Υπολογιστής ταχύτητας

Η μέση ταχύτητα ισούται με τη συνολική μετατόπιση διανυθείσα διά του συνολικού χρόνου: v_avg = Δx/Δt. Ένα αυτοκίνητο που ταξιδεύει 120 μίλια βόρεια σε 2 ώρες έχει μέση ταχύτητα 60 mph βόρεια, ανεξάρτητα από τις διακυμάνσεις της ταχύτητας κατά τη διάρκεια του ταξιδιού.

Η στιγμιαία ταχύτητα είναι η ταχύτητα σε μια συγκεκριμένη στιγμή — αυτό που δείχνει το ταχύμετρό σας. Για κίνηση με σταθερή ταχύτητα, η μέση και η στιγμιαία τιμή είναι ίδιες. Για επιταχυνόμενα αντικείμενα, η στιγμιαία ταχύτητα αλλάζει συνεχώς.

Σε ελεύθερη πτώση κοντά στην επιφάνεια της Γης, η ταχύτητα αυξάνεται κατά 9.8 m/s (32.2 ft/s) κάθε δευτερόλεπτο: μετά από 1s είναι 9.8 m/s, μετά από 2s είναι 19.6 m/s, μετά από 3s είναι 29.4 m/s (περίπου 66 mph, αγνοώντας την αντίσταση του αέρα).

Η διάκριση έχει σημασία στα προβλήματα φυσικής — η χρήση της μέσης ταχύτητας για ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση δίνει v_avg = (v₀ + v_f)/2.

Οι εξισώσεις κινηματικής συνδέουν την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη μετατόπιση και τον χρόνο για σταθερή επιτάχυνση:

• v = v₀ + at δίνει την τελική ταχύτητα μετά από χρόνο t.
• d = v₀t + ½at² δίνει τη μετατόπιση.
• v² = v₀² + 2ad συσχετίζει την ταχύτητα με τη μετατόπιση χωρίς χρόνο.

Ένα αυτοκίνητο που επιταχύνει από στάση (v₀ = 0) με 3 m/s² για 5 δευτερόλεπτα φτάνει σε v = 0 + 3(5) = 15 m/s (περίπου 33.5 mph) και καλύπτει d = 0 + ½(3)(25) = 37.5 μέτρα.

Για το φρενάρισμα, η επιτάχυνση είναι αρνητική: ένα αυτοκίνητο στα 30 m/s (67 mph) που επιβραδύνει με 7 m/s² σταματά σε t = 30/7 = 4.3 δευτερόλεπτα σε απόσταση d = 30² / (2×7) = 64.3 μέτρα (211 πόδια) — εξηγώντας γιατί οι αποστάσεις ακινητοποίησης στον αυτοκινητόδρομο είναι πολύ μεγαλύτερες από ό,τι αντιλαμβάνονται οι περισσότεροι οδηγοί.

Συνήθεις μετατροπές ταχύτητας: 1 m/s = 3.6 km/h = 2.237 mph = 3.281 ft/s. 1 mph = 1.609 km/h = 0.447 m/s. Γρήγορες μετατροπές με το μυαλό: πολλαπλασιάστε τα m/s επί 3.6 για km/h, ή διαιρέστε τα km/h δια 1.6 για κατά προσέγγιση mph.

Ταχύτητες αναφοράς:

• ταχύτητα βαδίσματος 1.4 m/s (5 km/h, 3.1 mph)
• σπριντ 10 m/s (36 km/h, ο Usain Bolt έφτασε στο αποκορύφωμα στα 12.4 m/s)
• οδήγηση σε αυτοκινητόδρομο 31 m/s (112 km/h, 70 mph)
• εμπορικό αεροσκάφος 250 m/s (900 km/h, 560 mph)
• ταχύτητα του ήχου 343 m/s στο επίπεδο της θάλασσας (1,235 km/h, Mach 1)
• τροχιακή ταχύτητα της Γης 29,800 m/s (107,000 km/h)
• ταχύτητα του φωτός 3×10⁸ m/s (το παγκόσμιο όριο ταχύτητας)

Σ τη μηχανική, οι ταχύτητες συχνά καθορίζονται για ροή ρευστού: η τυπική ταχύτητα σε σωλήνα νερού είναι 1-3 m/s, και η ταχύτητα σε αεραγωγό είναι 3-8 m/s.

Για να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα, διαιρέστε τη μετατόπιση δια του χρόνου που απαιτήθηκε χρησιμοποιώντας τον τύπο v = d / t, όπου v είναι η ταχύτητα, d είναι η απόσταση (ή μετατόπιση) σε μέτρα, και t είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα.

Για παράδειγμα, ένας δρομέας που καλύπτει 400 μέτρα σε 50 δευτερόλεπτα έχει ταχύτητα 400 ÷ 50 = 8 m/s, η οποία ισούται με 28.8 km/h (πολλαπλασιάστε m/s επί 3.6). Η ταχύτητα είναι διάνυσμα, επομένως φέρει επίσης κατεύθυνση· η ίδια εξίσωση δίνει την ταχύτητα (speed) όταν η κατεύθυνση αγνοείται.

Σύμφωνα με το Khan Academy, αυτός ο ορισμός της μέσης ταχύτητας ως μετατόπισης διά του παρελθόντος χρόνου αποτελεί τη βάση της μονοδιάστατης κινηματικής και υποστηρίζει κάθε εξίσωση σταθερής επιτάχυνσης.

Η τελική ταχύτητα υπό σταθερή επιτάχυνση βρίσκεται με το v = u + at, όπου u είναι η αρχική ταχύτητα (m/s), a είναι η επιτάχυνση (m/s²), και t είναι ο χρόνος (s).

Εάν μια μοτοσικλέτα ξεκινά από 10 m/s και επιταχύνει με 4 m/s² για 3 δευτερόλεπτα, η τελική της ταχύτητα είναι v = 10 + (4 × 3) = 22 m/s. Για την επιβράδυνση, το a είναι αρνητικό: το φρενάρισμα από 20 m/s στα −5 m/s² για 2 δευτερόλεπτα δίνει 20 + (−5 × 2) = 10 m/s.

Όπως εξηγεί το HyperPhysics (Πανεπιστήμιο Πολιτείας της Τζόρτζια), αυτή η εξίσωση προκύπτει απευθείας από τον ορισμό της επιτάχυνσης ως ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας, και ισχύει μόνο όσο η επιτάχυνση παραμένει σταθερή.

Η μονάδα SI της ταχύτητας είναι το μέτρο ανά δευτερόλεπτο (m/s), μια παράγωγη μονάδα που συνδυάζει τις θεμελιώδεις μονάδες μέτρο (μήκος) και δευτερόλεπτο (χρόνος).

Το BIPM και το NIST ορίζουν τόσο το μέτρο όσο και το δευτερόλεπτο από θεμελιώδεις σταθερές — το δευτερόλεπτο από τη συχνότητα μετάβασης του καισίου-133 και το μέτρο από την ταχύτητα του φωτός στο κενό (ακριβώς 299,792,458 m/s). Η επιτάχυνση, στενά συνδεδεμένη, χρησιμοποιεί μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο (m/s²).

Οι μη SI μονάδες παραμένουν κοινές: χιλιόμετρα ανά ώρα (km/h), μίλια ανά ώρα (mph), και πόδια ανά δευτερόλεπτο (ft/s). Ένα m/s ισούται ακριβώς με 3.6 km/h, 2.23694 mph, και 3.28084 ft/s, επιτρέποντάς σας να μετατρέψετε οποιαδήποτε ταχύτητα μεταξύ του μετρικού και του αγγλοσαξονικού συστήματος.

Όταν ο χρόνος είναι άγνωστος, χρησιμοποιήστε το v² = u² + 2as για να συσχετίσετε την τελική ταχύτητα v, την αρχική ταχύτητα u, την επιτάχυνση a, και τη μετατόπιση s. Αναδιατεταγμένο, v = √(u² + 2as).

Για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο που επιταχύνει από 12 m/s με 3 m/s² σε απόσταση 50 μέτρων φτάνει σε v = √(12² + 2 × 3 × 50) = √(144 + 300) = √444 ≈ 21.1 m/s.

Για την απόσταση φρεναρίσματος, ορίστε v = 0 και λύστε ως προς s: ένα όχημα στα 30 m/s που επιβραδύνει με 6 m/s² σταματά σε s = 30² ÷ (2 × 6) = 75 μέτρα.

Το Khan Academy σημειώνει ότι αυτή η διαχρονική εξίσωση προκύπτει με την απαλοιφή του t μεταξύ των v = u + at και s = ut + ½at².

Οι υπολογισμοί ταχύτητας αποτελούν τη βάση για την μηχανική, τις μεταφορές, τον αθλητισμό και τα διαστημικά ταξίδια.

• Οι μηχανικοί αυτοκινήτων υπολογίζουν τις αποστάσεις ακινητοποίησης και τους χρόνους επιτάχυνσης 0–100 km/h. Ένα αυτοκίνητο που φτάνει τα 27,8 m/s σε 5 δευτερόλεπτα έχει μέση επιτάχυνση 5,56 m/s².
• Οι αεροδιαστημικοί μηχανικοί χρησιμοποιούν την τροχιακή ταχύτητα —περίπου 7.800 m/s για χαμηλή γήινη τροχιά, σύμφωνα με την Encyclopædia Britannica— για τον σχεδιασμό εκτόξευσης.
• Στην επιστήμη του αθλητισμού, οι αναλυτές παρακολουθούν την ταχύτητα σπριντ, με τους κορυφαίους σπρίντερ να φτάνουν κοντά στα 12 m/s.
• Οι μηχανικοί ρευστών εφαρμόζουν την ταχύτητα στον ρυθμό ροής (Q = A × v), υπολογίζοντας το μέγεθος σωλήνων και αγωγών.
• Τα συστήματα πλοήγησης συνδυάζουν διανύσματα ταχύτητας για τον υπολογισμό πορειών και ταχύτητας ως προς το έδαφος.

Κάθε εφαρμογή βασίζεται στις ίδιες κινηματικές βάσεις που επαληθεύονται από πόρους φυσικής όπως το HyperPhysics.

Η ταχύτητα (speed) είναι ένα βαθμωτό μέγεθος (μόνο μέγεθος), ενώ η ταχύτητα (velocity) είναι ένα διάνυσμα (μέγεθος συν κατεύθυνση), και η μετατόπιση είναι το διάνυσμα ευθείας γραμμής από την αρχή έως το τέλος. Η μέση ταχύτητα χρησιμοποιεί τη συνολική απόσταση που διανύθηκε, αλλά η μέση ταχύτητα (velocity) χρησιμοποιεί την καθαρή μετατόπιση.

Η Encyclopædia Britannica το επεuzεί με την κυκλική κίνηση: τρέξτε έναν γύρο σε μια πίστα 400 m σε 80 δευτερόλεπτα και η μέση ταχύτητά σας είναι 400 ÷ 80 = 5 m/s, ωστόσο η μέση ταχύτητά σας (velocity) είναι μηδέν επειδή η μετατόπιση είναι μηδέν — καταλήγετε εκεί που ξεκινήσατε.

Γι' αυτό το λόγο ένα GPS μπορεί να δείχνει υψηλή ταχύτητα ενώ η καθαρή σας ταχύτητα προς έναν προορισμό είναι μικρή αν ακολουθήσετε μια ελικώδη διαδρομή.

Κοντά στην επιφάνεια της Γης, η βαρύτητα επιταχύνει τα αντικείμενα που πέφτουν με g ≈ 9.81 m/s² (32.2 ft/s²), μια τιμή που το NIST καταγράφει ως τυπική βαρύτητα (9.80665 m/s²).

Αγνοώντας την αντίσταση του αέρα, ένα αντικείμενο που πέφτει από την ηρεμία κερδίζει 9.81 m/s ταχύτητας κάθε δευτερόλεπτο: 9.81 m/s μετά από 1 s, 19.62 m/s μετά από 2 s, και 29.43 m/s μετά από 3 s, χρησιμοποιώντας v = gt.

Για μια μπάλα που εκτοξεύεται προς τα επάνω στα 20 m/s, η βαρύτητα την επιβραδύνει: v = 20 − 9.81t μηδενίζεται στο t ≈ 2.04 s, στην κορυφή της τροχιάς. Τα πραγματικά αντικείμενα φτάνουν στην οριακή ταχύτητα όταν η αντίσταση του αέρα εξισορροπεί τη βαρύτητα —περίπου 53 m/s για έναν ανθρώπινο ελεύθερο πτώση σε θέση κοιλιάς προς τα κάτω.

Αρκετά σφάλματα δυσκολεύουν τους μαθητές κατά τον υπολογισμό ταχύτητας:

• Το πιο συχνό σφάλμα είναι η ανάμειξη μονάδων —η συνδυασμένη χρήση χιλιομέτρων με δευτερόλεπτα, ή μιλίων με ώρες, πριν από τη μετατροπή σε ένα συνεπές σύστημα (το SI χρησιμοποιεί μέτρα και δευτερόλεπτα).
• Ένα δεύτερο λάθος είναι η σύγχυση της απόστασης με τη μετατόπιση, η οποία αυξάνει τεχνητά τη μέση ταχύτητα για καμπύλες ή αμφίδρομες διαδρομές.
• Πολλοί μαθητές εφαρμόζουν επίσης τις κινηματικές εξισώσεις σε μη σταθερή επιτάχυνση, όπου απλώς δεν ισχύουν —η μεταβλητή επιτάχυνση απαιτεί λογισμό (ολοκλήρωση).
• Τα σφάλματα προσήμου είναι επίσης κοινά: η επιβράδυνση και η καθδική βαρύτητα πρέπει να εισάγονται ως αρνητικές τιμές.
• Τέλος, η λήθη ότι η ταχύτητα είναι διάνυσμα οδηγεί στην πρόσθεση ταχυτήτων ως απλών αριθμών αντί να λαμβάνεται υπόψη η κατεύθυνση.

Οι οδηγίες του IEEE και του NIST δίνουν έμφαση στις συνεπείς μονάδες SI για την αποφυγή αυτών των σφαλμάτων υπολογισμού.