Ο υπολογιστής ολοκληρωμάτων μας χειρίζεται τόσο αόριστα ολοκληρώματα (αντιπαραγώγους) όσο και ορισμένα ολοκληρώματα (εμβαδόν κάτω από καμπύλη). Εισάγετε μια παράσταση ως προς x και βρείτε την αντιπαράγωγο άμεσα με όλα τα βήματα επξηγημένα. Για ορισμένα ολοκληρώματα, δώστε τα κάτω και άνω όρια για να υπολογίσετε το ακριβές αριθμητικό αποτέλεσμα. Υποστηρίζει πολυώνυμα, τριγωνομετρικές συναρτήσεις (sin, cos, tan, sec, csc, cot), εκθετικές (e^x), λογαρίθμους (ln x), τετραγωνικές ρίζες και κοινές σύνθετες συναρτήσεις. Όταν η συμβολική ολοκλήρωση δεν είναι εφικτή, ο υπολογιστής καταφεύγει σε αριθμητική ολοκλήρωση υψηλής ακρίβειας χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Simpson.
Use ^ for powers, * for multiply, sin/cos/exp/ln/sqrt for functions
Quick Examples
Πληκτρολογήστε τη συνάρτησή σας χρησιμοποιώντας το x ως μεταβλητή. Χρησιμοποιήστε το ^ για δυνάμεις, το * για πολλαπλασιασμό και τυπικά ονόματα συναρτήσεων όπως sin, cos, exp, ln, sqrt.
Επιλέξτε Αόριστο για τη γενική αντιπαράγωγο (με +C), ή Ορισμένο για να υπολογίσετε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μεταξύ δύο ορίων.
Για ορισμένα ολοκληρώματα, εισάγετε το κάτω όριο a και το άνω όριο b. Το αποτέλεσμα θα είναι το καθαρό πρόσημο εμβαδού F(b) - F(a).
Δείτε ποιοι κανόνες ολοκλήρωσης εφαρμόστηκαν (κανόνας δύναμης, αντικατάσταση, κατά παράγοντες) με κάθε βήμα να εξηγείται σαφώς.
Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης. Το αόριστο ολοκλήρωμα ∫f(x)dx δίνει μια οικογένεια συναρτήσεων F(x)+C. Το ορισμένο ολοκλήρωμα ∫[a,b]f(x)dx δίνει το καθαρό πρόσημο εμβαδού κάτω από την καμπύλη από x=a έως x=b, υπολογιζόμενο με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού: F(b) - F(a).
∫f(x)dx = F(x) + C | ∫[a to b]f(x)dx = F(b) - F(a)
Χρησιμοποιήστε το ^ για δυνάμεις: το x^3 σημαίνει x³. Χρησιμοποιήστε το * για πολλαπλασιασμό: 2*x ή απλά 2x
Κανόνας δύναμης: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (για n ≠ -1). Ειδική περίπτωση: ∫x⁻¹dx = ln|x| + C
Τριγωνομετρικά ολοκληρώματα: ∫sin(x)dx = -cos(x)+C, ∫cos(x)dx = sin(x)+C, ∫sec²(x)dx = tan(x)+C
Εκθετική: ∫eˣdx = eˣ+C, ∫aˣdx = aˣ/ln(a)+C
Λογάριθμος: ∫ln(x)dx = x·ln(x) - x + C (χρησιμοποιήστε ολοκλήρωση κατά παράγοντες)
Για το ∫f(ax+b)dx, αντικαταστήστε u=ax+b: το αποτέλεσμα είναι F(ax+b)/a + C
Η ολοκλήρωση είναι μία από τις δύο θεμελιώδεις πράξεις στον απειροστικό λογισμό, μαζί με την παραγώγιση. Ενώ οι παράγωγοι μετρούν στιγμιαίους ρυθμούς μεταβολής, τα ολοκληρώματα συσσωρεύουν ποσότητες — υπολογίζοντας εμβαδά κάτω από καμπύλες, όγκους στερεών, συνολική απόσταση από την ταχύτητα και συσσωρευμένες ποσότητες από ρυθμούς. Ένα αόριστο ολοκλήρωμα αντιστρέφει την παραγώγιση: το ολοκλήρωμα του 2x είναι x² + C, όπου C είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζει το καθαρό πρόσημο εμβαδού μεταξύ μιας συνάρτησης και του άξονα x σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού συνδέει τα δύο, δηλώνοντας ότι το ορισμένο ολοκλήρωμα από a έως b ισούται με F(b) μείον F(a), όπου F είναι οποιοσδήποτε παράγων του ολοκληρωτέου. Οι τεχνικές ολοκλήρωσης κυμαίνονται από απλές εφαρμογές του κανόνα δύναμης έως προηγμένες μεθόδους όπως η αντικατάσταση, η ολοκλήρωση κατά παράγοντες, τα μερικά κλάσματα και οι τριγωνομετρικές ταυτότητες. Ορισμένες συναρτήσεις —όπως η e^(-x²), που είναι κεντρική στην κανονική κατανομή στη στατιστική— δεν έχουν καν κλειστή μορφή παραγόντος, απαιτώντας αριθμητικές μεθόδους όπως ο κανόνας του Simpson ή η Γκαουσιανή τετραγωνιστική μέθοδος. Είτε είστε μαθητής που παρακολουθεί μάθημα λογισμού, μηχανικός που υπολογίζει έργο ή ροή, είτε φυσικός που αξιολογεί πλάτη πιθανότητας, μια στέρεη κατανόηση της ολοκλήρωσης είναι απαραίτητη.
Ένας υπολογιστής ολοκληρωμάτων υπολογίζει τον παράγοντα (αόριστο ολοκλήρωμα) ή το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας μαθηματικής συνάρτησης.
Για τα αόριστα ολοκληρώματα, βρίσκει το F(x)+C όπου F'(x)=f(x). Για τα ορισμένα ολοκληρώματα, υπολογίζει το καθαρό πρόσημο εμβαδού κάτω από την καμπύλη f(x) μεταξύ δύο ορίων χρησιμοποιώντας το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού.
Αυτός ο υπολογιστής υποστηρίζει:
Χρησιμοποιήστε το * για πολλαπλασιασμό, το ^ για ύψωση σε δύναμη και τυπικές παρενθέσεις για ομαδοποίηση.
Η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης σημαίνει την εύρεση μιας νέας συνάρτησης της οποίας η παράγωγος ισούται με την αρχική — το αντίστροφο της παραγώγησης.
Το αποτέλεσμα, που ονομάζεται παράγουσα ή αόριστο ολοκλήρωμα, γράφεται F(x) + C, όπου η παράγωγος F'(x) ισούται με την υποόληψη f(x) και το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Γεωμετρικά, ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μετρά το καθαρό πρόσημο εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης και του άξονα x σε ένα διάστημα.
Σύμφωνα με το Wolfram MathWorld, ένα ολοκλήρωμα είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που μπορεί να αναπαραστήσει εμβαδόν, συσσωρευμένη μεταβολή ή ένα γενικευμένο άθροισμα. Αυτή η διπλή σημασία — αντιπαραγώγιση και εμβαδόν — είναι ο λόγος για τον οποίο ο υπολογισμός χρόνου και ο υπολογισμός ημερών συσχετίζονται στα μαθηματικά μοντέλα, παρόλο που εδώ μιλάμε για calculus.
Για να βρείτε ένα ολοκλήρωμα, εντοπίστε τη δομή της συνάρτησης και ταιριάξτε τη με έναν γνωστό κανόνα.
Πρώτα δοκιμάστε τον κανόνα της δύναμης: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C για n ≠ −1. Για αθροίσματα, ολοκληρώστε κάθε όρο ξεχωριστά· για σταθερά πολλαπλάσια, τραβήξτε τη σταθερά έξω. Όταν η υποόληψη είναι μια σύνθεση επί μια εσωτερική παράγωγο, χρησιμοποιήστε αντικατάσταση u· όταν είναι γινόμενο, δοκιμή ολοκλήρωση κατά παράγοντες.
Για ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, βρείτε την παράγουσα F(x), στη συνέχεια υπολογίστε F(b) − F(a). Για παράδειγμα, ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3. Ο υπολογισμός ημερομηνίας ή άλλων μεγεθών γίνεται με παρόμοια λογική βημάτων, ενώ η Khan Academy παρουσιάζει αυτές τις τεχνικές με ασκήσεις.
Οι βασικοί τύποι ολοκλήρωσης είναι:
Τα τυπικά τριγωνομετρικά αποτελέσματα περιλαμβάνουν ∫sin(x) dx = −cos(x) + C και ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
Δύο δομικές μέθοδοι τα επεκτείνουν: η αντικατάσταση u αντιστρέφει τον κανόνα της αλυσίδας και η ολοκλήρωση κατά παράγοντες, ∫u dv = uv − ∫v du, αντιστρέφει τον κανόνα του γινομένου. Η βιβλιοθήκη NIST DLMF καταλογίζει αυτά τα στοιχειώδη αποτελέσματα μαζί με ολοκληρώματα ειδικών συναρτήσεων, διευκολύνοντας την αφαίρεση ημερομηνίας ή άλλους υπολογισμούς τύπων.
Ένα αόριστο ολοκλήρωμα παράγει μια συνάρτηση: ∫f(x) dx = F(x) + C, μια ολόκληρη οικογένεια παραγουσών που διαφέρουν κατά τη σταθερά C.
Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα παράγει έναν μοναδικό αριθμό: ∫[a,b] f(x) dx ισούται με το καθαρό πρόσημο εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης και του άξονα x από x = a έως x = b. Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού τα συνδέει.
Για παράδειγμα, ∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Η Encyclopaedia Britannica περιγράφει αυτό το θεώρημα ως το κεντρικό αποτέλεσμα που ενοποιεί τους κλάδους του λογισμού, όπως ακριβώς ο υπολογισμός ηλικίας βασίζεται σε βασικές μαθηματικές πράξεις.
Η αντικατάσταση u απλοποιεί ένα ολοκλήρωμα όταν η υποόληψη περιέχει μια σύνθετη συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με την παράγωγο του εσωτερικού της μέρους.
Ορίστε το u ίσο με την εσωτερική έκφραση, υπολογίστε du = u'(x) dx και ξαναγράψτε το ολοκλήρωμα εξ ολοκλήρου ως προς u. Για παράδειγμα, στο ∫2x·cos(x²) dx, έστω u = x² άρα du = 2x dx· το ολοκλήρωμα γίνεται ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
Για τα ορισμένα ολοκληρώματα, είτε μετατρέψτε τα όρια σε τιμές u είτε αντικαταστήστε ξανά πριν από την αξιολόγηση. Η Khan Academy σημειώνει ότι η αναγνώριση του μοτίβου εσωτερικής συνάρτησης και παραγώγου είναι το κλειδί.
Η ολοκλήρωση συσσωρεύει ποσότητες, καθιστώντας την απαραίτητη στην επιστήμη και τη μηχανική:
Το Wolfram MathWorld τονίζει ότι τα ολοκληρώματα υπολογίζουν επίσης μήκη τόξων, εμβαδά επιφανειών και όγκους εκ περιστροφής. Αυτός ο υπολογιστής υποστηρίζει εφαρμογές επιστήμης, ενώ αντίστοιχα εργαλεία εξυπηρετούν τον υπολογιστής ηλικίας ή τον υπολογισμός ωρών εργασίας.
Ορισμένες συναρτήσεις, όπως οι e^(−x²) και sin(x)/x, δεν έχουν κλειστή μορφή παραγώγου που να εκφράζεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις.
Σε αυτές τις περιπτώσεις, η αριθμητική ολοκλήρωση προσεγγίζει το ορισμένο ολοκλήρωμα δειγματοληπτικά. Ο Κανόνας του Simpson προσαρμόζει παραβολές σε ζεύγη υποδιαστημάτων: ∫[a,b] f(x) dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + f(xₙ)], όπου h = (b − a)/n και n είναι άρτιος.
Το σφάλμα του κλιμακώνεται ως O(h⁴), πολύ καλύτερα από το O(h²) του Τραπεζοειδούς Κανόνα. Ο NIST DLMF τεκμηριώνει αυτές τις μεθόδους τετραγωνισμού.
Εξετάστε το ∫₁^e (1/x) dx. Επειδή η υποόληψη είναι 1/x, η παράγουσα είναι ln|x|, όχι αποτέλεσμα κανόνα δύναμης.
Εφαρμόστε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού: ∫₁^e (1/x) dx = [ln|x|]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. Η ακριβής τιμή είναι επομένως 1.
Ως δεύτερο παράδειγμα, ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1.71828. Αυτά τα βήματα αντικατοπτρίζουν ό,τι δείχνει ένας διαδικτυακός υπολογιστής: εντοπισμός τύπου, εισαγωγή ορίων και αφαίρεση.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.