Kalkulator Kebarangkalian

Kebarangkalian mengukur sejauh mana sesuatu peristiwa berkemungkinan akan berlaku. Nilainya berkisar dari 0 (mustahil) hingga 1 (pasti).

Dalam istilah harian, kebarangkalian 0.5 bermaksud peluang 50-50.

Kalkulator kami mengendalikan semua jenis kebarangkalian standard yang digunakan dalam statistik, matematik, analisis perjudian, dan sains.

• Kebarangkalian asas membahagikan hasil yang diingini dengan jumlah keseluruhan hasil.
• Untuk beberapa peristiwa bebas, darabkan kebarangkalian (DAN) atau gunakan formula kesatuan (ATAU).
• Kebarangkalian bersyarat mempersoalkan 'bagaimana jika kita sudah tahu B telah berlaku?'
• Kebarangkalian binomial mengendalikan percubaan bebas yang berulang seperti melambung syiling sebanyak n kali.

Untuk mengira kebarangkalian bagi satu peristiwa, bahagikan bilangan hasil yang diingini dengan jumlah keseluruhan hasil yang mempunyai kemungkinan yang sama: P(A) = hasil diingini / jumlah hasil.

Sebagai contoh, menarik kad merah daripada dek 52 kad standard memberikan P = 26/52 = 1/2 = 50% (pengiraan yang boleh dipermudahkan dengan kalkulator pecahan). Definisi klasik ini mengandaikan setiap hasil mempunyai kemungkinan yang sama untuk berlaku, satu idea yang diformalkan oleh Pierre-Simon Laplace dan diterangkan oleh Encyclopaedia Britannica as the foundation of probability theory.

Keputusan sentiasa berada di antara 0 dan 1, atau 0% dan 100%. Apabila hasil tidak mempunyai kemungkinan yang sama, kebarangkalian sebaliknya dianggarkan daripada kekerapan relatif jangka panjang yang diperhatikan melalui banyak percubaan yang berulang.

Tiga peraturan merangkumi kebanyakan masalah kebarangkalian.

• Peraturan pelengkap menyatakan P(bukan A) = 1 - P(A).
• Peraturan pendaraban untuk peristiwa bebas memberikan P(A dan B) = P(A) x P(B); manakala untuk peristiwa bersandar, ia menggunakan kebarangkalian bersyarat, P(A dan B) = P(A) x P(B|A).
• Peraturan penambahan umum ialah P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A and B), yang menolak pertindihan yang dikira dua kali.

As Wolfram MathWorld notes, apabila peristiwa adalah saling eksklusif, persilangannya adalah sifar, jadi formula tersebut diringkaskan menjadi P(A) + P(B). Peraturan-peraturan ini digabungkan untuk menyelesaikan senario majmuk seperti cabutan berperingkat atau percubaan berulang.

Kebarangkalian bersyarat, ditulis sebagai P(A|B), ialah kebarangkalian berlakunya A dengan syarat B telah pun berlaku: P(A|B) = P(A and B) / P(B).

Teorem Bayes menyongsangkan hubungan ini, dengan menyatakan P(A|B) = [P(B|A) x P(A)] / P(B). Ia membolehkan anda mengemas kini kepercayaan awal dengan bukti baharu, dan Khan Academy menekankannya sebagai penggerak di sebalik tafsiran ujian perubatan dan penapisan e-mel spam.

Hasil klasik daripada konsep ini ialah pengabaian kadar asas: malah ujian yang 99% tepat untuk penyakit jarang berlaku yang menjejaskan 1 dalam 1,000 orang akan menghasilkan kebanyakan keputusan positif palsu, kerana kebarangkalian awal yang kecil itu mendominasi. Penaakulan Bayesian membetulkan perkara ini dengan mengimbangi bukti berbanding sejauh mana penyakit itu benar-benar biasa berlaku.

Formula binomial memberikan kebarangkalian untuk mendapatkan tepat k kejayaan dalam n percubaan bebas, masing-masing dengan kebarangkalian kejayaan p: P(X=k) = C(n,k) x p^k x (1-p)^(n-k), di mana C(n,k) ialah bilangan gabungan.

Sebagai contoh, peluang untuk mendapat tepat 3 kali gambar kepala dalam 5 lambungan syiling adil ialah C(5,3) x 0.5^3 x 0.5^2 = 10 x 0.125 x 0.25 = 0.3125, atau 31.25%. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods mendokumentasikan min taburan binomial, np, dan varians, np(1-p).

Model binomial terpakai apabila:

• percubaan adalah bebas,
• bilangan percubaan adalah tetap,
• dan setiap percubaan hanya mempunyai dua hasil, iaitu kejayaan atau kegagalan.

Bagi sebiji dadu adil, setiap permukaan mempunyai kebarangkalian 1/6. Dengan dua biji dadu, terdapat 36 hasil jujukan yang mempunyai kemungkinan yang sama, jadi jumlah hasil tambah yang paling biasa, iaitu 7, boleh berlaku dalam 6 cara (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), memberikan P(jumlah=7) = 6/36 = 1/6.

Dek 52 kad standard mempunyai 4 bunga dan 13 nilai: P(sebarang Ace) = 4/52 = 1/13, dan P(kad Heart/Lekuk) = 13/52 = 1/4.

Cabutan berbilang langkah menggunakan peraturan pendaraban; sebagai contoh, mendapat dua kad Ace tanpa pemulangan ialah 4/52 x 3/51 = 12/2652, iaitu kira-kira 0.45%. Britannica mengaitkan kaedah pengiraan ini dengan surat-menyurat antara Fermat dan Pascal mengenai permainan nasib.

Dua peristiwa adalah bebas apabila berlakunya satu peristiwa tidak mengubah kebarangkalian peristiwa yang satu lagi; secara rasminya, P(A|B) = P(A). Melambung syiling sebanyak dua kali adalah peristiwa bebas kerana lambungan pertama tidak mempengaruhi lambungan kedua.

Peristiwa adalah bersandar apabila hasil daripada satu peristiwa mengubah ruang sampel untuk peristiwa seterusnya, seperti yang berlaku dalam pensampelan tanpa pemulangan. Wolfram MathWorld menegaskan bahawa kebebasan peristiwa mesti disahkan, bukan sekadar diandaikan.

Kesilapan yang sering dilakukan di dalam kelas adalah mendarabkan kebarangkalian seolah-olah peristiwa tersebut adalah bebas sedangkan ia sebenarnya saling berkait, seperti menarik kad tanpa memulangkannya semula, yang mana ia akan menaikkan atau menurunkan peluang sebenar bagi hasil majmuk.

Kebarangkalian memacu keputusan dalam pelbagai bidang.

• Syarikat insurans menetapkan harga polisi menggunakan jangkaan kekerapan dan tahap keseriusan tuntutan.
• Penyelidik perubatan melaporkan kesan rawatan dan ketepatan diagnosis sebagai kebarangkalian bersyarat.
• Ahli meteorologi menyatakan 30% peluang hujan sebagai pecahan daripada keadaan cuaca lalu yang serupa yang menghasilkan hujan.

Dalam bidang kewangan, kebarangkalian menjadi asas kepada model risiko dan penentuan harga opsyen, manakala jurutera kawalan kualiti menggunakan model binomial dan Poisson untuk menetapkan had toleransi kecacatan. Pengelas pembelajaran mesin, seperti yang terkandung dalam Khan Academy dan kursus statistik moden, menghasilkan kebarangkalian bagi setiap label.

Malah pilihan harian, daripada membawa payung hinggalah membeli waranti, merupakan pengiraan kebarangkalian tersirat yang mengimbangi antara kemungkinan dan kos.

Kesilapan yang paling biasa berpunca daripada salah menilai kebebasan peristiwa dan kebarangkalian awal.

• Falasi penjudi mengandaikan keputusan lalu mempengaruhi percubaan bebas pada masa hadapan, menyebabkan orang ramai menjangkakan gambar kepala selepas beberapa kali mendapat ekor, walaupun setiap lambungan kekal 50%.
• Pengabaian kadar asas mengabaikan betapa jarangnya sesuatu peristiwa berlaku semasa mentafsir bukti, sekali gus memesongkan penaakulan keputusan ujian.
• Mengelirukan P(A|B) dengan P(B|A), iaitu ralat kebarangkalian songsang, menterbalikkan sebab dan akibat.
• Ada juga yang terlupa untuk menolak pertindihan dalam peraturan ATAU, menyebabkan hasil yang dikongsi dikira dua kali, atau menambah kebarangkalian peristiwa yang tidak saling eksklusif.

Masalah hari lahir yang bertentangan dengan gerak hati, di mana hanya 23 orang memberikan 50.7% peluang untuk berkongsi tarikh lahir yang sama, menunjukkan bagaimana gerak hati kita sering memandang rendah kebarangkalian majmuk.

Nilai jangkaan ialah purata hasil jangka panjang bagi satu proses rawak, yang dikira dengan mendarabkan setiap hasil dengan kebarangkaliannya dan menjumlahkan keputusan tersebut: E(X) = Hasil tambah x_i x P(x_i).

Bagi sebiji dadu adil, nilai jangkaannya ialah (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5, walaupun nombor 3.5 tidak akan pernah diperoleh daripada balingan dadu. Wolfram MathWorld mentakrifkannya sebagai momen pertama bagi sesuatu taburan, dan ia amat penting dalam membuat keputusan di bawah ketidakpastian.

Permainan atau pertaruhan dengan nilai jangkaan negatif akan mengalami kerugian wang secara purata dari semasa ke semasa, itulah sebabnya permainan kasino direka bentuk dengan kelebihan memihak kepada kasino (house edge). Nilai jangkaan menghubungkan kebarangkalian mentah kepada keputusan praktikal yang boleh diukur.