Calculatorul nostru de Numere Complexe gestionează fiecare operație aritmetică standard cu numere complexe într-un singur loc. Introdu numerele în formă dreptunghiulară (a + bi) sau polară (r∠θ), apoi alege dintre adunare, scădere, înmulțire, împărțire, modul, argument, conjugat, conversie polară, ridicare la putere folosind teorema lui De Moivre, rădăcini de ordinul n și exponențiala complexă e^z. Fiecare operație afișează pași detaliați de rezolvare, astfel încât să poți urmări metoda, să îți verifice munca sau să înveți matematica din spate.
Z₁ = 3 + 4i | |Z₁| = 5 | arg = 53.13°
Z₂ = 1 − 2i
Computes Z₁ⁿ using De Moivre's theorem
Quick Examples:
Result (Rectangular)
—
Polar Form
Modulus |Z|
—
Argument θ
—
—
All Roots
format_list_numbered Step-by-Step
iⁿ cycles with period 4: use n mod 4
Introdu părțile reală și imaginară ale primului număr complex Z₁ = a + bi
Pentru operații binare (adunare, scădere, înmulțire, împărțire), introdu și Z₂ = c + di
Selectează din 11 operații: aritmetică, modul, argument, conjugat, formă polară, putere, rădăcini sau e^z
Vezi rezultatul atât în formă rectangulară (a+bi), cât și polară (r∠θ), cu pașii de rezolvare detaliați
Un număr complex z = a + bi are partea reală a și partea imaginară b. Modulul este |z| = √(a²+b²). Argumentul θ = atan2(b, a). Înmulțirea este cel mai simplu de efectuat în formă polară: |z₁||z₂|∠(θ₁+θ₂). Împărțirea: (|z₁|/|z₂|)∠(θ₁−θ₂). Puterile se calculează prin formula lui De Moivre: z^n = rⁿ(cos nθ + i·sin nθ).
z = a + bi, |z| = √(a²+b²), z^n = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
Reține: i² = −1. Aceasta este identitatea cheie pentru înmulțirea complexă
Modul și argument: |z| = √(a²+b²), θ = atan2(b, a)
Conjugatul lui (a+bi) este (a−bi). Înmulțirea z·z* = |z|² (întotdeauna real)
Pentru puteri și rădăcini, teorema lui De Moivre este mult mai ușoară decât dezvoltarea
Înmulțire polară: înmulțește modulele, adună argumentele
Rădăcinile de ordinul n ale lui z sunt egal distanțate pe un cerc de rază ⁿ√|z|
Numerele complexe extind sistemul numėrelor reale prin introducerea unității imaginare i, unde i la pătrat este egal cu minus unu. Departe de a fi un concept pur abstract, numerele complexe sunt instrumente esențiale în electrotehnică pentru analiza circuitelor de curent alternativ folosind notația fazorială, în procesarea semnalelor pentru reprezentarea componentelor de frecvență prin transformata Fourier, în sistemele de control pentru analiza stabilității și în mecanica cuantică pentru descrierea funcțiilor de undă. Un număr complex z = a + bi are o parte reală a și o parte imaginară b și poate fi exprimat în mod echivalent în formă polară ca r ori e la puterea i-theta, unde r este magnitudinea iar theta este argumentul. Conversia între formele rectangulară și polară, calculul produselor și câturilor, aflarea puterilor și a rădăcinilor — toate aceste operații urmează reguli specifice care sunt directe, dar obositoare de efectuat manual, în special când precizia contează. Acest calculator de numere complexe gestionează toate operațiile standard, inclusiv adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, puterile, rădăcinile de ordin n, conjugații și calculele de magnitudine, afișând soluții detaliate pas cu pas pentru fiecare operație.
Un calculator de numere complexe efectuează operații aritmetice și geometrice cu numere de forma a + bi, unde i este unitatea imaginară (i² = −1).
Calculatorul nostru acceptă toate operațiile standard:
Numerele complexe pot fi exprimate în formă rectangulară (a + bi) sau formă polară (r∠θ).
Modulul r = √(a²+b²) este distanța față de origine, iar argumentul θ = atan2(b,a) este unghiul.
Forma polară face ca înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere să fie mult mai simple: înmulțești modulele și aduni argumentele.
Un număr complex este un număr de forma a + bi, unde a și b sunt numere reale, iar i este unitatea imaginară definită prin i² = −1. Partea reală este a, iar partea imaginară este b.
Numerele complexe au apărut deoarece ecuații precum x² + 1 = 0 nu au nicio soluție reală, așa că matematicienii au extins sistemul numeric pentru a include √−1.
Conform Wolfram MathWorld, numerele complexe formează un corp algebric închis, ceea ce înseamnă că orice polinom neconstant are o rădăcină printre ele.
Geometric, a + bi este un punct (a, b) în planul complex, având axa orizontală pentru valorile reale și axa verticală pentru cele imaginare.
Khan Academy notează că înmulțirea cu conjugatul elimină partea imaginară de la numitor, deoarece (c+di)(c−di) = c²+d² este întotdeauna real. Aceste patru operații păstrează structura a + bi.
Modulul unui număr complex z = a + bi este distanța acestuia față de origine în planul complex, dată de |z| = √(a²+b²). De exemplu, |3+4i| = √(9+16) = √25 = 5.
Argumentul este unghiul θ față de axa reală pozitivă, calculat ca θ = atan2(b, a), raportat de obicei între −π și π.
După cum descrie Biblioteca Digitală de Funcții Matematice a NIST, modulul și argumentul oferă împreună coordonatele polare ale lui z. Modulul este întotdeauna negativ, iar înmulțirea unui număr complex cu conjugatul său produce modulul la pătrat: z·z* = |z|², care este întotdeauna un număr real.
Pentru a converti un număr complex din formă rectangulară a + bi în formă polară r∠θ, calculează modulul r = √(a²+b²) și argumentul θ = atan2(b, a).
Pentru a reveni de la polar la rectangular, folosește a = r·cos θ și b = r·sin θ.
De exemplu, 1 + i are r = √2 ≈ 1.414 și θ = 45°, deci forma sa polară este √2 ∠45°.
Encyclopaedia Britannica explică faptul că reprezentarea polară face ca înmulțirea și împărțirea să fie intuitive, deoarece înmulțești sau împarți modulele și aduni sau scazi argumentele. Forma rectangulară este cea mai bună pentru adunare și scădere, în timp ce forma polară simplifică produsele, câturile, puterile și rădăcinile.
Teorema lui De Moivre afirmă că pentru z = r(cos θ + i sin θ), a n-a putere este z^n = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Ridică modulul la puterea n și înmulțește argumentul cu n.
De exemplu, (1+i) are r = √2 și θ = 45°, deci (1+i)² = (√2)²(cos 90° + i sin 90°) = 2(0 + i) = 2i, ceea ce se potrivește cu dezvoltarea directă.
Wolfram MathWorld prezintă formula lui De Moivre ca o consecință directă a formulei lui Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Această metodă evită înmulțirile repetate și obositoare necesare pentru a dezvolta puteri mari în formă rectangulară.
Orice număr complex nenul are exact n rădăcini de ordinul n distincte. Pentru z = r∠θ, rădăcinile sunt z_k = ⁿ√r ∠(θ/n + 360°k/n) pentru k = 0, 1, …, n−1. Ele se află la distanțe egale pe un cerc cu raza ⁿ√r în planul complex.
De exemplu, cele trei rădăcini cubice ale lui 8 sunt 2∠0°, 2∠120° și 2∠240°.
Cazul special al rădăcinilor de ordinul n ale unității — soluțiile ecuației zⁿ = 1 — este catalogat în OEIS și formează vârfurile unui poligon regulat cu n laturi pe cercul unitate.
Așa cum notează NIST DLMF, această spațiere egală decurge direct din adăugarea lui 2π/n la unghi pentru fiecare rădăcină succesivă.
Conjugatul complex al lui z = a + bi este z* = a − bi, obținut prin inversarea semnului părții imaginare. Geometric, acesta reflectă numărul față de axa reală.
Conjugatul are două proprietăți cheie:
Khan Academy subliniază că conjugatele sunt instrumentul standard pentru împărțirea numerelor complexe, deoarece înmulțirea numitorului cu conjugatul său elimină partea imaginară.
Conjugatele apar și în fizică și procesarea semnalelor, unde mărimi precum puterea și probabilitatea depind de înmulțirea unei valori complexe cu conjugatul său pentru a obține o magnitudine reală.
Numerele complexe sunt indispensabile în inginerie și știință:
Encyclopaedia Britannica notează că identitatea lui Euler e^(iπ) + 1 = 0 leagă în mod elegant constantele e, i, π, 1 și 0. Dinamica fluidelor și geometria fractală, cum ar fi mulțimea Mandelbrot, se bazează de asemenea pe aritmetica complexă.
Confirmă întotdeauna ce unitate de măsură așteaptă formula ta înainte de a calcula sinusuri și cosinusuri.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.