La nostra calcolatrice matematica per numeri complessi gestisce tutte le operazioni aritmetiche standard in un unico strumento. Inserisci i numeri in forma algebrica (a + bi) o polare (r∠θ), poi scegli tra addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, calcolo del modulo, argomento, coniugato, conversione polare, potenze con la formula di De Moivre, radici n-esime ed esponenziale complesso e^z. Ogni operazione mostra lo svolgimento dettagliato passo dopo passo per permetterti di seguire il metodo, verificare i tuoi calcoli o comprendere a fondo la teoria.
Z₁ = 3 + 4i | |Z₁| = 5 | arg = 53.13°
Z₂ = 1 − 2i
Computes Z₁ⁿ using De Moivre's theorem
Quick Examples:
Result (Rectangular)
—
Polar Form
Modulus |Z|
—
Argument θ
—
—
All Roots
format_list_numbered Step-by-Step
iⁿ cycles with period 4: use n mod 4
Inserisci la parte reale e la parte immaginaria del primo numero complesso Z₁ = a + bi
Per le operazioni binarie (somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione), inserisci anche Z₂ = c + di
Scegli tra 11 operazioni: aritmetica, modulo, argomento, coniugato, forma polare, potenza, radici o e^z
Visualizza il risultato sia in forma rettangolare (a+bi) che polare (r∠θ) con tutti i passaggi dettagliati
Un numero complesso z = a + bi ha parte reale a e parte immaginaria b. Il modulo è |z| = √(a²+b²). L'argomento è θ = atan2(b, a). La moltiplicazione risulta più semplice in forma polare: |z₁||z₂|∠(θ₁+θ₂). Divisione: (|z₁|/|z₂|)∠(θ₁−θ₂). Potenze tramite la formula di De Moivre: z^n = rⁿ(cos nθ + i·sin nθ).
z = a + bi, |z| = √(a²+b²), z^n = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
Ricorda: i² = −1. Questa è l'identità fondamentale per la moltiplicazione dei numeri complessi
Modulo e argomento: |z| = √(a²+b²), θ = atan2(b, a)
Il coniugato di (a+bi) è (a−bi). Il prodotto z·z* = |z|² (sempre reale)
Per potenze e radici, il teorema di De Moivre è molto più semplice rispetto allo sviluppo algebrico
Moltiplicazione in forma polare: moltiplica i moduli e somma gli argomenti
Le radici n-esime di z sono distribuite uniformemente lungo una circonferenza di raggio ⁿ√|z|
I numeri complessi estendono l'insieme dei numeri reali introducendo l'unità immaginaria i, definita da i al quadrato uguale a meno uno. Lungi dall'essere un mero concetto astratto, i numeri complessi sono strumenti fondamentali nell'ingegneria elettrica per l'analisi dei circuiti in corrente alternata tramite i fasori, nell'elaborazione dei segnali per rappresentare le componenti di frequenza mediante la trasformata di Fourier, nei sistemi di controllo per l'analisi di stabilità e nella meccanica quantistica per descrivere le funzioni d'onda. Un numero complesso z = a + bi è formato da una parte reale a e da una parte immaginaria b, e può essere espresso in modo equivalente in forma polare come r per e elevato a i per theta, dove r è il modulo e theta è l'argomento. Convertire tra forma algebrica e polare, calcolare prodotti e quozienti, determinare potenze e radici sono passaggi che seguono regole precise, intuitive ma laboriose da svolgere a mano quando serve la massima precisione. Questa calcolatrice scientifica online per numeri complessi gestisce tutte le operazioni standard, tra cui addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenze, radici n-esime, coniugati e calcolo del modulo, fornendo passaggi chiari e dettagliati per ogni calcolo come una vera e propria calcolatrice matematica avanzata.
Una calcolatrice online per numeri complessi esegue operazioni aritmetiche e geometriche su numeri della forma a + bi, dove i è l'unità immaginaria (i² = −1).
La nostra calcolatrice matematica supporta tutte le operazioni standard:
I numeri complessi possono essere espressi in forma cartesiana (a + bi) o in forma polare (r∠θ).
Il modulo r = √(a²+b²) è la distanza dall'origine, mentre l'argomento θ = atan2(b,a) è l'angolo.
La forma polare rende molto più semplici la moltiplicazione, la divisione e le potenze: basta moltiplicare i moduli e sommare gli argomenti.
Un numero complesso è un numero della forma a + bi, dove a e b sono numeri reali e i è l'unità immaginaria definita da i² = −1. La parte reale è a e la parte immaginaria è b.
I numeri complessi sono nati perché equazioni come x² + 1 = 0 non hanno soluzioni reali, così i matematici hanno esteso il sistema numerico per includere √−1.
Secondo Wolfram MathWorld, i numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso, il che significa che ogni polinomio non costante ha una radice al suo interno.
Geometricamente, a + bi è un punto (a, b) nel piano complesso, con l'asse orizzontale per i valori reali e l'asse verticale per quelli immaginari.
Khan Academy nota che moltiplicare per il coniugato elimina la parte immaginaria dal denominatore, poiché (c+di)(c−di) = c²+d² è sempre reale. Queste quattro operazioni preservano la struttura a + bi.
Il modulo di un numero complesso z = a + bi è la sua distanza dall'origine nel piano complesso, data da |z| = √(a²+b²). Ad esempio, |3+4i| = √(9+16) = √25 = 5.
L'argomento è l'angolo θ rispetto all'asse reale positivo, calcolato come θ = atan2(b, a), solitamente compreso tra −π e π.
Come descritto nel Digital Library of Mathematical Functions del NIST, il modulo e l'argomento forniscono insieme le coordinate polari di z. Il modulo è sempre non negativo e moltiplicare un numero complesso per il suo coniugato produce il modulo al quadrato: z·z* = |z|², che è sempre un numero reale.
Per convertire un numero complesso dalla forma cartesiana a + bi alla forma polare r∠θ, calcola il modulo r = √(a²+b²) e l'argomento θ = atan2(b, a).
Per tornare dalla forma polare a quella cartesiana, usa a = r·cos θ e b = r·sin θ.
Per esempio, 1 + i ha r = √2 ≈ 1.414 e θ = 45°, quindi la sua forma polare è √2 ∠45°.
Encyclopaedia Britannica spiega che la rappresentazione polare rende intuitive la moltiplicazione e la divisione, poiché si moltiplicano o dividono i moduli e si sommano o sottraggono gli argomenti. La forma cartesiana è la migliore per l'addizione e la sottrazione, mentre quella polare semplifica prodotti, quozienti, potenze e radici.
Il teorema di De Moivre afferma che per z = r(cos θ + i sin θ), la n-esima potenza è z^n = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Eleva il modulo alla potenza n e moltiplica l'argomento per n.
Ad esempio, (1+i) ha r = √2 e θ = 45°, quindi (1+i)² = (√2)²(cos 90° + i sin 90°) = 2(0 + i) = 2i, il che coincide con lo sviluppo diretto.
Wolfram MathWorld presenta la formula di De Moivre come conseguenza diretta della formula di Eulero e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Questo metodo evita la noiosa moltiplicazione ripetuta necessaria per sviluppare potenze elevate in forma cartesiana.
Ogni numero complesso diverso da zero ha esattamente n radici n-esime distinte. Per z = r∠θ, le radici sono z_k = ⁿ√r ∠(θ/n + 360°k/n) per k = 0, 1, …, n−1. Esse si trovano equidistanti su un cerchio di raggio ⁿ√r nel piano complesso.
Ad esempio, le tre radici cubiche di 8 sono 2∠0°, 2∠120° e 2∠240°.
Il caso speciale delle radici n-esime dell'unità — le soluzioni di zⁿ = 1 — sono catalogate nell'OEIS e formano i vertici di un poligono regolare di n lati sulla circonferenza unitaria.
Come nota il DLMF del NIST, questa spaziatura uniforme deriva direttamente dall'aggiunta di 2π/n all'angolo per ogni radice successiva.
Il complesso coniugato di z = a + bi è z* = a − bi, ottenuto invertendo il segno della parte immaginaria. Geometricamente riflette il numero rispetto all'asse reale.
Il coniugato ha due proprietà chiave:
Khan Academy evidenzia che i coniugati sono lo strumento standard per dividere i numeri complessi, perché moltiplicare il denominatore per il suo coniugato rimuove la parte immaginaria.
I coniugati compaiono anche in fisica e nell'elaborazione dei segnali, dove grandezze come la potenza e la probabilità dipendono dalla moltiplicazione di un valore complesso per il suo coniugato per ottenere un'ampiezza reale.
I numeri complessi sono indispensabili in ingegneria e scienza:
Encyclopaedia Britannica nota che l'identità di Eulero e^(iπ) + 1 = 0 collega in modo elegante le costanti e, i, π, 1 e 0. Anche la fluidodinamica e la geometria frattale, come l'insieme di Mandelbrot, si basano sull'aritmetica complessa.
Verifica sempre quale unità la tua formula si aspetta prima di calcolare seni e coseni.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.