Наш калькулятор інтегралів знаходить як невизначені інтеграли (первісні), так і визначені інтеграли (площу під кривою). Введіть вираз зі змінною x і миттєво отримайте первісну з детальним поясненням усіх кроків. Для визначених інтегралів вкажіть нижню та верхню межі, щоб обчислити точний числовий результат. Підтримуються многочлени, тригонометричні функції (sin, cos, tan, sec, csc, cot), показникові функції (e^x), логарифми (ln x), квадратні корені та поширені складені функції. Якщо аналітичне інтегрування неможливе, калькулятор використовує високоточне чисельне інтегрування за методом Сімпсона.
Use ^ for powers, * for multiply, sin/cos/exp/ln/sqrt for functions
Quick Examples
Введіть вашу функцію, використовуючи x як змінну. Використовуйте ^ для степенів, * для множення та стандартні назви функцій, такі як sin, cos, exp, ln, sqrt.
Оберіть «Невизначений» для знаходження загальної первісної (з +C) або «Визначений», щоб обчислити площу під кривою між двома межами.
Для визначених інтегралів введіть нижню межу a та верхню межу b. Результатом буде чиста площа з урахуванням знака F(b) - F(a).
Дізнайтеся, які правила інтегрування були застосовані (степеневе правило, інтегрування підстановкою, частинами), з детальним поясненням кожного кроку.
Інтегрування — це операція, обернена до диференціювання. Невизначений інтеграл ∫f(x)dx дає сімейство функцій F(x)+C. Визначений інтеграл ∫[a,b]f(x)dx визначає чисту площу під кривою від x=a до x=b, яка обчислюється за допомогою основної теореми аналізу (формули Ньютона-Лейбніца): F(b) - F(a).
∫f(x)dx = F(x) + C | ∫[a to b]f(x)dx = F(b) - F(a)
Використовуйте ^ для піднесення до степеня: x^3 означає x³. Використовуйте * для множення: 2*x або просто 2x
Степеневе правило: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (для n ≠ -1). Особливий випадок: ∫x⁻¹dx = ln|x| + C
Інтеграли тригонометричних функцій: ∫sin(x)dx = -cos(x)+C, ∫cos(x)dx = sin(x)+C, ∫sec²(x)dx = tan(x)+C
Показникові функції: ∫eˣdx = eˣ+C, ∫aˣdx = aˣ/ln(a)+C
Логарифми: ∫ln(x)dx = x·ln(x) - x + C (використовується інтегрування частинами)
Для ∫f(ax+b)dx застосуйте підстановку u=ax+b: результат дорівнює F(ax+b)/a + C
Інтегрування є однією з двох фундаментальних операцій у математичному аналізі, поряд із диференціюванням. У той час як похідні вимірюють миттєву швидкість зміни, інтеграли накопичують величини — обчислюють площу під кривими, об'єми тіл, загальну відстань за швидкістю та накопичені значення за темпом зміни. Невизначений інтеграл (первісна) є оберненою дією до диференціювання: інтеграл від 2x дорівнює x² + C, де C — стала інтегрування. Визначений інтеграл визначає чисту площу між функцією та віссю x на заданому інтервалі. Основна теорема аналізу (формула Ньютона-Лейбніца) пов'язує ці два поняття, стверджуючи, що визначений інтеграл від a до b дорівнює F(b) мінус F(a), де F — будь-яка первісна підінтегральної функції. Методи інтегрування варіюються від простого застосування степеневого правила до складніших методів, таких як інтегрування підстановкою, частинами, розкладання на прості дроби та тригонометричні тотожності. Деякі функції (наприклад, e^(-x²), що є ключовою для нормального розподілу в статистиці) взагалі не мають первісної у вигляді елементарних функцій, що вимагає використання чисельних методів, таких як метод Сімпсона або квадратура Гаусса. Незалежно від того, чи ви студент, який вивчає курс матаналізу, інженер, який розраховує роботу чи потік, чи фізик, який оцінює амплітуди ймовірностей, глибоке розуміння інтегрування є незамінним.
An інтегральний калькулятор обчислює первісну (невизначений інтеграл) або визначений інтеграл математичної функції.
Для невизначених інтегралів він знаходить F(x)+C, де F'(x)=f(x). Для визначених інтегралів він обчислює чисту площу під кривою f(x) між двома межами за допомогою основної теореми аналізу (формули Ньютона-Лейбніца).
Цей калькулятор підтримує:
Використовуйте * для множення, ^ для піднесення до степеня та стандартні дужки для групування.
Інтегрування функції означає знаходження нової функції, похідна якої дорівнює вихідній — це операція, обернена до диференціювання.
Результат, який називається первісною або невизначеним інтегралом, записується як F(x) + C, де похідна F'(x) дорівнює підінтегральній функції f(x), а C — довільна стала. Геометрично визначений інтеграл вимірює чисту площу між кривою та віссю x на заданому інтервалі.
За даними Wolfram MathWorld, інтеграл — це математичний об'єкт, який може представляти площу, накопичену зміну або узагальнену суму. Цей подвійний зміст — знаходження первісної та обчислення площі — пояснює, чому інтегрування є основою математичного аналізу та прикладної математики.
Щоб знайти інтеграл, визначте структуру функції та підберіть відповідне правило.
Спочатку спробуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C для n ≠ −1. Для сум інтегруйте кожен доданок окремо; сталий множник можна винести за знак інтеграла. Якщо підінтегральна функція є складною функцією, помноженою на похідну її внутрішньої частини, використовуйте метод заміни змінної (u-підстановку); якщо це добуток, спробуйте інтегрування частинами.
Для визначеного інтеграла знайдіть первісну F(x), а потім обчисліть F(b) − F(a). Наприклад, ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3. Khan Academy детально розбирає кожну з цих технік на практичних прикладах.
Основні формули інтегрування включають:
Стандартні тригонометричні інтеграли включають ∫sin(x) dx = −cos(x) + C та ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
Ці правила доповнюють два структурні методи: заміна змінної (u-підстановка), що є оберненою до диференціювання складної функції, та інтегрування частинами, ∫u dv = uv − ∫v du, що є оберненим до диференціювання добутку. Цифрова бібліотека математичних функцій NIST (DLMF) каталогізує ці елементарні результати разом із інтегралами спеціальних функцій, що робить її надійним джерелом для перевірки будь-якої формули.
Невизначений інтеграл дає в результаті функцію: ∫f(x) dx = F(x) + C, тобто ціле сімейство первісних, які відрізняються на сталу величину C.
Визначений інтеграл дає конкретне число: ∫[a,b] f(x) dx дорівнює чистій площі між кривою та віссю x на проміжку від x = a до x = b. Основна теорема аналізу (теорема Ньютона-Лейбніца) пов'язує їх, стверджуючи, що визначений інтеграл дорівнює F(b) − F(a) для будь-якої первісної F.
Наприклад, ∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Енциклопедія Britannica описує цю теорему як ключовий результат, що об'єднує дві гілки математичного аналізу.
Заміна змінної (u-підстановка) спрощує інтеграл, коли підінтегральний вираз містить складну функцію, помножену на похідну її внутрішньої частини.
Прирівняйте u до внутрішнього виразу, знайдіть du = u'(x) dx і повністю перепишіть інтеграл через змінну u. Наприклад, в інтегралі ∫2x·cos(x²) dx нехай u = x², тоді du = 2x dx; інтеграл набуває вигляду ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
Для визначених інтегралів або перерахуйте межі інтегрування для змінної u, або виконайте зворотну підстановку перед обчисленням. Khan Academy зазначає, що вміння розпізнавати патерн «внутрішня функція та її похідна» є ключовою навичкою для впевненого застосування заміни змінної.
Інтегрування дозволяє накопичувати величини, що робить його незамінним у науці та інженерії:
Wolfram MathWorld наголошує, що інтеграли також використовуються для обчислення довжини дуги, площі поверхонь та об'ємів тіл обертання. Цей калькулятор підтримує ці прикладні розрахунки, повертаючи як аналітичний вираз первісної, так і точні чисельні значення. Наш портал пропонує різноманітні корисні сервіси: від математичних інструментів (як-от калькулятор дробів чи калькулятор годин для підрахунку годин) до повсякденних помічників, таких як калькулятор років (калькулятор віку). Він допоможе виконати точний розрахунок віку, порахувати скільки років минуло з певної події, налаштувати зворотний відлік або швидко дізнатися вік за датою народження, відповівши на питання «скільки мені років» чи «скільки років людини по даті народження».
Деякі функції, такі як e^(−x²) та sin(x)/x, не мають аналітичного виразу для первісної в елементарних функціях.
У таких випадках чисельне інтегрування наближено обчислює визначений інтеграл шляхом дискретизації функції. Формула Сімпсона (метод парабол) апроксимує функцію параболами на парах підінтервалів: ∫[a,b] f(x) dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + f(xₙ)], де h = (b − a)/n, а n — парне число.
Її похибка пропорційна O(h⁴), що значно краще, ніж у методу трапецій з O(h²). NIST DLMF описує ці квадратурні методи, зокрема квадратуру Гаусса, яка забезпечує високу точність за невеликої кількості точок розбиття.
Розглянемо ∫₁^e (1/x) dx. Оскільки підінтегральна функція дорівнює 1/x, первісною буде ln|x|, а не результат за степеневим правилом.
Застосуємо формулу Ньютона-Лейбніца: ∫₁^e (1/x) dx = [ln|x|]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. Отже, точне значення дорівнює 1.
Інший приклад: ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1.71828. Ці покрокові дії відображають алгоритм роботи нашого калькулятора: знайти первісну, підставити верхню та нижню межі й виконати віднімання. Перевірка результатів за інтегральними таблицями Wolfram MathWorld — чудовий спосіб переконатися у правильності як формули, так і розрахунків.
Britannica наголошує на важливості перевірки кожної знайденої первісної шляхом її диференціювання для отримання вихідної підінтегральної функції.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.