تتعامل حاسبة الوقت الخاصة بنا مع كل من التكاملات غير المحددة (الدالات الأصلية) والتكاملات المحددة (المساحة تحت المنحنى). أدخل تعبيراً بدلالة x واحصل على الدالة الأصلية فوراً مع شرح جميع الخطوات. بالنسبة للتكاملات المحددة، أدخل الحدين الأدنى والأقصى لحساب النتيجة العددية الدقيقة. تدعم متعددات الحدود، والدوال المثلثية (sin, cos, tan, sec, csc, cot)، والأسية (e^x)، واللوغاريتمات (ln x)، والجذور التربيعية، والدوال المركبة الشائعة. عندما يتعذر التكامل الرمزي، تلجأ الحاسبة إلى التكامل العددي عالي الدقة باستخدام قاعدة سيمبسون.
Use ^ for powers, * for multiply, sin/cos/exp/ln/sqrt for functions
Quick Examples
اكتب دالتك باستخدام x كمتغير. استخدم ^ للأسس، * للضرب، وأسماء الدوال القياسية مثل sin، cos، exp، ln، sqrt.
حدد التكامل غير المحدد للدالة الأصلية العامة (مع +C)، أو التكامل المحدد لحساب المساحة تحت المنحنى بين حدين.
بالنسبة للتكاملات المحدودة، أدخل الحد الأدنى a والحد الأعلى b. ستكون النتيجة المساحة الصافية ذات الإشارة F(b) - F(a).
تعرف على قواعد التكامل التي تم تطبيقها (قاعدة القوة، التعويض، التجزئة) مع شرح كل خطوة بوضوح.
التكامل هو العملية العكسية للتفاضل. يعطي التكامل غير المحدود ∫f(x)dx عائلة من الدوال F(x)+C. بينما يعطي التكامل المحدود ∫[a,b]f(x)dx المساحة الصافية ذات الإشارة تحت المنحنى من x=a إلى x=b، والتي تُحسب باستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل: F(b) - F(a).
∫f(x)dx = F(x) + C | ∫[a to b]f(x)dx = F(b) - F(a)
استخدم ^ للأسس: تعني x^3 x³. استخدم * للضرب: 2*x أو ببساطة 2x
قاعدة القوة: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (عندما n ≠ -1). حالة خاصة: ∫x⁻¹dx = ln|x| + C
تكاملات الدوال المثلثية: ∫sin(x)dx = -cos(x)+C، ∫cos(x)dx = sin(x)+C، ∫sec²(x)dx = tan(x)+C
الدالة الأسية: ∫eˣdx = eˣ+C، ∫aˣdx = aˣ/ln(a)+C
اللوغاريتم: ∫ln(x)dx = x·ln(x) - x + C (استخدم التكامل بالأجزاء)
بالنسبة لـ ∫f(ax+b)dx، عوض بـ u=ax+b: النتيجة هي F(ax+b)/a + C
يُعد التكامل إحدى العمليتين الأساسيتين في التفاضل والتكامل، إلى جانب التفاضل. فبينما تقيس المشتقات معدلات التغير اللحظية، تجمع التكاملات الكميات — حيث تحسب المساحات تحت المنحنيات، وحجوم المجسمات، والمسافة الكلية من السرعة، والكميات المتراكمة من المعدلات. يعكس التكامل غير المحدود (المشتقة العكسية) عملية التفاضل: تكامل 2x هو x² + C، حيث C هو ثابت التكامل. أما التكامل المحدود فيقيم المساحة الصافية ذات الإشارة بين الدالة ومحور السينات (x) خلال فترة زمنية محددة. تربط النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بين الاثنين، وتصص على أن التكامل المحدود من a إلى b يساوي F(b) ناقص F(a)، حيث F هي أي مشتقة عكسية للمتكامل. تتراوح تقنيات التكامل من تطبيقات قاعدة القوة المباشرة إلى الطرق المتطورة مثل التعويض، والتكامل بالتجزئة، والكسور الجزئية، والمتطابقات المثلثية. بعض الدوال — مثل e^(-x²)، وهي محورية في التوزيع الطبيعي في الإحصاء — ليس لها مشتقة عكسية مغلقة الشكل على الإطلاق، مما يتطلب طرقاً عددية مثل قاعدة سمبسون أو التربيع الغاوسي. وسواء كنت طالباً تدرس مساقاً في التفاضل والتكامل، أو مهندساً يحسب الشغل أو التدفق، أو فيزيائياً يقيم سعات الاحتمالية، فإن الفهم الراسخ للتكامل أمر لا غنى عنه.
تقوم حاسبة التكامل بحساب المشتقة العكسية (التكامل غير المحدود) أو التكامل المحدود لدالة رياضية.
بالنسبة للتكاملات غير المحدودة، فإنها تجد F(x)+C بحيث تكون F'(x)=f(x). وبالنسبة للتكاملات المحدودة، فإنها تقيم المساحة الصافية ذات الإشارة تحت المنحنى f(x) بين حدين باستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.
تدعم هذه الحاسبة:
استخدم * للضرب، و ^ للأسس، والأقواس القياسية للتجميع.
تعني مكاملة الدالة إيجاد دالة جديدة مشتقت التفاضل لها تساوي الدالة الأصلية — وهي العملية العكسية للتفاضل.
النتيجة، التي تُسمى المشتقة العكسية أو التكامل غير المحدود، تُكتب على هيئة F(x) + C، حيث تساوي المشتقة F'(x) دالة التكامل f(x) و C هو ثابت اختيارياً. هندسياً، يقيس التكامل المحدد صافي المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور السينات (x) على فترة زمنية أو مساحة معينة.
وفقاً لموسوعة وولفرام (Wolfram MathWorld)، فإن التكامل هو كائن رياضي يمكن أن يمثل المساحة، أو التغير المتراكم، أو المجموع المُعمَّم. هذا المعنى المزدوج — أي إيجاد المشتقة العكسية والمساحة — هو السبب وراء كون المكاملة تشكل أساساً كبيراً في حساب التفاضل والتكامل والرياضيات التطبيقية.
لإيجاد التكامل، حدد بنية الدالة وابقِها مطابقة لقاعدة معروفة.
جرب أولاً قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C بشرط أن n لا تساوي −1. بالنسبة للمجموع، قم بمكاملة كل حد على حدة؛ وبالنسبة للمضاعفات الثابتة، اسحب الثابت إلى الخارج. عندما تكون دالة التكامل عبارة عن دالة مركبة مضروبة في مشتقة داخلية، استخدم التعويض بالمتغير u؛ وعندما تكون حاصل ضرب دالتين، جرب التكامل بالتجزئة.
بالنسبة للتكامل المحدد، أوجد المشتقة العكسية F(x)، ثم احسب F(b) − F(a). على سبيل المثال، ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3. يستعرض موقع أكاديمية خان (Khan Academy) كل هذه التقنيات مع مسائل تدريبية.
صيغ التكامل الأساسية هي:
تشمل النتائج المثلثية القياسية ∫sin(x) dx = −cos(x) + C و ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
هناك طريقتان هيكليتان توسعان نطاق هذه القواعد: التعويض بـ u يعكس قاعدة السلسلة، والتكامل بالتجزئة، ∫u dv = uv − ∫v du، يعكس قاعدة الضرب. تُصنف مكتبة NIST الرقمية للوظائف الرياضية (DLMF) هذه النتائج الأولية إلى جانب تكاملات الدالات الخاصة، مما يجعلها مرجعاً موثوقاً للتحقق من أي صيغة.
ينتج التكامل غير المحدود دالة رياضية: ∫f(x) dx = F(x) + C، وهي عائلة كاملة من المشتقات العكسية التي تختلف عن بعضها بمقدار الثابت C.
بينما ينتج التكامل المحدد رقماً مفرداً: ∫[a,b] f(x) dx يساوي صافي المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور السينات من x = a إلى x = b. تربط النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل بينهما، وتصرح بأن التكامل المحدد يساوي F(b) − F(a) لأي مشتقة عكسية F.
على سبيل المثال، ∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. تصف موسوعة بريتانيكا هذه النظرية باعتبارها النتيجة المركزية التي توحد فرعي حساب التفاضل والتكامل.
التعويض بـ u يُبسط التكامل عندما تحتوي دالة التكامل على دالة مركبة مضروبة في مشتقة جزئها الداخلي.
اجعل u مساوياً للتعبّر الداخلي، واحسب du = u'(x) dx، وأعد كتابة التكامل بالكامل بدلالة u. على سبيل المثال، في التكامل ∫2x·cos(x²) dx، دع u = إذن x² ليصبح du = 2x dx؛ ويتحول التكامل إلى ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
بالنسبة للتكاملات المحددة، إما أن تحول الحدود إلى قيم لـ u أو تُعيد التعويض للقيم الأصلية قبل التقييم. تشير أكاديمية خان إلى أن التعرف على نمط الدالة الداخلية ومشتقاتها هو المهارة الأساسية لتطبيق التعويض بثقة.
تجمع المكاملة الكميات معاً، مما يجعلها أمراً بالغ الأهمية في العلوم والهندسة:
تُبرز موسوعة وولفرام (Wolfram MathWorld) أن التكاملات تحسب أيضاً أطوال الأقواس، ومساحات الأسطح، وأحجام الدورانات. تدعم هذه الحاسبة هذه التطبيقات من خلال إرجاع المشتقات العكسية الرمزية والقيم العددية الدقيقة.
بعض الدالات، مثل e^(−x²) و sin(x)/x، ليس لها مشتقة عكسية مغلقة الشكل يمكن التعبير عنها بدالات أولية بسيطة.
في هذه الحالات، يُقارب التكامل العددي التكامل المحدد عن طريق أخذ عينات من الدالة. قاعدة سيمبسون (Simpson's Rule) تناسب القطع المكافئة عبر أزواج من الفترات الفرعية: ∫[a,b] f(x) dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + f(xₙ)]، حيث h = (b − a)/n و n عدد زوجي.
يتدرج خطأها بصيغة O(h⁴)، وهو أفضل بكثير من خطأ قاعدة شبه المنحرف O(h²). توثق مكتبة NIST DLMF طرق التربيع هذه، بما في ذلك تربيع غاوس، والذي يحقق دقة عالية مع عدد قليل من نقاط العينة.
ضع في اعتبارك ∫₁^e (1/x) dx. نظراً لأن دالة التكامل هي 1/x، فإن المشتقة العكسية هي ln|x|، وليست نتيجة لقاعدة القوة.
طبق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: ∫₁^e (1/x) dx = [ln|x|]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. إذن القيمة الدقيقة هي 1.
كمثال ثانٍ، ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1.71828. تعكس هذه الخطوات المحلولة ما تعرّضه الحاسبة: تحديد المشتقة العكسية، والتعويض بالحدود العليا والسليفل، ثم الطرح. يعد التحقق من النتائج مقابل جداول التكامل الخاصة بموسوعة وولفرام عادةً جيدة لتأكيد كل من الصيغة والحسابات الرياضية.
تؤكد موسوعة بريتانيكا على أهمية التحقق من كل مشتقة عكسية عن طريق اشتقاقها مرة أخرى للوصول إلى دالة التكامل الأصلية.
Data sourced from trusted institutions
All formulas verified against official standards.