Hướng dẫn nhanh về các tính toán và quy tắc logarit cơ bản

1. Logarit chung (cơ sở 10)

• Được viết dưới dạng log (x) hoặc log₁₀ (x)
• Thường được sử dụng nhất trong các ứng dụng khoa học
• Ví dụ: log (100) = 2 vì 10² = 100

2. Logarit tự nhiên (cơ sở E)

• Được viết là ln (x) hoặc logₑ (x)
• Cơ sở E ≈ 2.71828 (số của Euler)
• Cần thiết trong các mô hình tăng trưởng theo cấp số nhân và theo cấp số nhân
• Ví dụ: ln (e) = 1 vì e¹ = e

3. Logarit nhị phân (cơ sở 2)

• Được viết dưới dạng log₂ (x)
• Thường được sử dụng trong khoa học máy tính
• Ví dụ: log₂ (8) = 3 vì 2³ = 8

4. Logarit chung (bất kỳ cơ sở nào)

• Được viết dưới dạng logₐ (x) trong đó 'a' là cơ sở
• Cơ sở phải tích cực và không bằng 1
• Ví dụ: log₅ (25) = 2 vì 5² = 25

1. Quy tắc sản phẩm

logₐ (x × y) = logₐ (x) + logₐ (y)

Quy tắc này nói rằng logarit của một sản phẩm bằng tổng số logarit.

Ví dụ: log₂ (8 × 4) = log₂ (8) + log₂ (4) = 3 + 2 = 5

Xác minh: log₂ (32) = 5 vì 2⁵ = 32

2. Quy tắc thương số

logₐ (x ÷ y) = logₐ (x) - logₐ (y)

Logarit của một thương số bằng sự khác biệt của logarit.

Ví dụ: log₃ (27 9) = log₃ (27) - log₃ (9) = 3 - 2 = 1

Xác minh: log₃ (3) = 1 vì 3¹ = 3

3. Quy tắc quyền lực

logₐ (x^n) = n × logₐ (x)

Logarit của một công suất bằng với số mũ nhân thời gian logarit của cơ sở.

Ví dụ: log₂ (8³) = 3 × log₂ (8) = 3 × 3 = 9

Xác minh: log₂ (512) = 9 vì 2⁹ = 512

4. Quy tắc thay đổi cơ sở

logₐ (x) = logₑ (x) ÷ logₑ (a)

Quy tắc này cho phép bạn tính toán logarit với bất kỳ cơ sở nào bằng cách sử dụng logarit tự nhiên.

Ví dụ: log₅ (25) = Ln (25) ÷ ln (5) = 3.219 1.609 = 2

5. Thuộc tính nhận dạng

• logₐ (1) = 0 (vì a⁰ = 1 cho bất kỳ cơ sở a)
• logₐ (a) = 1 (vì a¹ = a)
• logₐ (a^x) = x (mối quan hệ nghịch đảo)
• a^(logₐ (x)) = x (mối quan hệ nghịch đảo)

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và toán học tinh thần

Đối với các trường hợp đơn giản trong đó kết quả là một số toàn bộ:

Bước 1: Hãy tự hỏi mình, “Sức mạnh của căn cứ nào cho tôi con số này?”

Bước 2: Sử dụng kiến ​​thức về quyền hạn của bạn để tìm câu trả lời

Phương pháp 2: Sử dụng các thuộc tính logarit

Đối với các tính toán phức tạp hơn, phá vỡ vấn đề bằng các quy tắc logarit:

Phương pháp 3: Sử dụng công thức thay đổi cơ sở

Khi làm việc với các cơ sở không phổ biến:

Phương pháp 4: Phương pháp máy tính

Đối với kết quả thập phân chính xác:

• Đối với các logarit chung: sử dụng nút nhật ký ”
• Đối với logarit tự nhiên: Sử dụng nút LN LN
• Đối với các cơ sở khác: Sử dụng công thức thay đổi cơ sở với máy tính của bạn

Loại 1: Phương trình logarit cơ bản

Mẫu phương trình: logₐ (x) = b

Giải pháp: x = a^b

Loại 2: Phương trình có thuộc tính logarit

Mẫu phương trình: logₐ (x) + logₐ (y) = c

Giải pháp: Sử dụng quy tắc sản phẩm để kết hợp, sau đó giải quyết

Loại 3: Phương trình với các biến ở nhiều nơi

Mẫu phương trình: logₐ (x) = logₐ (y)

Giải pháp: Nếu các cơ sở bằng nhau, thì x = y

Sai lầm 1: Áp dụng không chính xác các thuộc tính

Sai: log (a + b) = log (a) + log (b)

Đúng: log (a × b) = log (a) + log (b)

Hãy nhớ rằng: Logarit chuyển đổi phép nhân sang bổ sung, không thêm vào bổ sung.

Sai lầm 2: Quên các hạn chế miền

Vấn đề: cố gắng tìm nhật ký (-5) hoặc log (0)

Giải pháp: Hãy nhớ rằng logarit chỉ được xác định cho các số dương

Sai lầm 3: Sự nhầm lẫn cơ bản

Vấn đề: Trộn các cơ sở khác nhau trong quá trình tính toán

Giải pháp: Luôn xác định rõ ràng cơ sở và gắn bó với nó trong suốt vấn đề

Sai lầm 4: ký lỗi ký tên

Sai: log (a/b) = log (a) + log (b)

Đúng: log (a/b) = log (a) - log (b)

Ứng dụng 1: Lãi suất gộp

Tính toán thời gian đầu tư để tăng gấp đôi:

Công thức: T = log (2) / log (1 + r)

Trong đó t = thời gian, r = lãi suất

Ứng dụng 2: Tính toán pH

Công thức: pH = -log [H⁺]

trong đó [H⁺] là nồng độ ion hydro

Ứng dụng 3: cường độ động đất

Công thức: m = log (i/i₀)

Trong đó m = cường độ, i = cường độ, i₀ = cường độ tham chiếu

Kỹ thuật 1: Chiến lược ước tính

Để xấp xỉ nhanh:

• log₂ (1000) ≈ 10 (kể từ 2⁰ = 1024)
• log₁₀ (3) 0,5 (kể từ 10⁰ · = √10 ≈ 3.16)

Kỹ thuật 2: Sử dụng công nghệ một cách hiệu quả

Máy tính khoa học:

• Sử dụng dấu ngoặc đơn để đảm bảo thứ tự hoạt động chính xác
• Kiểm tra xem máy tính của bạn có ở chế độ chính xác không

Công cụ trực tuyến:

• Xác minh công việc của bạn bằng nhiều phương pháp tính toán
• Sử dụng các công cụ vẽ đồ thị để trực quan hóa các hàm logarit

Kỹ thuật 3: Nhận dạng mẫu

Tìm hiểu để nhận ra các giá trị logarit chung:

• log₁₀ (10^n) = n
• log₂ (2^n) = n
• ln (e^n) = n

Vấn đề: nhận được kết quả không xác định

Nguyên nhân: Cố gắng tính toán logarit của số âm hoặc không

Giải pháp: Kiểm tra xem tất cả các đối số là dương trước khi tính toán

Vấn đề: Kết quả không nhất quán

Nguyên nhân: Trộn các cơ sở khác nhau hoặc sử dụng các thuộc tính không chính xác

Giải pháp: Tính nhất quán cơ sở kiểm tra kép và các ứng dụng tài sản

Vấn đề: Lỗi làm tròn

Nguyên nhân: Làm tròn quá mức trong các bước trung gian

Giải pháp: Mang thêm các vị trí thập phân trong quá trình tính toán, chỉ làm tròn ở cuối