Kalkulator Bilangan Kompleks

Sebuah kalkulator bilangan kompleks melakukan operasi aritmatika dan geometri pada bilangan dengan bentuk a + bi, di mana i adalah unit imajiner (i² = −1).

Kalkulator kami mendukung semua operasi standar:

• penambahan
• pengurangan
• perkalian
• pembagian
• modulus
• argumen
• konjugat
• konversi bentuk polar
• pangkat De Moivre
• akar ke-n
• eksponensial kompleks

Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk kartesius (a + bi) atau bentuk polar (r∠θ).

Modulus r = √(a²+b²) adalah jarak dari titik asal, dan argumen θ = atan2(b,a) adalah sudutnya.

Bentuk polar membuat perkalian, pembagian, dan pemangkatan menjadi jauh lebih sederhana: kalikan modulus dan jumlahkan argumen.

Sebuah bilangan kompleks adalah bilangan dengan bentuk a + bi, di mana a dan b adalah bilangan riil dan i adalah unit imajiner yang didefinisikan oleh i² = −1. Bagian riil adalah a dan bagian imajiner adalah b.

Bilangan kompleks muncul karena persamaan seperti x² + 1 = 0 tidak memiliki solusi riil, sehingga para matematikawan memperluas sistem bilangan untuk mencakup √−1.

Menurut Wolfram MathWorld, bilangan kompleks membentuk sebuah lapangan tertutup secara aljabar, yang berarti setiap polinomial non-konstanta memiliki akar di antara mereka.

Secara geometri, a + bi adalah sebuah titik (a, b) pada bidang kompleks, dengan sumbu horizontal untuk nilai riil dan sumbu vertikal untuk nilai imajiner.

• Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan kompleks, gabungkan bagian riil dan imajiner secara terpisah: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i.
• Perkalian menggunakan metode FOIL dan identitas i² = −1: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i. Sebagai contoh, (3+4i)(1−2i) = 11 − 2i.
• Pembagian mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, menghasilkan (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²).

Khan Academy mencatat bahwa mengalikan dengan konjugat menghilangkan bagian imajiner dari penyebut, karena (c+di)(c−di) = c²+d² selalu bernilai riil. Keempat operasi ini mempertahankan struktur a + bi.

Modulus dari bilangan kompleks z = a + bi adalah jaraknya dari titik asal pada bidang kompleks, yang diberikan oleh |z| = √(a²+b²). Sebagai contoh, |3+4i| = √(9+16) = √25 = 5.

Argumen adalah sudut θ dari sumbu riil positif, dihitung sebagai θ = atan2(b, a), yang biasanya dilaporkan antara −π dan π.

Sebagaimana dijelaskan oleh Digital Library of Mathematical Functions dari NIST, modulus dan argumen bersama-sama memberikan koordinat polar dari z. Modulus selalu bernilai non-negatif, dan mengalikan bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan kuadrat modulus: z·z* = |z|², yang selalu berupa bilangan riil.

Untuk mengonversi bilangan kompleks dari bentuk kartesius a + bi ke bentuk polar r∠θ, hitung modulus r = √(a²+b²) dan argumen θ = atan2(b, a).

Untuk kembali dari polar ke kartesius, gunakan a = r·cos θ dan b = r·sin θ.

Sebagai contoh, 1 + i memiliki r = √2 ≈ 1.414 dan θ = 45°, sehingga bentuk polarnya adalah √2 ∠45°.

Encyclopaedia Britannica menjelaskan bahwa representasi polar membuat perkalian dan pembagian menjadi intuitif, karena Anda mengalikan atau membagi modulus serta menjumlahkan atau mengurangkan argumen. Bentuk kartesius adalah yang terbaik untuk penambahan dan pengurangan, sementara bentuk polar menyederhanakan hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar.

Teorema De Moivre menyatakan bahwa untuk z = r(cos θ + i sin θ), pangkat ke-n adalah z^n = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Pangkatkan modulus dengan n dan kalikan argumen dengan n.

Sebagai contoh, (1+i) memiliki r = √2 dan θ = 45°, sehingga (1+i)² = (√2)²(cos 90° + i sin 90°) = 2(0 + i) = 2i, yang cocok dengan penjabaran langsung.

Wolfram MathWorld menyajikan rumus De Moivre sebagai konsekuensi langsung dari rumus Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Metode ini menghindari perkalian berulang yang melelahkan yang diperlukan untuk menjabarkan pangkat tinggi dalam bentuk kartesius.

Setiap bilangan kompleks non-nol memiliki tepat n akar ke-n yang berbeda. Untuk z = r∠θ, akar-akarnya adalah z_k = ⁿ√r ∠(θ/n + 360°k/n) untuk k = 0, 1, …, n−1. Akar-akar tersebut terletak dengan jarak yang sama pada sebuah lingkaran dengan radius ⁿ√r di bidang kompleks.

Sebagai contoh, tiga akar pangkat tiga dari 8 adalah 2∠0°, 2∠120°, dan 2∠240°.

Kasus khusus dari akar ke-n dari kesatuan — solusi dari zⁿ = 1 — dikatalogkan dalam OEIS dan membentuk titik-titik sudut dari sebuah n-segi beraturan pada lingkaran satuan.

Sebagaimana dicatat oleh NIST DLMF, jarak yang sama ini mengikuti secara langsung dari penambahan 2π/n ke sudut untuk setiap akar berturut-turut.

Konjugat kompleks dari z = a + bi adalah z* = a − bi, yang diperoleh dengan membalik tanda dari bagian imajiner. Secara geometri, konjugat ini mencerminkan bilangan tersebut terhadap sumbu riil.

Konjugat memiliki dua sifat utama:

• z + z* = 2a selalu berupa bilangan riil
• z·z* = a² + b² = |z|² selalu berupa bilangan riil non-negatif

Khan Academy menyoroti bahwa konjugat adalah alat standar untuk membagi bilangan kompleks, karena mengalikan penyebut dengan konjugatnya akan menghilangkan bagian imajiner.

Konjugat juga muncul dalam fisika dan pemrosesan sinyal, di mana besaran seperti daya dan probabilitas bergantung pada perkalian nilai kompleks dengan konjugatnya untuk mendapatkan besar magnitudo riil.

Bilangan kompleks sangat penting dalam bidang teknik dan sains:

• Dalam teknik elektro, rangkaian arus bolak-balik dianalisis dengan fasor, di mana impedansi adalah kuantitas kompleks yang menggabungkan resistansi dan reaktansi.
• Dalam pemrosesan sinyal, transformasi Fourier merepresentasikan sinyal sebagai jumlah dari eksponensial kompleks e^(iωt), memisahkannya ke dalam komponen frekuensi.
• Sistem kendali menggunakan bidang kompleks untuk menilai stabilitas dengan mencari kutub dan nol.
• Mekanika kuantum pada dasarnya dibangun di atas fungsi gelombang bernilai kompleks.

Encyclopaedia Britannica mencatat bahwa identitas Euler e^(iπ) + 1 = 0 secara elegan menghubungkan konstanta e, i, π, 1, dan 0. Dinamika fluida dan geometri fraktal, seperti himpunan Mandelbrot, juga mengandalkan aritmatika kompleks.

• Kesalahan yang paling sering terjadi adalah lupa bahwa i² = −1, yang mengubah tanda dari suku produk selama perkalian; menulis i² = 1 memberikan hasil yang salah.
• Kesalahan lain adalah menerapkan √(ab) = √a·√b pada bilangan negatif — aturan ini gagal, karena √−1·√−1 = −1, bukan √1 = 1.
• Saat mencari argumen, banyak siswa menggunakan arctan(b/a) biasa dan berakhir di kuadran yang salah; gunakan atan2(b, a) sebagai gantinya.
• Orang juga sering mengabaikan akar saat menyelesaikan zⁿ = w, lupa bahwa ada tepat n akar.
• Terakhir, mencampur derajat dan radian dalam perhitungan polar menghasilkan sudut yang salah.

Selalu konfirmasikan satuan apa yang diharapkan oleh rumus Anda sebelum menghitung sinus dan kosinus.