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In un circuito LC, l'energia si trasferisce continuamente tra il campo magnetico dell'induttore e il campo elettrico del condensatore. Alla frequenza di risonanza f₀ = 1/(2π√(LC)), questo scambio di energia è estremamente efficiente.

La reattanza dell'induttore XL = 2πfL aumenta con la frequenza, mentre la reattanza del condensatore XC = 1/(2πfC) diminuisce. Esattamente a f₀, XL = XC e i componenti reattivi si annullano a vicenda.

Per un induttore da 10μH con un condensatore da 100pF: f₀ = 1/(2π√(10×10⁻⁶ × 100×10⁻¹²)) ≈ 5,03 MHz.

Il fattore di qualità Q = (1/R)√(L/C) determina la larghezza di banda: un Q più alto significa una sintonizzazione più nitida ma una larghezza di banda più stretta.

Ogni ricevitore radio utilizza la risonanza LC per selezionare le stazioni. Una radio AM si sintonizza tra 530 e 1700 kHz variando un condensatore e mantenendo fisso l'induttore. Le radio FM operano a 88-108 MHz con principi simili.

I filtri passa-banda combinano circuiti LC per far passare uno specifico intervallo di frequenze respingendone altri: le stazioni base cellulari utilizzano risonatori a cavità con fattori Q superiori a 10.000.

Negli alimentatori, i convertitori risonanti LLC operano vicino alla risonanza per la commutazione a tensione nulla, raggiungendo un'efficienza superiore al 95%. Gli oscillatori al quarzo sfruttano la risonanza meccanica del quarzo (equivalente a un circuito LC ad altissimo Q) per una generazione precisa dei clock: i cristalli di quarzo tipici hanno fattori Q da 10.000 a 100.000 rispetto a 10-100 per i circuiti LC discreti.

Le tolleranze dei componenti influiscono direttamente sulla precisione della risonanza. Un condensatore nominale da 100pF ±10% potrebbe variare tra 90 e 110pF, spostando la frequenza di risonanza del ±5%. Per applicazioni di precisione, utilizza condensatori ceramici C0G/NP0 (±1%) e induttori a nucleo d'aria o in ferro in polvere con tolleranze strette.

Anche gli elementi parassiti sono importanti: ogni condensatore ha un'induttanza parassita (induttanza serie equivalente, ESL) e ogni induttore ha una capacità parassita (frequenza di auto-risonanza). Al di sopra della frequenza di auto-risonanza, un induttore si comporta come un condensatore.

L'induttanza delle tracce del circuito stampato (circa 1nH per mm) e la capacità dei pad (0,1-0,5pF) diventano significative sopra i 100 MHz. Alle frequenze in gigahertz, gli elementi distribuiti (linee microstrip, stripline) sostituiscono completamente i componenti LC discreti.

Per calcolare la frequenza di risonanza di un circuito LC, usa f = 1/(2π√(LC)), dove L è l'induttanza in henry (H) e C è la capacità in farad (F). Per prima cosa, converti entrambi i valori nelle unità base del SI.

Ad esempio, un induttore da 100 µH (1×10⁻⁴ H) con un condensatore da 100 pF (1×10⁻¹⁰ F) produce LC = 1×10⁻¹⁴, quindi √(LC) = 1×10⁻⁷, e f = 1/(2π×1×10⁻⁷) ≈ 1,5915 MHz.

Questa è la frequenza in cui le reattanze induttive e capacitive si annullano. HyperPhysics (Georgia State University) presenta questa come la condizione standard di risonanza serie.

La frequenza naturale di un sistema massa-molla non smorzato è fₙ = (1/2π)√(k/m), dove k è la costante elastica in newton su metro (N/m) e m è la massa in kilogrammi (kg).

Per una molla con k = 200 N/m che sostiene una massa di 0,5 kg: k/m = 400, √400 = 20, quindi fₙ = 20/(2π) ≈ 3,183 Hz.

Nota la forma matematica identica alla formula LC: la rigidità k svolge il ruolo di 1/C e la massa m svolge il ruolo di L. Khan Academy copre questa relazione di moto armonico semplice, che è alla base dell'analisi delle vibrazioni meccaniche.

Per un circuito RLC in serie, il fattore di qualità è Q = (1/R)√(L/C), e la larghezza di banda a −3 dB è BW = f₀/Q, entrambi derivati dalla frequenza di risonanza f₀ = 1/(2π√(LC)).

Esempio: R = 10 Ω, L = 100 µH, C = 100 pF danno L/C = 1×10⁶, √(1×10⁶) = 1000, quindi Q = 1000/10 = 100. Con f₀ ≈ 1,5915 MHz, la larghezza di banda BW = 1,5915 MHz / 100 ≈ 15,915 kHz.

Un Q più elevato produce un picco più nitido e selettivo. Il dizionario IEEE Standard 100 definisce Q come 2π volte l'energia immagazzinata divisa per l'energia dissipata per ciclo.

La frequenza di risonanza è espressa in hertz (Hz), l'unità SI che indica i cicli al secondo, definita dal BIPM e dal NIST come s⁻¹. L'induttanza utilizza l'henry (H = V·s/A = kg·m²·s⁻²·A⁻²), e la capacità utilizza il farad (F = A·s/V).

Nei circuiti queste appaiono scalate:

• microhenry (µH, 10⁻⁶)
• picofarad (pF, 10⁻¹²)
• kilohertz (kHz) e megahertz (MHz).

I sistemi meccanici usano N/m per la costante elastica e kg per la massa. La frequenza angolare ω = 2πf è misurata in radianti al secondo (rad/s). Converti sempre nelle unità SI di base prima di applicare le formule, in modo che il risultato esca direttamente in hertz, secondo le linee guida del NIST sulle unità coerenti.

La frequenza angolare ω si relaziona alla frequenza ordinaria tramite ω = 2πf, misurata in radianti al secondo, mentre f è in hertz. Alla risonanza LC la frequenza di risonanza angolare si semplifica elegantemente in ω₀ = 1/√(LC), quindi f₀ = ω₀/(2π) = 1/(2π√(LC)). Per un sistema massa-molla ω₀ = √(k/m).

Gli ingegneri lavorano spesso con ω perché le espressioni della reattanza — induttiva X_L = ωL e capacitiva X_C = 1/(ωC) — sono più pulite. Alla risonanza ωL = 1/(ωC), che si riorganizza in ω² = 1/(LC). L'Encyclopaedia Britannica nota che questa forma oscillatoria condivisa collega la risonanza elettrica e quella meccanica.

La frequenza di risonanza governa la tecnologia in molti campi. I sintonizzatori radio e TV usano circuiti LC per selezionare una stazione e rifiutarne altre; le macchine MRI sintonizzano le bobine RF sulla frequenza di Larmor dei protoni; e i caricabatterie wireless abbinano la risonanza della bobina di trasmissione e ricezione per un efficiente trasferimento di potenza.

Meccanicamente, gli ingegneri calcolano la frequenza naturale per mantenere ponti, edifici, pale di turbine e sospensioni di veicoli lontani da una risonanza distruttiva — il crollo del ponte di Tacoma Narrows nel 1940 è l'emblematico racconto ammonitivo.

Strumenti musicali, orologi al quarzo e giroscopi MEMS sfruttano tutti la risonanza. HyperPhysics e Britannica documentano questi esempi elettrici, meccanici e acustici in modo approfondito.

I circuiti LC serie e parallelo condividono la stessa frequenza di risonanza, f₀ = 1/(2π√(LC)), ma si comportano in modo opposto a quella frequenza.

Un circuito LC serie raggiunge l'impedenza minima alla risonanza (idealmente zero, limitata solo dalla resistenza), quindi fa passare la frequenza di risonanza, agendo come un circuito accettore. Un circuito LC parallelo (circuito risonante) raggiunge l'impedenza massima alla risonanza, bloccando la frequenza di risonanza e comportandosi come un circuito reiettore.

Questa distinzione guida la topologia dei filtri: l'LC serie forma percorsi passa-banda verso terra, mentre l'LC parallelo forma carichi passa-basso o ad alta impedenza. HyperPhysics illustra entrambe le curve di impedenza per la progettazione di circuiti sintonizzati.

L'errore più frequente è dimenticarsi di convertire i prefissi nelle unità SI di base — inserire 100 (µH) come 100 H invece di 1×10⁻⁴ H sballa il risultato di milioni.

• Un altro è tralasciare il fattore 2π, che confonde la frequenza angolare ω₀ = 1/√(LC) con la frequenza ordinaria f₀.
• Fai attenzione alla radice quadrata: si applica all'intero prodotto LC, non a L e C separatamente.
• Per il fattore Q, ricorda che Q = (1/R)√(L/C) è la forma per il circuito serie; i circuiti parallelo usano Q = R√(C/L).
• Infine, i componenti reali comportano resistenza parassita e autorisonanza, quindi la frequenza misurata si discosta leggermente dal calcolo ideale, come notato nella guida alle misurazioni del NIST.