Kalkulator Probabilitas

Peluang mengukur seberapa besar kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Rentangnya mulai dari 0 (mustahil) hingga 1 (pasti).

Dalam istilah sehari-hari, peluang 0,5 berarti peluang 50-50.

kalkulator waktu kami menangani semua jenis peluang standar yang digunakan dalam statistik, matematika, analisis perjudian, dan sains.

• Peluang dasar membagi hasil yang diinginkan dengan total hasil.
• Untuk beberapa kejadian independen, kalikan peluangnya (DAN) atau gunakan rumus gabungan (ATAU).
• Peluang bersyarat menanyakan 'bagaimana jika kita sudah tahu B terjadi?'
• Peluang binomial menangani percobaan independen berulang seperti melempar koin sebanyak n kali.

Untuk menghitung peluang dari satu kejadian tunggal, bagi jumlah hasil yang diinginkan dengan jumlah total hasil yang memiliki kemungkinan sama besar: P(A) = yang diinginkan / total.

Sebagai contoh, mengambil kartu merah dari setumpuk kartu standar 52 lembar menghasilkan P = 26/52 = 1/2 = 50%. Definisi klasik ini mengasumsikan setiap hasil memiliki kemungkinan yang sama, sebuah gagasan yang diformalkan oleh Pierre-Simon Laplace dan dideskripsikan oleh Encyclopaedia Britannica sebagai fondasi teori peluang.

Hasilnya selalu terletak di antara 0 dan 1, atau 0% dan 100%. Ketika hasil tidak memiliki kemungkinan yang sama, peluang justru diestimasi dari frekuensi relatif jangka panjang yang diamati di banyak percobaan berulang.

Tiga aturan mencakup sebagian besar masalah peluang.

• Aturan komplementer menyatakan P(bukan A) = 1 - P(A).
• Aturan perkalian untuk kejadian independen menghasilkan P(A dan B) = P(A) x P(B); untuk kejadian dependen, aturan ini menggunakan peluang bersyarat, P(A dan B) = P(A) x P(B|A).
• Aturan penjumlahan umum adalah P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B), yang mengurangi irisan yang dihitung dua kali.

Seperti yang dicatat oleh Wolfram MathWorld, ketika kejadian-kejadian saling eksklusif (tidak dapat terjadi bersamaan), irisannya adalah nol, sehingga rumusnya disederhanakan menjadi P(A) + P(B). Aturan-aturan ini digabungkan untuk menyelesaikan skenario majemuk seperti pengambilan multi-tahap atau percobaan berulang.

Peluang bersyarat, ditulis P(A|B), adalah peluang terjadinya A dengan syarat B telah terjadi: P(A|B) = P(A dan B) / P(B).

Teorema Bayes membalikkan hubungan ini, mengekspresikan P(A|B) = [P(B|A) x P(A)] / P(B). Teorema ini memungkinkan Anda memperbarui keyakinan awal dengan bukti baru, dan Khan Academy menyorotinya sebagai mesin di balik interpretasi tes medis dan penyaringan spam.

Hasil klasik adalah pengabaian tingkat dasar: bahkan tes yang akurat 99% untuk penyakit langka yang menyerang 1 dari 1.000 orang akan menghasilkan sebagian besar positif palsu, karena peluang awal yang kecil mendominasi. Penalaran Bayes mengoreksi hal ini dengan menimbang bukti terhadap seberapa umum kondisi tersebut sebenarnya.

Rumus binomial memberikan peluang dari tepat k keberhasilan dalam n percobaan independen, masing-masing dengan peluang keberhasilan p: P(X=k) = C(n,k) x p^k x (1-p)^(n-k), di mana C(n,k) adalah jumlah kombinasi.

Sebagai contoh, peluang tepat 3 angka dalam 5 lemparan koin yang adil adalah C(5,3) x 0.5^3 x 0.5^2 = 10 x 0.125 x 0.25 = 0,3125, atau 31,25%. Handbook NIST/SEMATECH mengenai Metode Statistik mendokumentasikan rata-rata distribusi binomial, np, dan varians, np(1-p).

Model binomial berlaku setiap kali:

• percobaan bersifat independen,
• jumlah percobaan tetap,
• dan setiap percobaan hanya memiliki dua hasil, sukses atau gagal.

Untuk satu dadu yang adil, setiap sisi memiliki peluang 1/6. Dengan dua dadu, ada 36 hasil berurutan yang kemungkinannya sama, sehingga jumlah yang paling sering muncul, yaitu 7, terjadi dalam 6 cara (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), menghasilkan P(jumlah=7) = 6/36 = 1/6.

Setumpuk kartu standar 52 lembar memiliki 4 jenis (suit) dan 13 peringkat: P(kartu As apa pun) = 4/52 = 1/13, dan P(kartu Hati) = 13/52 = 1/4.

Pengambilan multi-langkah menggunakan aturan perkalian; misalnya, dua kartu As tanpa pengembalian adalah 4/52 x 3/51 = 12/2652, sekitar 0,45%. Britannica melacak metode penghitungan ini dari korespondensi antara Fermat dan Pascal tentang permainan peluang.

Dua kejadian bersifat independen ketika salah satu kejadian terjadi tidak mengubah peluang kejadian lainnya; secara formal, P(A|B) = P(A). Melempar koin dua kali bersifat independen karena lemparan pertama tidak memiliki ingatan tentang lemparan kedua.

Kejadian bersifat dependen ketika hasil dari satu kejadian mengubah ruang sampel untuk kejadian berikutnya, yang persis terjadi dalam pengambilan sampel tanpa pengembalian. Wolfram MathWorld menekankan bahwa independensi harus diverifikasi, bukan diasumsikan.

Kesalahan kelas yang sering terjadi adalah mengalikan peluang seolah-olah kejadian tersebut independen padahal sebenarnya saling terkait, seperti mengambil kartu tanpa mengembalikannya, yang memperbesar atau memperkecil peluang sebenarnya dari suatu hasil majemuk.

Peluang mendorong keputusan di berbagai bidang.

• Perusahaan asuransi menetapkan harga polis menggunakan frekuensi yang diharapkan dan tingkat keparahan klaim.
• Peneliti medis melaporkan efek pengobatan dan keakuratan diagnostik sebagai peluang bersyarat.
• Ahli meteorologi menyatakan peluang hujan 30% sebagai pecahan dari kondisi masa lalu serupa yang menghasilkan hujan.

Dalam keuangan, peluang mendasari model risiko dan penetapan harga opsi, sementara insinyur pengendali kualitas menggunakan model binomial dan Poisson untuk menetapkan toleransi cacat. Pengklasifikasi pembelajaran mesin, sebagaimana dibahas oleh Khan Academy dan kursus statistik modern, menghasilkan peluang untuk setiap label.

Bahkan pilihan sehari-hari, mulai dari membawa payung hingga membeli garansi, adalah perhitungan peluang implisit yang menimbang kemungkinan terhadap biaya.

Kesalahan paling umum berasal dari salah menilai independensi dan peluang awal (prior).

• Kekeliruan berjudi (gambler's fallacy) mengasumsikan hasil masa lalu memengaruhi percobaan masa depan yang independen, sehingga orang mengharapkan angka setelah serangkaian gambar, meskipun setiap lemparan tetap 50%.
• Pengabaian tingkat dasar (base rate neglect) mengabaikan seberapa langka suatu kejadian saat menginterpretasikan bukti, mendistorsi penalaran hasil tes.
• Mencampuradukkan P(A|B) dengan P(B|A), kesalahan peluang terbalik, membalikkan sebab dan akibat.
• Yang lain lupa mengurangi bagian irisan pada aturan ATAU, menghitung hasil bersama dua kali, atau menambahkan peluang kejadian yang tidak saling eksklusif.

Masalah ulang tahun yang terasa berlawanan dengan intuisi, di mana hanya 23 orang memberikan peluang 50,7% untuk ulang tahun yang sama, menunjukkan bagaimana intuisi sering kali meremehkan peluang majemuk.

Nilai harapan adalah hasil rata-rata jangka panjang dari proses acak, yang dihitung dengan mengalikan setiap hasil dengan peluangnya dan menjumlahkan hasilnya: E(X) = Jumlah dari x_i x P(x_i).

Untuk satu dadu yang adil, nilai harapannya adalah (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5, meskipun angka 3,5 sebenarnya tidak pernah bisa muncul saat dadu dilempar. Wolfram MathWorld mendefinisikannya sebagai momen pertama dari suatu distribusi, dan ini sangat penting untuk pengambilan keputusan di bawah ketidakpastian.

Sebuah permainan atau taruhan dengan nilai harapan negatif akan kehilangan uang rata-rata seiring waktu, itulah sebabnya permainan kasino dirancang dengan keunggulan rumah (house edge). Nilai harapan menghubungkan peluang mentah dengan keputusan praktis yang dapat diukur.