Υπολογιστής Μιγαδικών Αριθμών

Ένας υπολογιστής μιγαδικών αριθμών εκτελεί αριθμητικές και γεωμετρικές πράξεις σε αριθμούς της μορφής a + bi, όπου i είναι η φανταστική μονάδα (i² = −1).

Ο υπολογιστής μας υποστηρίζει όλες τις βασικές πράξεις:

• πρόσθεση
• αφαίρεση
• πολλαπλασιασμός
• διαίρεση
• μέτρο
• όρισμα
• συζυγής
• μετατροπή σε πολική μορφή
• δυνάμεις De Moivre
• νιοστές ρίζες
• μιγαδική εκθετική συνάρτηση

Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν σε ορθογώνια μορφή (a + bi) ή πολική μορφή (r∠θ).

Το μέτρο r = √(a²+b²) είναι η απόσταση από την αρχή των αξόνων και το όρισμα θ = atan2(b,a) είναι η γωνία.

Η πολική μορφή απλοποιεί σημαντικά τον πολλαπλασιασμό, τη διαίρεση και τις δυνάμεις: πολλαπλασιάστε τα μέτρα και προσθέστε τα ορίσματα.

Ένας μιγαδικός αριθμός είναι ένας αριθμός της μορφής a + bi, όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί και i είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται από τη σχέση i² = −1. Το πραγματικό μέρος είναι το a και το φανταστικό μέρος είναι το b.

Οι μιγαδικοί αριθμοί προέκυψαν επειδή εξισώσεις όπως η x² + 1 = 0 δεν έχουν πραγματική λύση, οπότε οι μαθηματικοί επέκτειναν το σύστημα αριθμών ώστε να περιλαμβάνει το √−1.

Σύμφωνα με το Wolfram MathWorld, οι μιγαδικοί αριθμοί σχηματίζουν ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα, που σημαίνει ότι κάθε μη σταθερό πολυώνυμο έχει μια ρίζα ανάμεσά τους.

Γεωμετρικά, το a + bi είναι ένα σημείο (a, b) στο μιγαδικό επίπεδο, με τον οριζόντιο άξονα για τις πραγματικές τιμές και τον κατακόρυφο άξονα για τις φανταστικές τιμές.

• Για την πρόσθεση ή την αφαίρεση μιγαδικών αριθμών, συνδυάστε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος ξεχωριστά: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i.
• Ο πολλαπλασιασμός χρησιμοποιεί την επιμεριστική ιδιότητα και την ταυτότητα i² = −1: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i. Για παράδειγμα, (3+4i)(1−2i) = 11 − 2i.
• Η διαίρεση πολλαπλασιάζει τον αριθμητή και τον παρανομαστή με τον συζυγή του παρανομαστή, δίνοντας (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²).

Το Khan Academy σημειώνει ότι ο πολλαπλασιασμός με τον συζυγή απαλλάσσει τον παρανομαστή από το φανταστικό μέρος, αφού το (c+di)(c−di) = c²+d² είναι πάντα πραγματικός αριθμός. Αυτές οι τέσσερις πράξεις διατηρούν τη δομή a + bi.

Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z = a + bi είναι η απόστασή του από την αρχή των αξόνων στο μιγαδικό επίπεδο, η οποία δίνεται από τον τύπο |z| = √(a²+b²). Για παράδειγμα, |3+4i| = √(9+16) = √25 = 5.

Το όρισμα είναι η γωνία θ από τον θετικό πραγματικό άξονα, η οποία υπολογίζεται ως θ = atan2(b, a), και συνήθως αναφέρεται μεταξύ −π και π.

Όπως περιγράφει η Ψηφιακή Βιβλιοθήκη Μαθηματικών Συναρτήσεων του NIST, το μέτρο και το όρισμα μαζί δίνουν τις πολικές συντεταγμένες του z. Το μέτρο είναι πάντα μη αρνητικό, και ο πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού αριθμού με τον συζυγή του δίνει το μέτρο στο τετράγωνο: z·z* = |z|², το οποίο είναι πάντα πραγματικός αριθμός.

Για να μετατρέψετε έναν μιγαδικό αριθμό από ορθογώνια μορφή a + bi σε πολική μορφή r∠θ, υπολογίστε το μέτρο r = √(a²+b²) και το όρισμα θ = atan2(b, a).

Για να επιστρέψετε από την πολική στην ορθογώνια μορφή, χρησιμοποιήστε τα a = r·cos θ και b = r·sin θ.

Για παράδειγμα, το 1 + i έχει r = √2 ≈ 1.414 και θ = 45°, οπότε η πολική του μορφή είναι √2 ∠45°.

Η Encyclopaedia Britannica εξηγεί ότι η πολική αναπαράσταση κάνει τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση διαισθητικά, καθώς πολλαπλασιάζετε ή διαιρείτε τα μέτρα και προσθέτετε ή αφαιρείτε τα ορίσματα. Η ορθογώνια μορφή είναι καλύτερη για πρόσθεση και αφαίρεση, ενώ η πολική μορφή απλοποιεί γινόμενα, πηλίκα, δυνάμεις και ρίζες.

Το θεώρημα του De Moivre αναφέρει ότι για z = r(cos θ + i sin θ), η νιοστή δύναμη είναι z^n = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Υψώστε το μέτρο στη δύναμη n και πολλαπλασιάστε το όρισμα με n.

Για παράδειγμα, το (1+i) έχει r = √2 και θ = 45°, οπότε (1+i)² = (√2)²(cos 90° + i sin 90°) = 2(0 + i) = 2i, που συμφωνεί με το άμεσο ανάπτυγμα.

Το Wolfram MathWorld παρουσιάζει τον τύπο του De Moivre ως άμεση συνέπεια του τύπου του Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Αυτή η μέθοδος αποφεύγει τον κουραστικό επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό που απαιτείται για την ανάπτυξη μεγάλων δυνάμεων σε ορθογώνια μορφή.

Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός έχει ακριβώς n διαφορετικές νιοστές ρίζες. Για z = r∠θ, οι ρίζες είναι z_k = ⁿ√r ∠(θ/n + 360°k/n) για k = 0, 1, …, n−1. Βρίσκονται ισαπέχουσες σε έναν κύκλο ακτίνας ⁿ√r στο μιγαδικό επίπεδο.

Για παράδειγμα, οι τρεις κυβικές ρίζες του 8 είναι 2∠0°, 2∠120° και 2∠240°.

Η ειδική περίπτωση των νιοστών ριζών της μονάδας — οι λύσεις της εξίσωσης zⁿ = 1 — είναι καταγεγραμμένες στο OEIS και σχηματίζουν τις κορυφές ενός κανονικού n-γώνου στον μοναδιαίο κύκλο.

Όπως σημειώνει το NIST DLMF, αυτή η ίση κατανομή προκύπτει άμεσα από την προσθήκη 2π/n στη γωνία για κάθε διαδοχική ρίζα.

Ο συζυγής μιγαδικός του z = a + bi είναι ο z* = a − bi, ο οποίος προκύπτει αλλάζοντας το πρόσημο του φανταστικού μέρους. Γεωμετρικά αντικατοπτρίζει τον αριθμό ως προς τον πραγματικό άξονα.

Ο συζυγής έχει δύο βασικές ιδιότητες:

• z + z* = 2a είναι πάντα πραγματικός αριθμός
• z·z* = a² + b² = |z|² είναι πάντα μη αρνητικός πραγματικός αριθμός

Το Khan Academy επισημαίνει ότι οι συζυγείς είναι το βασικό εργαλείο για τη διαίρεση μιγαδικών αριθμών, επειδή ο πολλαπλασιασμός του παρανομαστή με τον συζυγή του αφαιρεί το φανταστικό μέρος.

Οι συζυγείς εμφανίζονται επίσης στη φυσική και την επεξεργασία σημάτων, όπου μεγέθη όπως η ισχύς και η πιθανότητα εξαρτώνται από τον πολλαπλασιασμό μιας μιγαδικής τιμής με τον συζυγή της για τη λήψη ενός πραγματικού μέτρου.

Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι απαραίτητοι στις επιστήμες και τη μηχανική:

• Στην ηλεκτρολογία, τα κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος αναλύονται με διανυσματικές φάσεις (phasors), όπου η σύνθετη αντίσταση είναι μια μιγαδική ποσότητα που συνδυάζει αντίσταση και επαγωγική/χωρητική αντίδραση.
• Στην επεξεργασία σημάτων, ο μετασχηματισμός Fourier αναπαριστά τα σήματα ως αθροίσματα μιγαδικών εκθετικών e^(iωt), διαχωρίζοντάς τα σε συχνότητες.
• Τα συστήματα ελέγχου χρησιμοποιούν το μιγαδικό επίπεδο για την αξιολόγηση της ευστάθειας εντοπίζοντας πόλους και μηδενικά.
• Η κβαντομηχανική είναι θεμελιωδώς βασισμένη σε κυματοσυναρτήσεις μιγαδικών τιμών.

Η Encyclopaedia Britannica σημειώνει ότι η ταυτότητα του Euler e^(iπ) + 1 = 0 συνδέει κομψά τις σταθερές e, i, π, 1 και 0. Η δυναμική των ρευστών και η μορφοκλασματική γεωμετρία (fractals), όπως το σύνολο Mandelbrot, βασίζονται επίσης στη μιγαδική αριθμητική.

• Το πιο συχνό σφάλμα είναι η παράβλεψη του ότι i² = −1, το οποίο αλλάζει το πρόσημο του όρου του γινομένου κατά τον πολλαπλασιασμό· η γραφή i² = 1 δίνει λάθος αποτέλεσμα.
• Ένα άλλο λάθος είναι η εφαρμογή του τύπου √(ab) = √a·√b σε αρνητικούς αριθμούς — αυτός ο κανόνας δεν ισχύει, καθώς √−1·√−1 = −1, όχι √1 = 1.
• Κατά τον υπολογισμό του ορίσματος, πολλοί μαθητές χρησιμοποιούν την απλή arctan(b/a) και καταλήγουν σε λάθος τεταρτημόριο· χρησιμοποιήστε αντί αυτού την atan2(b, a).
• Συχνά επίσης παραλείπονται ρίζες κατά την επίλυση της εξίσωσης zⁿ = w, ξεχνώντας ότι υπάρχουν ακριβώς n ρίζες.
• Τέλος, η ανάμειξη μοιρών και ακτινίων στους πολικούς υπολογισμούς παράγει εσφαλμένες γωνίες.

Να επιβεβαιώνετε πάντα ποια μονάδα απαιτεί ο τύπος σας πριν υπολογίσετε ημίτονα και συνημίτονα.