Kalkulator Integral kami menangani integral tak tentu (anti-turunan) dan integral tentu (luas di bawah kurva). Masukkan ekspresi dalam bentuk x dan dapatkan anti-turunannya secara instan dengan semua langkah dijelaskan. Untuk integral tentu, berikan batas bawah dan batas atas untuk menghitung hasil numerik yang akurat. Mendukung polinomial, fungsi trigonometri (sin, cos, tan, sec, csc, cot), eksponensial (e^x), logaritma (ln x), akar kuadrat, dan fungsi komposit umum. Ketika integrasi simbolis tidak memungkinkan, kalkulator ini beralih ke integrasi numerik presisi tinggi menggunakan aturan Simpson.
Use ^ for powers, * for multiply, sin/cos/exp/ln/sqrt for functions
Quick Examples
Ketik fungsi Anda menggunakan x sebagai variabel. Gunakan ^ untuk pangkat, * untuk perkalian, dan nama fungsi standar seperti sin, cos, exp, ln, sqrt.
Pilih Tak Tentu untuk anti-turunan umum (dengan +C), atau Tentu untuk menghitung luas di bawah kurva di antara dua batas.
Untuk integral tentu, masukkan batas bawah a dan batas atas b. Hasilnya adalah luas total bertanda F(b) - F(a).
Lihat aturan integrasi mana yang diterapkan (aturan pangkat, substitusi, parsial) dengan setiap langkah dijelaskan secara rinci.
Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi. Integral tak tentu ∫f(x)dx menghasilkan sekumpulan fungsi F(x)+C. Integral tentu ∫[a,b]f(x)dx menghasilkan luas total bertanda di bawah kurva dari x=a hingga x=b, dihitung menggunakan Teorema Dasar Kalkulus: F(b) - F(a).
∫f(x)dx = F(x) + C | ∫[a to b]f(x)dx = F(b) - F(a)
Gunakan ^ untuk pangkat: x^3 berarti x³. Gunakan * untuk perkalian: 2*x atau cukup 2x
Aturan pangkat: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (untuk n ≠ -1). Kasus khusus: ∫x⁻¹dx = ln|x| + C
Integral trigonometri: ∫sin(x)dx = -cos(x)+C, ∫cos(x)dx = sin(x)+C, ∫sec²(x)dx = tan(x)+C
Eksponensial: ∫eˣdx = eˣ+C, ∫aˣdx = aˣ/ln(a)+C
Logaritma: ∫ln(x)dx = x·ln(x) - x + C (gunakan integrasi parsial)
Untuk ∫f(ax+b)dx, substitusikan u=ax+b: hasilnya adalah F(ax+b)/a + C
Integrasi adalah salah satu dari dua operasi fundamental dalam kalkulus, di samping diferensiasi. Meskipun turunan mengukur laju perubahan sesaat, integral mengumpulkan kuantitas — menghitung luas di bawah kurva, volume benda padat, jarak total dari kecepatan, dan kuantitas terakumulasi dari laju. Integral tak tentu (antiturunan) membalikkan diferensiasi: integral dari 2x adalah x² + C, di mana C adalah konstanta integrasi. Integral tentu mengevaluasi luas total bertanda antara fungsi dan sumbu x pada interval tertentu. Teorema Dasar Kalkulus menghubungkan keduanya, menyatakan bahwa integral tentu dari a ke b sama dengan F(b) dikurangi F(a), dengan F adalah antiturunan apa pun dari fungsi yang diintegralkan. Teknik integrasi berkisar dari penerapan aturan pangkat sederhana hingga metode canggih seperti substitusi, integrasi parsial, pecahan parsial, dan identitas trigonometri. Beberapa fungsi — seperti e^(-x²), yang menjadi inti dari distribusi normal dalam statistik — tidak memiliki antiturunan dalam bentuk tertutup sama sekali, sehingga memerlukan metode numerik seperti aturan Simpson atau kuadratur Gaussian. Baik Anda seorang mahasiswa yang sedang mempelajari kursus kalkulus, seorang insinyur yang menghitung usaha atau fluks, pemahaman yang kuat tentang integrasi sangatlah penting.
Sebuah kalkulator integral menghitung antiturunan (integral tak tentu) atau integral tentu dari suatu fungsi matematika.
Untuk integral tak tentu, kalkulator ini mencari F(x)+C di mana F'(x)=f(x). Untuk integral tentu, kalkulator ini mengevaluasi luas total bertanda di bawah kurva f(x) di antara dua batas menggunakan Teorema Dasar Kalkulus.
Kalkulator ini mendukung:
Gunakan * untuk perkalian, ^ untuk pemangkatan, dan tanda kurung standar untuk pengelompokan.
Mengintegralkan suatu fungsi berarti mencari fungsi baru yang turunannya sama dengan fungsi aslinya — kebalikan dari diferensiasi.
Hasilnya, yang disebut anti turunan atau integral tak tentu, ditulis F(x) + C, di mana turunan F'(x) sama dengan fungsi integran f(x) dan C adalah konstanta sebarang. Secara geometris, integral tentu mengukur luas bertanda bersih antara kurva dan sumbu-x pada suatu interval.
Menurut Wolfram MathWorld, integral adalah objek matematika yang dapat merepresentasikan luas, perubahan terakumulasi, atau jumlah yang digeneralisasi. Makna ganda ini — anti turunan dan luas — adalah alasan mengapa integrasi menjadi dasar bagi begitu banyak cabang kalkulus dan matematika terapan.
Untuk mencari integral, identifikasi struktur fungsi dan cocokkan dengan aturan yang diketahui.
Coba terlebih dahulu aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C untuk n ≠ −1. Untuk penjumlahan, integralkan setiap suku secara terpisah; untuk perkalian konstanta, keluarkan konstanta tersebut ke luar. Ketika integran merupakan komposisi dikalikan dengan turunan bagian dalam, gunakan substitusi-u; jika berupa perkalian, coba integrasi parsial.
Untuk integral tentu, cari anti turunan F(x), lalu hitung F(b) − F(a). Sebagai contoh, ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3. Khan Academy membahas setiap teknik ini secara mendetail disertai soal-soal latihan.
Rumus inti integrasi adalah:
Hasil trigonometri standar mencakup ∫sin(x) dx = −cos(x) + C dan ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
Dua metode struktural memperluas aturan ini: substitusi-u membalik aturan rantai, dan integrasi parsial, ∫u dv = uv − ∫v du, membalik aturan perkalian. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF) mengkatalogkan hasil-hasil dasar ini beserta integral fungsi khusus, menjadikannya referensi yang dapat diandalkan untuk memverifikasi rumus apa pun.
Integral tak tentu menghasilkan sebuah fungsi: ∫f(x) dx = F(x) + C, yaitu seluruh keluarga anti turunan yang berbeda sebesar konstanta C.
Integral tentu menghasilkan satu angka tunggal: ∫[a,b] f(x) dx sama dengan luas bertanda bersih antara kurva dan sumbu-x dari x = a hingga x = b. Teorema Dasar Kalkulus menghubungkan keduanya, yang menyatakan bahwa integral tentu sama dengan F(b) − F(a) untuk setiap anti turunan F.
Sebagai contoh, ∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Encyclopaedia Britannica mendeskripsikan teorema ini sebagai hasil sentral yang menyatukan dua cabang kalkulus.
Substitusi-u menyederhanakan integral ketika integran berisi fungsi komposit yang dikalikan dengan turunan dari bagian dalamnya.
Tentukan u sama dengan ekspresi bagian dalam, hitung du = u'(x) dx, dan tulis ulang integral sepenuhnya dalam bentuk u. Sebagai contoh, dalam ∫2x·cos(x²) dx, misalkan u = x² sehingga du = 2x dx; integralnya menjadi ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
Untuk integral tentu, ubah batas-batasnya menjadi nilai-nilai u atau lakukan substitusi balik sebelum mengevaluasi. Khan Academy mencatat bahwa mengenali pola fungsi bagian dalam beserta turunannya adalah keahlian utama untuk menerapkan substitusi dengan percaya diri.
Integrasi mengakumulasi kuantitas, menjadikannya sangat penting di bidang sains dan teknik:
Wolfram MathWorld menyoroti bahwa integral juga menghitung panjang busur, luas permukaan, dan volume benda putar. Kalkulator ini mendukung berbagai aplikasi tersebut dengan mengembalikan anti turunan simbolik maupun nilai numerik yang akurat.
Beberapa fungsi, seperti e^(−x²) dan sin(x)/x, tidak memiliki anti turunan bentuk tertutup yang dapat diekspresikan dengan fungsi elementer.
Dalam kasus seperti ini, integrasi numerik memperkirakan integral tentu dengan mengambil sampel fungsi tersebut. Aturan Simpson mencocokkan parabola di antara pasangan subinterval: ∫[a,b] f(x) dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + f(xₙ)], di mana h = (b − a)/n dan n bernilai genap.
Galatnya berskala O(h⁴), jauh lebih baik daripada galat Aturan Trapesium yaitu O(h²). NIST DLMF mendokumentasikan metode-metode kuadratur ini, termasuk kuadratur Gauss, yang mencapai akurasi tinggi dengan sedikit titik sampel.
Pertimbangkan ∫₁^e (1/x) dx. Karena integrannya adalah 1/x, anti turunannya adalah ln|x|, bukan hasil aturan pangkat.
Terapkan Teorema Dasar Kalkulus: ∫₁^e (1/x) dx = [ln|x|]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. Nilai eksaknya oleh karena itu adalah 1.
Sebagai contoh kedua, ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1,71828. Langkah-langkah pengerjaan ini mencerminkan apa yang ditampilkan oleh kalkulator: identifikasi anti turunan, substitusikan batas atas dan batas bawah, lalu kurangkan. Memverifikasi hasil terhadap tabel integral Wolfram MathWorld adalah kebiasaan yang baik untuk mengonfirmasi rumus maupun perhitungannya.
Britannica menekankan pentingnya memeriksa setiap anti turunan dengan menurunkannya kembali ke fungsi integran asli.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.