La nostra calcolatrice scientifica online gestisce sia integrali indefiniti (primitive) sia integrali definiti (calcolo area sottesa a una curva). Inserisci un'espressione nella variabile x per ottenere all'istante la primitiva con tutti i passaggi spiegati. Per gli integrali definiti, indica l'estremo inferiore e superiore per calcolare il valore numerico esatto. Supporta polinomi, funzioni trigonometriche (sin, cos, tan, sec, csc, cot), esponenziali (e^x), logaritmi (ln x), radici quadrate e le funzioni composte più comuni. Quando l'integrazione simbolica non è possibile, la calcolatrice matematica ricorre all'integrazione numerica ad alta precisione con la regola di Simpson.
Use ^ for powers, * for multiply, sin/cos/exp/ln/sqrt for functions
Quick Examples
Digita la funzione usando x come variabile. Usa ^ per le potenze, * per le moltiplicazioni e i nomi standard delle funzioni come sin, cos, exp, ln, sqrt.
Scegli Indefinito per calcolare la primitiva generale (con +C), oppure Definito se desideri effettuare il calcolo area sottesa alla curva compresa tra due estremi.
Per gli integrali definiti, inserisci l'estremo inferiore a e l'estremo superiore b. Il risultato esegue il calcolo area con segno netto F(b) - F(a).
Scopri quali regole di integrazione sono state applicate (regola delle potenze, sostituzione, per parti) con ogni passaggio spiegato chiaramente.
L'integrazione è l'inverso della derivazione. L'integrale indefinito ∫f(x)dx restituisce una famiglia di funzioni F(x)+C. L'integrale definito ∫[a,b]f(x)dx calcola area netta con segno sottesa alla curva tra x=a e x=b, calcolata tramite il teorema fondamentale del calcolo integrale: F(b) - F(a).
∫f(x)dx = F(x) + C | ∫[a to b]f(x)dx = F(b) - F(a)
Usa ^ per le potenze: x^3 significa x³. Usa * per la moltiplicazione: 2*x oppure semplicemente 2x
Regola delle potenze: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (per n ≠ -1). Caso particolare: ∫x⁻¹dx = ln|x| + C
Integrali trigonometrici: ∫sin(x)dx = -cos(x)+C, ∫cos(x)dx = sin(x)+C, ∫sec²(x)dx = tan(x)+C
Esponenziale: ∫eˣdx = eˣ+C, ∫aˣdx = aˣ/ln(a)+C
Logaritmo: ∫ln(x)dx = x·ln(x) - x + C (usare l'integrazione per parti)
Per ∫f(ax+b)dx, sostituisci u=ax+b: il risultato è F(ax+b)/a + C
L'integrazione è una delle due operazioni cardine del calcolo infinitesimale, insieme alla derivazione. Mentre le derivate misurano tassi di variazione istantanei, gli integrali accumulano quantità — permettendo il calcolo area sottesa a curve, volumi di solidi, spazio totale a partire dalla velocità e quantità cumulate dai flussi. Un integrale indefinito (primitiva) inverte la derivazione: l'integrale di 2x è x² + C, dove C è la costante di integrazione. Un integrale definito valuta l'area netta con segno compresa tra una funzione e l'asse x su un intervallo specifico. Il teorema fondamentale del calcolo integrale mette in relazione i due concetti, stabilendo che l'integrale definito tra a e b è pari a F(b) meno F(a), dove F è una qualsiasi primitiva dell'integrando. Le tecniche risolutive variano dalla classica regola delle potenze a metodi avanzati quali l'integrazione per sostituzione, per parti, la scomposizione in fratti semplici e le identità trigonometriche. Alcune funzioni — come e^(-x²), fondamentale per la distribuzione normale in statistica — non possiedono una primitiva esprimibile in forma chiusa e richiedono metodi numerici come la regola di Simpson o le quadrature gaussiane. Che tu sia uno studente di analisi, un ingegnere che calcola lavoro e flussi o un ricercatore che impiega una calcolatrice scientifica online, avere una solida padronanza dell'integrazione è fondamentale.
Una calcolatrice matematica per integrali determina la primitiva (integrale indefinito) o l'integrale definito di una funzione matematica.
Per gli integrali indefiniti, calcola F(x)+C dove F'(x)=f(x). Per gli integrali definiti, calcola area netta con segno sottesa alla funzione f(x) tra due estremi sfruttando il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Questa calcolatrice online supporta:
Usa * per la moltiplicazione, ^ per l'elevamento a potenza e le parentesi standard per raggruppare i termini.
Integrare una funzione significa trovare una nuova funzione la cui derivata sia uguale a quella iniziale: l'operazione inversa della derivazione.
Il risultato, chiamato primitiva o integrale indefinito, si scrive F(x) + C, dove la derivata F'(x) è uguale alla funzione integranda f(x) e C è una costante arbitraria. Dal punto di vista geometrico, un integrale definito misura l'area netta con segno compresa tra la curva e l'asse x lungo un intervallo.
Secondo Wolfram MathWorld, un integrale è un oggetto matematico in grado di rappresentare un'area, una variazione accumulata o una somma generalizzata. Questo duplice significato — ricerca della primitiva e misurazione dell'area — è il motivo per cui l'integrazione è alla base di gran parte dell'analisi e della matematica applicata.
Per risolvere un integrale, individua la struttura della funzione e associala a una regola nota.
Come prima cosa prova la regola delle potenze: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C per n ≠ −1. In presenza di somme, integra ciascun termine separatamente; per le costanti moltiplicative, porta la costante fuori dal segno di integrale. Quando l'integrando è dato da una composizione moltiplicata per la derivata interna, usa l'integrazione per sostituzione; quando è un prodotto tra funzioni diverse, prova l'integrazione per parti.
Per un integrale definito, trova la primitiva F(x), quindi calcola F(b) − F(a). Ad esempio, ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3. Khan Academy illustra nel dettaglio ciascuna di queste tecniche con problemi ed esercizi guidati.
Le formule di integrazione fondamentali sono:
I risultati trigonometrici standard includono ∫sin(x) dx = −cos(x) + C e ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
Due metodi strutturali ampliano queste basi: la sostituzione inverte la regola della catena, mentre l'integrazione per parti, ∫u dv = uv − ∫v du, inverte la regola del prodotto. La Digital Library of Mathematical Functions (DLMF) del NIST indicizza questi risultati elementari insieme agli integrali delle funzioni speciali, offrendo un riferimento autorevole per verificare qualsiasi formula.
Un integrale indefinito produce una funzione: ∫f(x) dx = F(x) + C, vale a dire un'intera famiglia di primitive che differiscono unicamente per la costante C.
Un integrale definito restituisce invece un singolo valore numerico: ∫[a,b] f(x) dx equivale all'area netta con segno compresa tra la curva e l'asse x nell'intervallo da x = a a x = b. Il teorema fondamentale del calcolo integrale unisce i due concetti, stabilendo che un integrale definito è uguale a F(b) − F(a) per una qualsiasi primitiva F.
Ad esempio, ∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. L'Encyclopaedia Britannica descrive questo teorema come il risultato cardine che unifica i due rami del calcolo infinitesimale.
L'integrazione per sostituzione semplifica il calcolo quando l'integrando contiene una funzione composta moltiplicata per la derivata della sua parte interna.
Si pone u pari all'espressione interna, si calcola du = u'(x) dx e si riscrive l'integrale interamente nei termini della variabile u. Per esempio, in ∫2x·cos(x²) dx, ponendo u = x² si ottiene du = 2x dx; l'integrale diventa quindi ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
Nel caso degli integrali definiti, si possono convertire gli estremi di integrazione nei valori corrispondenti di u oppure risostituire la variabile x prima della valutazione finale. Khan Academy evidenzia che riconoscere lo schema tra funzione interna e sua derivata è l'abilità fondamentale per applicare il metodo con sicurezza.
L'integrazione permette di accumulare quantità variabili nel continuo, rivelandosi indispensabile nelle scienze e nell'ingegneria:
Wolfram MathWorld ricorda inoltre che gli integrali servono per il calcolo area di superfici, la lunghezza di curve e i volumi dei solidi di rotazione. Questa calcolatrice scientifica online supporta tali applicazioni restituendo sia le primitive simboliche sia risultati numerici accurati.
Alcune funzioni, come e^(−x²) e sin(x)/x, non possiedono una primitiva in forma chiusa esprimibile tramite funzioni elementari.
In questi casi l'integrazione numerica stima l'integrale definito campionando la funzione in più punti. La regola di Simpson approssima il grafico con archi di parabola su coppie di sottointervalli: ∫[a,b] f(x) dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + f(xₙ)], dove h = (b − a)/n e n è pari.
L'errore commesso decresce come O(h⁴), un livello di accuratezza di gran lunga superiore all'O(h²) del metodo dei trapezi. La DLMF del NIST descrive in modo esaustivo questi metodi di quadratura, inclusa la quadratura gaussiana, in grado di raggiungere un'alta precisione con pochissimi punti di campionamento.
Prendiamo come esempio ∫₁^e (1/x) dx. Poiché l'integrando è 1/x, la primitiva è ln|x| e non una potenza della variabile.
Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale: ∫₁^e (1/x) dx = [ln|x|]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. Il valore esatto è quindi 1.
Un secondo esempio è ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1.71828. Questi passaggi mostrano esattamente come opera la nostra calcolatrice online: identifica la primitiva, sostituisce l'estremo superiore e inferiore e calcola la differenza. Confrontare i risultati con le tavole degli integrali di Wolfram MathWorld è un'ottima verifica sia per la correttezza della formula che per i passaggi algebrici.
Britannica consiglia di convalidare ogni primitiva ricavata calcolandone la derivata, per accertarsi che coincida perfettamente con la funzione integranda di partenza.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.