Kalkulačka rezonanční frekvence

V LC obvodu dochází k neustálému přelévání energie mezi magnetickým polem cívky a elektrickým polem kondenzátoru. Při resonanční frekvenci f₀ = 1/(2π√(LC)) je tato výměna energie nejúčinnější.

Reaktance cívky XL = 2πfL s frekvencí roste, zatímco reaktance kondenzátoru XC = 1/(2πfC) klesá. Přesně při f₀ platí XL = XC a reaktanční složky se vzájemně vyruší.

Pro cívku o indukčnosti 10μH a kondenzátor 100pF: f₀ = 1/(2π√(10×10⁻⁶ × 100×10⁻¹²)) ≈ 5.03 MHz.

Činitel jakosti Q = (1/R)√(L/C) určuje šířku pásma — vyšší Q znamená ostřejší ladění, ale užší šířku pásma.

Každý rádiový přijímač využívá LC rezonanci k výběru stanic. AM rádio laďuje v rozsahu 530-1700 kHz změnou kapacity kondenzátoru při pevné indukčnosti cívky. FM rádia pracují na frekvencích 88-108 MHz na obdobném principu.

Pásmové propusti kombinují LC obvody tak, aby propouštěly specifický frekvenční rozsah a ostatní potlačovaly — základnové stanice mobilních sítí používají dutinové rezonátory s činitelem jakosti Q přesahujícím 10 000.

Ve napájecích zdrojích pracují LLC rezonanční měniče blízko rezonance pro spínání při nulovém napětí, čímž dosahují účinnosti přes 95 %. Krystalové oscilátory využívají mechanickou rezonanci křemene (ekvivalentní LC obvodu s extrémně vysokým Q) pro přesné generování hodinového signálu — běžné křemenné krystaly mají činitel Q v rozmezí 10 000-100 000 v porovnání s hodnotami 10-100 u diskrétních LC obvodů.

Tolerance součástek přímo ovlivňují přesnost rezonance. Kondenzátor s jmenovitou hodnotou 100pF ±10% může mít ve skutečnosti 90-110pF, což posune resonanční frekvenci o ±5%. Pro přesné aplikace používejte keramické kondenzátory typu C0G/NP0 (±1%) a vzduchové cívky nebo cívky s jádrem z prachového železa s úzkou tolerancí.

Důležité jsou také parazitní vlastnosti — každý kondenzátor má parazitní indukčnost (ekvivalentní sériová indukčnost, ESL) a každá cívka má parazitní kapacitu (vlastní rezonanční frekvence). Nad vlastní rezonanční frekvencí se cívka chová jako kondenzátor.

Indukčnost spojů na plošném spoji (přibližně 1nH na mm) a kapacita pájecích ploch (0.1-0.5pF) začínají být významné nad 100 MHz. Na gigahertzových frekvencích nahrazují diskrétní LC součástky distribuované prvky (mikropásková a pásková vedení).

Chcete-li vypočítat resonanční frekvenci LC obvodu, použijte vzorec f = 1/(2π√(LC)), kde L je indukčnost v henry (H) a C je kapacita ve faradech (F). Nejprve převeďte obě hodnoty na základní jednotky SI.

Například cívka o indukčnosti 100 µH (1×10⁻⁴ H) s kondenzátorem 100 pF (1×10⁻¹⁰ F) dává LC = 1×10⁻¹⁴, tedy √(LC) = 1×10⁻⁷ a f = 1/(2π×1×10⁻⁷) ≈ 1.5915 MHz.

Jde o frekvenci, při níž se indukční a kapacitní reaktance vzájemně vyruší. HyperPhysics (Georgia State University) uvádí tento vztah jako standardní podmínku sériové rezonance.

Vlastní frekvence netlumeného systému pružina–hmota je fₙ = (1/2π)√(k/m), kde k je tuhost pružiny v newtonech na metr (N/m) a m je hmotnost v kilogramech (kg).

Pro pružinu s k = 200 N/m se zavěšenou hmotností 0.5 kg: k/m = 400, √400 = 20, tedy fₙ = 20/(2π) ≈ 3.183 Hz.

Všimněte si totožného matematického tvaru se vzorcem pro LC obvod — tuhost k odpovídá hodnotě 1/C a hmotnost m odpovídá indukčnosti L. Khan Academy popisuje tento vztah pro jednoduchý harmonický pohyb, který tvoří základ analýzy mechanických kmitů.

Pro sériový RLC obvod je činitel jakosti určen jako Q = (1/R)√(L/C) a šířka pásma v poklesu −3 dB je BW = f₀/Q, přičemž oba vztahy vycházejí z resonanční frekvence f₀ = 1/(2π√(LC)).

Příklad: pro R = 10 Ω, L = 100 µH a C = 100 pF vychází L/C = 1×10⁶, √(1×10⁶) = 1000, tedy Q = 1000/10 = 100. Při f₀ ≈ 1.5915 MHz je šířka pásma BW = 1.5915 MHz / 100 ≈ 15.915 kHz.

Vyšší hodnota Q poskytuje ostřejší a selektivnější špičku. Slovník IEEE Standard 100 definuje Q jako 2π-násobek akumulované energie dělené energií rozptýlenou během jednoho cyklu.

Rezonanční frekvence se vyjadřuje v hertzech (Hz), což je jednotka SI označující cykly za sekundu, definovaná organizacemi BIPM a NIST jako s⁻¹. Indukčnost používá henry (H = V·s/A = kg·m²·s⁻²·A⁻²) a kapacita farad (F = A·s/V).

V obvodech se obvykle vyskytují s násobnými předponami:

• mikrohenry (µH, 10⁻⁶)
• pikofarady (pF, 10⁻¹²)
• kilohertzy (kHz) a megahertzy (MHz).

Mechanické systémy používají N/m pro tuhost pružiny a kg pro hmotnost. Úhlová frekvence ω = 2πf se měří v radiánech za sekundu (rad/s). Před použitím vzorců vždy převeďte hodnoty na základní jednotky SI, aby výsledná hodnota vyšla přímo v hertzech, jak doporučuje NIST pro koherentní jednotky.

Úhlová frekvence ω souvisí s běžnou frekvencí vztahem ω = 2πf, přičemž se měří v radiánech za sekundu, zatímco f je v hertzech. Při LC rezonanci se úhlová rezonanční frekvence elegantně zjednoduší na ω₀ = 1/√(LC), takže f₀ = ω₀/(2π) = 1/(2π√(LC)). Pro systém pružina–hmotnost platí ω₀ = √(k/m).

Inženýři často pracují s ω, protože výrazy pro reaktanci — indukční X_L = ωL a kapacitní X_C = 1/(ωC) — jsou přehlednější. Při rezonanci platí ωL = 1/(ωC), což lze upravit na ω² = 1/(LC). Encyclopaedia Britannica uvádí, že tato společná oscilační forma propojuje elektrickou a mechanickou rezonanci.

Rezonanční frekvence ovlivňuje technologie v mnoha oborech. Rádiové a televizní tunery využívají LC obvody k výběru jedné stanice a potlačení ostatních; přístroje magnetické rezonance (MRI) dolaďují VF cívky na Larmorovu frekvenci protonů; a bezdrátové nabíječky slaďují rezonanci vysílací a přijímací cívky pro efektivní přenos energie.

V mechanice inženýři počítají vlastní frekvenci, aby ochránili mosty, budovy, lopatky turbín a zavěšení kol před destruktivní rezonancí — zřícení mostu Tacoma Narrows v roce 1940 je učebnicovým varovným příkladem.

Rezonanci využívají také hudební nástroje, krystalové hodiny a gyroskopy MEMS. Databáze HyperPhysics a Britannica tyto elektrické, mechanické a akustické příklady podrobně dokumentují.

Sériové a paralelní LC obvody mají stejnou rezonanční frekvenci, f₀ = 1/(2π√(LC)), ale při této frekvenci se chovají opačně.

Sériový LC obvod dosahuje při rezonanci minimální impedance (ideálně nulové, omezené pouze odporem), takže rezonanční frekvenci propouští — funguje jako rezonanční propust. Paralelní LC obvod (paralelní rezonanční obvod) dosahuje při rezonanci maximální impedance, čímž rezonanční frekvenci blokuje a chová se jako rezonanční zádrž.

Tento rozdíl určuje topologii filtrů: sériový LC obvod tvoří pásmové propusti vůči zemi, zatímco paralelní LC obvod tvoří pásmové zádrže nebo zátěže s vysokou impedancí. Databáze HyperPhysics znázorňuje obě impedanční křivky pro návrh laděných obvodů.

Nejčastější chybou je opomenutí převodu předpon na základní jednotky SI — zadání 100 (µH) jako 100 H namísto 1×10⁻⁴ H zkreslí výsledek miliónkrát.

• Další chybou je vynechání faktoru 2π, což vede k záměně úhlové frekvence ω₀ = 1/√(LC) s běžnou frekvencí f₀.
• Dejte si pozor na druhou odmocninu: vztahuje se na celý součin LC, nikoli zvlášť na L a C.
• Pro činitel jakosti Q si pamatujte, že Q = (1/R)√(L/C) platí pro sériový obvod; paralelní obvody používají Q = R√(C/L).
• Reálné součástky navíc mají parazitní odpor a vlastní rezonanci, takže naměřená frekvence se mírně odchyluje od ideálního výpočtu, jak uvádějí pokyny NIST pro měření.