Наш калькулятор булевої алгебри виконує всі операції цифрової логіки та булевої алгебри в одному місці. Введіть будь-який булевий вираз за допомогою стандартних операторів — AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR, XNOR — та миттєво отримайте таблицю істинності, мінтерми, макстерми, канонічні форми ДНФ і КНФ, а також мінімізований вираз за алгоритмом Квайна — Мак-Класкі. Візуалізатор карт Карно виділяє комірки, які є мінтермами, що полегшує групування та спрощення.
Operators: * or AND = AND | + or OR = OR | ' or ! = NOT | ^ or XOR = XOR | NAND, NOR, XNOR
Click to toggle minterms
Minimal SOP (Simplified)
—
Minterms Σm(…)
—
Maxterms ΠM(…)
—
Canonical SOP
—
Canonical POS
—
format_list_numbered Steps
Truth Table
Karnaugh Map
Введіть свій булевий вираз, використовуючи * (AND), + (OR), ' або ! (NOT), ^ (XOR). Змінні — це окремі літери A-Z.
Таблиця істинності генерується автоматично для всіх комбінацій змінних (до 4 змінних = 16 рядків)
Карта Карно виділяє мінтерми (одиниці), що дозволяє легко побачити групування для спрощення
Перегляньте мінімальний вираз SOP за алгоритмом Квайна-МакКласкі разом із канонічними формами SOP/POS
Булева функція повністю визначається своєю таблицею істинності. Канонічна форма SOP: АБО всіх мінтермів (рядки, де вихід = 1). Канонічна форма POS: І всіх макстермів (рядки, де вихід = 0). Алгоритм Квайна-МакКласкі мінімізує SOP шляхом групування мінтермів, які відрізняються однією змінною.
F = Σm(minterms) = Πm(maxterms)
Використовуйте * або · для AND, + для OR, ' або ! для NOT, ^ для XOR
Закон доповнення: A + A' = 1, A · A' = 0 — використовуйте його для скорочення змінних
Закони Де Моргана: (A·B)' = A'+B' та (A+B)' = A'·B'
Закон поглинання: A + A·B = A та A·(A+B) = A
Групуйте мінтерми у ступенях 2 (1, 2, 4, 8) на карті Карно для отримання мінімальної ДНФ
NAND та NOR — універсальні логічні елементи: будь-яку булеву функцію можна побудувати лише на елементах NAND
Булева алгебра є математичною основою цифрової електроніки, інформатики та проєктування логічних схем. Кожен процесор, чип пам'яті та програмований логічний пристрій покладається на булеві операції — І, АБО, НЕ, XOR, NAND, NOR — для обробки двійкових даних. Інженери та студенти-комп'ютерники регулярно повинні спрощувати булеві вирази, щоб мінімізувати кількість вентилів, зменшити складність схем і оптимізувати енергоспоживання. Одна 4-змінна функція може мати до 16 рядків у своїй таблиці істинності та десятки можливих спрощень. Ручне спрощення за допомогою теорем Де Моргана, законів поглинання та консенсусу є стомлюючим і схильним до помилок, особливо в умовах іспиту. Цей калькулятор булевої алгебри автоматизує весь процес: введіть будь-який вираз з чотирма змінними, і він миттєво створить повну таблицю істинності, визначить усі мінтерми та макстерми, згенерує канонічні форми суми добутків (SOP) та добутку сум (POS), застосує алгоритм Квайна-МакКласкі для гарантовано мінімальних виразів і відобразить кольорову карту Карно для візуальної перевірки. Незалежно от того, чи проєктуєте ви комбінаційну логіку для FPGA, перевіряєте домашнє завдання чи готуєтеся до іспиту з цифрової логіки, цей інструмент замінює години ручної роботи точними покроковими результатами.
Калькулятор булевої алгебри обчислює та спрощує логічні вирази за правилами булевої алгебри.
Він створює таблиці істинності, що показують кожну комбінацію входу/виходу, визначає мінтерми та макстерми, а також застосовує алгоритми мінімізації, такі як Квайн-МакКласкі, щоб знайти найпростіший еквівалентний вираз.
Цей калькулятор приймає кілька стилів позначення:
Змінні — це окремі літери від A до D. Для групування підтримуються дужки.
Приклади: A*B+C', (A OR B) AND NOT C, A NAND B.
Щоб спростити булевий вираз, застосовуйте алгебраїчні закони двійкової логіки, доки подальше зменшення стане неможливим.
Почніть із законів тотожності та заперечення (A + A' = 1, A · A' = 0), потім використайте поглинання (A + A·B = A) і дистрибутивність для винесення спільних змінних за дужки. Теореми Де Моргана перетворюють заперечні групи, а теорема консенсусу видаляє зайві терми. Для систематичного результату перелічіть мінтерми та об'єднайте ті, що відрізняються на один біт.
Як зазначив Джордж Буль у своїй роботі 1854 року, згідно з Британською енциклопедією, ці закони утворюють замкнуту алгебру, де кожен вираз можна звести до мінімальної форми (не завжди унікальної). Цей калькулятор показує кожне правило, застосоване по порядку.
Таблиця істинності містить усі можливі комбінації вхідних змінних і результуючий вихід, даючи повне визначення булевої функції.
Для n змінних є 2^n рядків, тому дві змінні створюють 4 рядки, а чотири змінні — 16 рядків; навпаки, кількість змінних дорівнює логарифму за основою 2 від кількості рядків, який наш калькулятор логарифмів може обчислити для більших функцій. Упорядкуйте вхідні дані в стандартній послідовності двійкового лічильника (00, 01, 10, 11) та обчисліть вираз для кожного рядка.
Згідно зі стандартом IEEE для логічних операцій, вихідний стовпець повністю характеризує функцію незалежно від того, як написаний вираз. Цей інструмент автоматично генерує таблицю істинності, а потім виводить з неї мінтерми (рядки, що дорівнюють 1) та макстерми (рядки, що дорівнюють 0).
Сума добутків (СД, SOP) виражає булеву функцію як операцію АБО для термів І, причому один мінтерм відповідає кожному рядку, де вихід дорівнює 1. Добуток сум (ДС, POS) — це двоїсте поняття: І для термів АБО, по одному макстерму для кожного рядка, де вихід дорівнює 0.
Обидві форми є канонічними та описують одну й ту саму функцію, причому кожну з них можна мінімізувати. У підручниках з цифрового проєктування, на які посилається All About Circuits, зазначається, що СД природним чином відображається на двохелементні мережі вентилів І-АБО, тоді як ДС — на мережі АБО-І.
Виберіть той варіант, який дає менше вентилів для вашої схеми. Калькулятор видає обидві канонічні форми плюс мінімізовану СД для порівняння.
Карта Карно — це сітка, яка впорядковує виходи таблиці істинності так, щоб сусідні фізично комірки відрізнялися рівно на одну змінну, використовуючи порядок у коді Грея (00, 01, 11, 10).
Ця суміжність дозволяє візуально групувати одиниці в прямокутні блоки зі степенями двійки (1, 2, 4, 8) для усунення змінних та отримання мінімальної СД.
Названі на честь Моріса Карно, який опублікував цей метод у 1953 році, карти Карно практичні для кількості змінних до чотирьох або п'яти, перш ніж суміжність стане важко відстежувати. Цей калькулятор створює кольорову карту з підсвічуванням кожного мінтерму, щоб ви могли перевірити алгоритмічний результат на око.
Метод Квайна-Мак-Класкі — це таблична процедура, яка гарантує отримання мінімальної Суми добутків, що робить його надійнішим за карти Карно для функцій із багатьма змінними.
Він перераховує кожен мінтерм у двійковому форматі, групує їх за кількістю бітів зі значенням 1, а потім багаторазово комбінує терми, які відрізняються лише одним бітом, позначаючи усунену позицію тире. Терми, які більше не можуть комбінуватися, є простими імплікантами. Потім діаграма простих імплікант вибирає найменший набір суттєвих простих імплікант, що покривають усі мінтерми.
Оскільки це алгоритмічний метод, він масштабується там, де візуальні методи зазнають невдачі, тому він лежить в основі багатьох інструментів автоматизованого синтезу логіки, які використовуються в сучасних робочих процесах EDA.
Теореми Де Моргана стверджують, що (A·B)' = A' + B' та (A+B)' = A'·B' — заперечення групи змінює оператор на протилежний та інвертує кожну змінну. Ці закони є основою для перетворення будь-якої схеми у форму «тільки НЕ-І» або «тільки НЕ-АБО».
НЕ-І та НЕ-АБО називаються універсальними вентилями, оскільки будь-яку булеву функцію можна побудувати повністю з будь-якого з них. Ця властивість широко використовується у виробництві мікросхем для зменшення кількості типів транзисторів. Як зазначається у стандартних довідниках з цифрової логіки, така універсальність спрощує виробництво та тестування.
Калькулятор застосовує закони Де Моргана автоматично, коли ви вводите оператори НЕ-І, НЕ-АБО чи Виключне АБО, показуючи еквівалентне розширення І/АБО/НЕ.
Булева алгебра використовується далеко за межами підручників. Інженери-апаратники застосовують її для мінімізації кількості вентилів у комбінаційній логіці для процесорів, ПЛІС та ASIC, що безпосередньо знижує енергоспоживання та площу кристала.
Розробники програмного забезпечення використовують ті самі закони для спрощення умовних операторів, оптимізації логіки розгалуження компілятора та написання чітніших умов if. Інженери баз даних перетворюють фільтри запитів на булеві предикати, а пошукові системи оцінюють оператори І/АБО/НЕ аналогічним чином.
Згідно з навчальними програмами з комп'ютерних наук, узагальненими Академією Хана, булева логіка є основою обробки всієї цифрової інформації. Цей калькулятор підтримує до чотирьох змінних, охоплюючи переважну більшість екзаменаційних завдань із комбінаційної логіки та повсякденних завдань зі спрощення.
Спрощення булевих виразів призводить до кількох поширених помилок:
Завжди перевіряйте спрощений результат за оригінальною таблицею істинності, що цей калькулятор робить автоматично для виявлення таких помилок.
Коли у виразі змішуються оператори без повних дужок, булева алгебра обчислює спочатку НЕ, потім І, потім АБО, що повторює те, як множення передує додаванню у звичайній арифметиці.
Отже, A + B·C означає A АБО (B І C), а A·B' означає A І (НЕ B), а не (A І B)'. Виключне АБО зазвичай розглядається на тому ж рівні, що й І, або нижче, тому рекомендується використовувати дужки щоразу, коли Виключне АБО поєднується з іншими операторами, щоб уникнути неоднозначності.
Цей пріоритет відповідає угодним правилам у довідниках з цифрової логіки та нотації IEEE. Щоб перестрахуватися, беріть у дужки будь-який субвираз, чиє групування для вас важливе; калькулятор завжди ставиться до явних дужок із пріоритетом вище за стандартний.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.