντιστρέφει την αιτία και το αποτέλεσμα.
• Άλροι ξεχνούν να αφαιρέσουν την επικάλυψη στον κανόνα του «Ή», μετρώντας δύο φορές τα κοινά αποτελέσματα, ή προσθέτουν πιθανότητες γεγονότων που δεν είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα.

Το αντιδιασθητικό πρόβλημα των γενεθλίων, στο οποίο μόλις 23 άτομα δίνουν 50,7% πιθανότητα για κοινά γενέθλια, δείχνει πώς η διαίσθηση συχνά υποτιμά τις σύνθετες πιθανότητες. Όπως ακριβώς η μέτρηση ημερολογιακών ημερών ή ο υπολογισμός ημερομηνίας απαιτούν ακριβείς κανόνες για να αποφευχθούν λάθη, έτσι και στις πιθανότητες η διαίσθηση συχνά μας παραπλανά.

Η αναμενόμενη αξία είναι το μακροπρόθεσμο μέσο αποτέλεσμα μιας τυχαίας διαδικασίας, το οποίο υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας κάθε αποτέλεσμα με την πιθανότητά του και αθροίζοντας τα αποτελέσματα: E(X) = Άθροισμα των x_i x P(x_i).

Για ένα μεμονωμένο δίκαιο ζάρι, η αναμενόμενη αξία είναι (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5, παρόλο που το 3,5 δεν μπορεί ποτέ να προκύψει σε μια ρίψη. Το Wolfram MathWorld την ορίζει ως την πρώτη ροπή μιας κατανομής, και είναι κεντρικής σημασίας για τη λήψη αποφάσεων υπό συνθήκες αβεβαιότητας.

Ένα παιχνίδι ή στοίχημα με αρνητική αναμενόμενη αξία χάνει χρήματα κατά μέσο όρο με την πάροδο του χρόνου, γι' αυτό και τα παιχνίδια καζίνο είναι σχεδιασμένα με πλεονέκτημα υπέρ του καταστήματος. Η αναμενόμενη αξία συνδέει τις ακατέργαστες πιθανότητες με πρακτικές, ποσοτικοποιήσιμες αποφάσεις. Είναι μια διαδικασία που μοιάζει με τον υπολογισμός μηνών για την απόδοση μιας επένδυσης, όπου αναζητούμε έναν μέσο όρο.